מרחב מטרי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בטופולוגיה, מרחב מטרי היא קבוצה שמוגדרת עליה פונקציה סימטרית וחיובית, המקיימת את אי שוויון המשולש. פונקציה כזו (הנקראת מטריקה) מקיימת את התכונות היסודיות של המרחק הגאוגרפי, ולכן רואים בה הכללה של מושג המרחק. המטריקה מאפשרת להגדיר במרחב כדורים, שבזכותם יש למרחבים מטריים תכונות טופולוגיות קיצוניות.

הגדרה פורמלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

מטריקה על קבוצה S היא פונקציה \,d:S\times S \rarr \mathbb{R} המקיימת את התכונות הבאות לכל x,y,z\isin S:

קבוצה שמוגדרת עליה מטריקה נקראת מרחב מטרי.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

מרחבים נורמיים הם דוגמה חשובה למרחב מטרי, שהרי הנורמה מאפשרת להגדיר מטריקה על ידי g(x,y)= \| x-y \|. בפרט הישר והמישור הם מרחבים מטריים מהסוג הזה, כאשר המטריקה היא המרחק הגאומטרי המוכר.

על כל קבוצה אפשר להגדיר את המטריקה d(x,y)=\begin{cases}0 & \text{ if } x=y \\ 1 & \text{ if } x\neq y \end{cases}. מטריקה זו ידועה בתור "המטריקה הדיסקרטית" והטופולוגיה שמשרה היא הטופולוגיה הדיסקרטית (כלומר, במרחב זה כל קבוצה היא קבוצה פתוחה)

אם המטריקה מקיימת d(x,z) \le \textrm{max}\{d(x,y),d(y,z)\} (זו דרישה חזקה יותר מאי שוויון המשולש), אז המרחב הוא 'מרחב מטרי לא ארכימדי', וכל משולש בו הוא שווה-שוקיים. הדוגמה המרכזית של מרחבים כאלה מתקבלת מהערכות לא ארכימדיות של שדות.

מרחב מטרי כמרחב טופולוגי[עריכת קוד מקור | עריכה]

במרחב מטרי, קבוצת הנקודות שמרחקן מנקודה מסוימת קטן מקבוע חיובי מסוים, נקראת "כדור פתוח". קבוצה המוכלת בכדור כזה נקראת קבוצה חסומה (ואם המרחב כולו הוא קבוצה חסומה, אומרים שהמרחב חסום).

אוסף הכדורים הפתוחים מהווה בסיס לטופולוגיה, וכך אפשר לראות כל מרחב מטרי כמרחב טופולוגי. בניגוד לסתם מרחב טופולוגי, כל מרחב מטרי מקיים את תכונת ההפרדה T4 (יתרה מזאת, כל מרחב מטרי הוא מרחב נורמלי באופן מושלם או T6). מרחב מטרי הוא מרחב קומפקטי אם ורק אם הוא חסום כליל ושלם. אם המרחב חסום כליל, ההשלמה שלו היא דוגמה לקומפקטיפיקציה.

מרחב טופולוגי שניתן להגדיר עליו מטריקה שתגדיר את הטופולוגיה שלו נקרא מרחב מטריזבילי.

אוסף המרחבים המטריים[עריכת קוד מקור | עריכה]

האוסדורף הגדיר מטריקה בין תת-הקבוצות הסגורות של מרחב מטרי קומפקטי, לפי \ d(A,B) = \inf_{r} \{A\subseteq \operatorname{B}_r(B), B\subseteq \operatorname{B}_r(A)\}, כאשר \ \operatorname{B}_r(A) = \cup_{a \in A} \operatorname{B}_r(a). בהגדרה זו השתמש גרומוב (אנ') כדי להגדיר את המרחק בין שני מרחבים מטריים, כמרחק (של האוסדורף) המינימלי בין כל שתי תמונות איזומטריות של המרחבים, במרחב מטרי שלישי. הגדרה זו מובילה ל"טופולוגיית האוסדורף-גרומוב", שלפיה סדרת מרחבים מטריים מנוקדים מתכנסת למרחב מטרי מנוקד, אם לכל R, המרחקים בין הכדורים ברדיוס R במרחבים הנתונים, לבין הכדור ברדיוס R במרחב המטרה, שואפים לאפס.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • דניאלה ליבוביץ, טופולוגיה קבוצתית, כרך א', הוצאת האוניברסיטה הפתוחה, 1997.


P mathematics.svg ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.