משפט הגבול המרכזי

משפט הגבול המרכזי הוא משפט יסודי בתורת ההסתברות, העוסק בהתפלגות הגבולית של הממוצע המצטבר של סדרת משתנים מקריים. המשפט קובע שבתנאים מסוימים, התפלגות הממוצע של סדרת משתנים מקריים מתקרבת להתפלגות נורמלית. מאחר שרבים מהערכים הנמדדים בטבע מורכבים למעשה מסכום מספר רב של אירועים אקראיים, המשפט מסביר את הדומיננטיות של ההתפלגות הנורמלית. את המשפט הוכיח אלכסנדר ליאפונוב.

הגרסה החלשה

תהי $\ X_1,X_2,\dots$ סדרה של משתנים מקריים בלתי תלויים בעלי אותה התפלגות, שיש לה תוחלת $\ \mu$ ושונות $\ \sigma^2$. נסמן ב- $\ \bar{X}_n=(X_1+\dots+X_n)/n$ את הממוצע. לפי החוק החזק של המספרים הגדולים, הגבול של הסדרה $\ \frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma}$ הוא אפס (בהסתברות 1). משפט הגבול המרכזי מספק מידע מפורט בהרבה: סדרת המשתנים המקריים $\ \frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$ מתכנסת בהתפלגות אל ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית: $\ \lim_{n \to \infty} P\left(\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} < z\right) = \Phi(z)$, כאשר $\ \Phi(z) = \int_{-\infty}^{z}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}dt$.

הגרסה החזקה

תהי $\ X_1,X_2,\dots$ סדרה של משתנים מקריים בלתי תלויים, המקיימת:

1. $\ \forall k : \ E(X_k) = 0$ (אין כאן פגיעה בכלליות, כי מכל משתנה מקרי ניתן להחסיר את התוחלת שלו).
2. $\ \forall k : \ E(X_k^2) = \sigma_k^2 < \infty$ (שונות סופית).
3. $\ \forall k : \ E(|X_k|^3) < \infty$

נסמן $\ S_n = \sqrt{\sum_{k=1}^{n}{\sigma_k^2}}$. אם $\ \ \mbox{lim}{ \frac{1}{S_n^3} \sum_{k=1}^{n}{E(|X_k|^3)} } = 0 \ \$, אז סדרת המשתנים המקריים $\ \frac{X_1 + \cdots + X_n}{S_n}$ מתכנסת בהתפלגות אל ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית.

דוגמה

נראה כיצד ממשפט הגבול המרכזי נובע כי אם $\ X\sim Bin(n,p)$ - המשתנה $\ X$ מתפלג בינומית, אז כאשר $\ n$ גדול מתקיים $\ X\approx N(np,npq)$, כלומר $\ X$ מתפלג בערך כמו משתנה נורמלי עם תוחלת $\ np$ ושונות $\ npq$, כאשר $\ p + q = 1$.

ניתן לראות משתנה בינומי $\ X$ כסכום סדרת משתנים מקריים $\ Y$ שכל אחד מהם מקבל 1 בהסתברות $\ p$ ואחרת מקבל 0 (ניסויי ברנולי). התוחלת של משתנה כזה היא $\ \mu=p$ והשונות שלו היא $\ pq$. לכן, כאשר $\ n$ גדול, נובע ממשפט הגבול המרכזי:

$\ F_{X}(x)=P\left(X\le x\right)=P\left(\frac{X-n\mu}{\sqrt{n\sigma^2}}\le\frac{x-n\mu}{\sqrt{n\sigma^2}}\right)\approx\Phi\left(\frac{x-np}{\sqrt{npq}}\right)=F_Z(x)$

כאשר $\ Z\sim N(np,npq)$.

ראו גם

• התפלגות נורמלית
• חוק המספרים הגדולים

קישורים חיצוניים

• יוסי לוי, למי צלצל הפעמון?, באתר "נסיכת המדעים"