מרחב מטרי

בטופולוגיה, מרחב מטרי היא קבוצה שמוגדרת עליה פונקציה סימטרית וחיובית, המקיימת את אי שוויון המשולש. פונקציה כזו (הנקראת מטריקה) מקיימת את התכונות היסודיות של המרחק הגאוגרפי, ולכן רואים בה הכללה של מושג המרחק. המטריקה מאפשרת להגדיר במרחב כדורים, שבזכותם יש למרחבים מטריים תכונות טופולוגיות קיצוניות.

הגדרה פורמלית

מטריקה על קבוצה S היא פונקציה $\,d:S\times S \rarr \mathbb{R}$ המקיימת את התכונות הבאות לכל $x,y,z\isin S$:

• חיוביות: $d(x,y)\ge 0$ ו-$\!\, d(x,y)=0$ אם ורק אם $\!\, x=y$;
• סימטריות: $\,d(x,y) = d(y,x)$
• אי שוויון המשולש: $\,d(x,z) \le d(x,y)+d(y,z)$.

קבוצה שמוגדרת עליה מטריקה נקראת מרחב מטרי.

דוגמאות

מרחבים נורמיים הם דוגמה חשובה למרחב מטרי, שהרי הנורמה מאפשרת להגדיר מטריקה על ידי $g(x,y)= \| x-y \|$.

אם המטריקה מקיימת $d(x,z) \le \textrm{max}\{d(x,y),d(y,z)\}$ (זו דרישה חזקה יותר מאי שוויון המשולש), אז המרחב הוא 'מרחב מטרי לא ארכימדי', וכל משולש בו הוא שווה שוקיים. הדוגמה המרכזית של מרחבים כאלה מתקבלת מהערכות לא ארכימדיות של שדות.

מרחב מטרי כמרחב טופולוגי

במרחב מטרי, קבוצת הנקודות שמרחקן מנקודה מסוימת קטן מקבוע חיובי מסוים, נקראת "כדור פתוח". קבוצה המוכלת בכדור כזה נקראת קבוצה חסומה (ואם המרחב כולו הוא קבוצה חסומה, אומרים שהמרחב חסום).

אוסף הכדורים הפתוחים מהווה בסיס לטופולוגיה, וכך אפשר לראות כל מרחב מטרי כמרחב טופולוגי. בניגוד לסתם מרחב טופולוגי, כל מרחב מטרי מקיים את תכונת ההפרדה T4 (יתרה מזאת, כל מרחב מטרי הוא מרחב נורמלי באופן מושלם או T6). מרחב מטרי הוא מרחב קומפקטי אם ורק אם הוא חסום ושלם. אם המרחב חסום, ההשלמה שלו היא דוגמה לקומפקטיפיקציה.

ראו גם

• מטריקה
• נורמה
• מרחב גאודזי

לקריאה נוספת

• דניאלה ליבוביץ, טופולוגיה קבוצתית, כרך א', הוצאת האוניברסיטה הפתוחה, 1997.

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.