משפט הגבול המרכזי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

משפט הגבול המרכזי הוא משפט יסודי בתורת ההסתברות, העוסק בהתפלגות הגבולית של הממוצע המצטבר של סדרת משתנים מקריים. המשפט קובע שבתנאים מסוימים, התפלגות הממוצע של סדרת משתנים מקריים מתקרבת להתפלגות נורמלית. מאחר שרבים מהערכים הנמדדים בטבע מורכבים למעשה מסכום מספר רב של אירועים אקראיים, המשפט מסביר את הדומיננטיות של ההתפלגות הנורמלית. את המשפט הוכיח אלכסנדר ליאפונוב.

הגרסה החלשה[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהי \ X_1,X_2,\dots סדרה של משתנים מקריים בלתי תלויים בעלי אותה התפלגות, שיש לה תוחלת \ \mu ושונות \ \sigma^2. נסמן ב- \ \bar{X}_n=(X_1+\dots+X_n)/n את הממוצע. לפי החוק החזק של המספרים הגדולים, הגבול של הסדרה \ \frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma} הוא אפס (בהסתברות 1). משפט הגבול המרכזי מספק מידע מפורט בהרבה: סדרת המשתנים המקריים \ \frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} מתכנסת בהתפלגות אל ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית: \ \lim_{n \to \infty} P\left(\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} < z\right) = \Phi(z), כאשר \ \Phi(z) = \int_{-\infty}^{z}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}dt.

הגרסה החזקה[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהי \ X_1,X_2,\dots סדרה של משתנים מקריים בלתי תלויים, המקיימת:

  1. \ \forall k : \ E(X_k) = 0 (אין כאן פגיעה בכלליות, כי מכל משתנה מקרי ניתן להחסיר את התוחלת שלו).
  2. \ \forall k : \ E(X_k^2) = \sigma_k^2 < \infty (שונות סופית).
  3. \ \forall k : \ E(|X_k|^3) < \infty

נסמן  \ S_n = \sqrt{\sum_{k=1}^{n}{\sigma_k^2}}. אם \ \ \mbox{lim}{ \frac{1}{S_n^3}  \sum_{k=1}^{n}{E(|X_k|^3)} } = 0 \ \ , אז סדרת המשתנים המקריים \ \frac{X_1 + \cdots + X_n}{S_n} מתכנסת בהתפלגות אל ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית.

דוגמה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נראה כיצד ממשפט הגבול המרכזי נובע כי אם \ X\sim Bin(n,p) - המשתנה \ X מתפלג בינומית, אז כאשר \ n גדול מתקיים \ X\approx N(np,npq), כלומר \ X מתפלג בקירוב כמו משתנה נורמלי עם תוחלת \ np ושונות \ npq, כאשר \  p + q = 1.

ניתן לראות משתנה בינומי \ X כסכום סדרת משתנים מקריים \ Y שכל אחד מהם מקבל 1 בהסתברות \ p ואחרת מקבל 0 (ניסויי ברנולי). התוחלת של משתנה כזה היא \ \mu=p והשונות שלו היא \ pq. לכן, כאשר \ n גדול, נובע ממשפט הגבול המרכזי:

\ F_{X}(x)=P\left(X\le x\right)=P\left(\frac{X-n\mu}{\sqrt{n\sigma^2}}\le\frac{x-n\mu}{\sqrt{n\sigma^2}}\right)\approx\Phi\left(\frac{x-np}{\sqrt{npq}}\right)=F_Z(x)

כאשר \ Z\sim N(np,npq).

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]