משפט הגבול המרכזי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

משפט הגבול המרכזי הוא משפט יסודי בתורת ההסתברות, העוסק בהתפלגות הגבולית של הממוצע המצטבר של סדרת משתנים מקריים.

תוכן עניינים

1 הגרסה החלשה
2 הגרסה החזקה
3 דוגמה
4 ראו גם
5 קישורים חיצוניים

[עריכה] הגרסה החלשה

תהי $\ X_1,X_2,\dots$ סדרה של משתנים מקריים בלתי תלויים בעלי אותה התפלגות, שיש לה תוחלת $\ \mu$ ושונות $\ \sigma^2$ . נסמן ב- $\ \bar{X}_n=(X_1+\dots+X_n)/n$ את הממוצע. לפי החוק החזק של המספרים הגדולים, הגבול של הסדרה $\ \frac{\bar{X_n}-\mu}{\sigma}$ הוא אפס (בהסתברות 1). משפט הגבול המרכזי מספק מידע מפורט בהרבה: סדרת המשתנים המקריים $\ \frac{\bar{X_n}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$ מתכנסת בהתפלגות אל ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית: $\ \lim_{n \to \infty} P\left(\frac{\bar{X_n}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} < z\right) = \Phi(z)$ , כאשר $\ \Phi(z) = \int_{-\infty}^{z}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}dt$ .

[עריכה] הגרסה החזקה

תהי $\ X_1,X_2,\dots$ סדרה של משתנים מקריים בלתי תלויים, המקיימת:

$\ \forall k : \ E(X_k) = 0$ (אין כאן פגיעה בכלליות, כי מכל משתנה מקרי ניתן להחסיר את התוחלת שלו).
$\ \forall k : \ E(X_k^2) = \sigma_k^2 < \infty$ (שונות סופית).
$\ \forall k : \ E(|X_k|^3) < \infty$

נסמן $\ S_n = \sqrt{\sum_{k=1}^{n}{\sigma_k^2}}$ . אם $\ \ \mbox{limsup}{ \frac{1}{S_n^3} \sum_{k=1}^{n}{E(|X_k|^3)} } = 0 \ \$ , אז סדרת המשתנים המקריים $\ \frac{X_1 + \cdots + X_n}{\sigma\sqrt{n}}$ מתכנסת בהתפלגות אל ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית.

[עריכה] דוגמה

נראה כיצד ממשפט הגבול המרכזי נובע כי אם $\ X\sim Bin(n,p)$ - המשתנה $\ X$ מתפלג בינומית, אז כאשר $\ n$ גדול מתקיים $\ X\approx N(np,npq)$ , כלומר $\ X$ מתפלג בערך כמו משתנה נורמלי עם תוחלת $\ np$ ושונות $\ npq$ , כאשר $\ p + q = 1$ .

ניתן לראות כל משתנה בינומי $\ X$ כסכום סדרת משתנים מקריים $\ Y$ שכל אחד מהם מקבל 1 בהסתברות $\ p$ ואחרת מקבל 0 (ניסויי ברנולי). התוחלת של משתנה כזה היא $\ \mu=p$ והשונות שלו היא $\ pq$ . לכן, כאשר $\ n$ גדול, נובע ממשפט הגבול המרכזי:

$\ F_{X}(x)=P\left(X\le x\right)=P\left(\frac{X-n\mu}{\sqrt{n\sigma^2}}\le\frac{x-n\mu}{\sqrt{n\sigma^2}}\right)\approx\Phi\left(\frac{x-np}{\sqrt{npq}}\right)=F_Z(x)$

כאשר $\ Z\sim N(np,npq)$ .

[עריכה] ראו גם

[עריכה] קישורים חיצוניים

ד"ר יוסי לוי, למי צלצל הפעמון?, בבלוג "נסיכת המדעים"

משפט הגבול המרכזי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

תוכן עניינים

[עריכה] הגרסה החלשה

[עריכה] הגרסה החזקה

[עריכה] דוגמה

[עריכה] ראו גם

[עריכה] קישורים חיצוניים

צפיות

כלים אישיים

חיפוש

ניווט

קהילה

תיבת כלים

שפות אחרות