נקודה מבודדת

"0" is an isolated point of A

בטופולוגיה, נקודה $\ x$ בקבוצה $\ S$ נקראת נקודה מבודדת, אם קיימת סביבה של $\ x$ שאינה מכילה נקודות אחרות של $\ S$. בפרט, במרחב אוקלידי (או במרחב מטרי), $\,x$ היא נקודה מבודדת של $\ S$ אם קיים כדור פתוח סביב $\ x$ אשר אינו מכיל נקודות של $\ S$ (פרט ל-$\ x$ עצמה). באופן שקול, נקודה $\ x$ אינה מבודדת, אם ורק אם $\ x$ היא נקודת גבול.

קבוצה אשר מכילה נקודות מבודדות בלבד נקראת קבוצה בדידה. תת-קבוצה בדידה של מרחב אוקלידי היא סופית או בת מנייה. עם זאת, קבוצה יכולה להיות בת מנייה ולא בדידה, כמו המספרים הרציונליים.

קבוצה סגורה שאין בה נקודות מבודדות נקראת קבוצה מושלמת.

דוגמאות

המרחבים הטופולוגיים בדוגמאות הבאות נחשבים תת-מרחבים של הישר הממשי.

• בקבוצה $S=\{0\}\cup [1, 2]$, הנקודה 0 היא נקודה מבודדת.
• בקבוצה $S=\{0\}\cup \{1, 1/2, 1/3, \dots \}$,

0 אינה נקודה מבודדת מכיוון שניתן למצוא נקודות ב-$\ S$ קרובות ל-0 ככל שנרצה, אבל כל הנקודות האחרות הן מבודדות.

• הקבוצה $\ N=\{0, 1, 2, \dots \}$ (קבוצת הטבעיים) היא קבוצה בדידה.

ראו גם

• מרחב דיסקרטי
• פעולה לא רציפה לחלוטין