פונקציית החלוקה (תורת המספרים)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
דיאגרמות יאנג של החלוקות השונות של המספרים 1 עד 8. כל הדיאגרמות באותו הצבע הן כל החלוקות האפשריות של מספר.

בקומבינטוריקה ובתורת המספרים, חלוקה של מספר טבעי היא הצגה שלו כסכום של חלקים, כמו \ 5=3+1+1. שתי חלוקות שההבדל היחיד ביניהן הוא סדר הרכיבים, נחשבות לאותה החלוקה. החלוקות מופיעות בתחומים שונים בקומבינטוריקה, כגון פולינומים סימטריים ותורת ההצגות של החבורה הסימטרית.

דיאגרמות יאנג מספקות ייצוג גרפי לחלוקות. ייצוג זה מאפשר לספור חלוקות תחת הגבלות נוספות, וכך אפשר להוכיח למשל שמספר החלוקות של n עם k חלקים שווה למספר החלוקות של אותו מספר, שבהן החלק הגדול ביותר הוא k.

מספר החלוקות השונות של n נקרא פונקציית החלוקה של n, ומקובל לסמנו ב- \ p(n). לדוגמה, החלוקות השונות של 3 הן \ 3=2+1=1+1+1, ושל 4 הן \ 4=3+1=2+2=2+1+1=1+1+1+1. מכיוון של- 4 יש חמש חלוקות, \ p(4)=5. עבור הערכים \ n=1,2,...,10, פונקציית החלוקה מקבלת את הערכים הבאים: \ p(n)=1,2,3,5,7,11,15,22,30,42. ערכי הפונקציה גדלים במהירות: \ p(100)=190569292, ואילו \ p(1000)\approx 2.4\cdot 10^{31}. ג. ה. הארדי וראמאנוג'ן הוכיחו ב- 1917 ‏‏‏[1] את הנוסחה האסימפטוטית p(n) \sim \frac{1}{4n\sqrt{3}} e^{\pi \sqrt{2n/3}}. לצורך כך השתמשו הארדי וראמאנוג'ן בתאוריה של תבניות מודולריות, שהם היו ממייסדיה.

בין התכונות המפתיעות של פונקציות החלוקה אפשר למנות את הקונגרואנציות שגילה ראמאנוג'ן: לכל n, \ p(5n+4) מתחלק ב- 5. באופן דומה \ p(7n+6) מתחלק תמיד ב- 7, ו- \ p(11n+6) מתחלק ב- 11. תוצאות אלה קשורות במספרים מצולעים. מאוחר יותר התגלה גם שהמספרים \ p(17303n+237) מתחלקים ב- 13. בשנת 2000 הוכיח קן אונו שזהויות כאלו קיימות לכל מספר ראשוני ומספר שנים לאחר מכן תוצאה זו הורחבה לכל מספר שלם שזר ל-6.

פונקציה יוצרת[עריכת קוד מקור | עריכה]

את פונקציית החלוקה חקר לראשונה לאונרד אוילר, שמצא עבור הפונקציה היוצרת שלה פירוק למכפלה אינסופית \sum_{n=0}^\infty p(n)x^n = \prod_{k=1}^\infty \left(\frac {1}{1-x^k} \right), צעד שבמידת מה נחשב לראשיתה של תורת המספרים האנליטית.

הפירוק פשוט להוכחה באמצעות הנסוחה לסיכום טור הנדסי:

\prod_{k=1}^\infty \left(\frac {1}{1-x^k} \right)=\prod_{k=1}^\infty \prod_{i=0}^\infty x^{ki}

מספר הפעמים שהאיבר x^n יתקבל בפתיחת המכפלה באגף ימין הוא בדיוק p(n) מכיוון ש-i קובע באופן יחיד את מספר הפעמים שהמספר k מופיע בחלוקה נתונה.

מאותו הטעם, באופן כללי הפונקציה היוצרת של מספר החלוקות בהן מופיעים רק מספרים מקבוצה A\subseteq \mathbb{N} הוא: \prod_{k\in A} \left(\frac {1}{1-x^k} \right).

ממשפט המספרים המחומשים נובעת באמצעות מניפולציה על הפונקציה היוצרת נוסחת הנסיגה:

p(n)=\sum_{k\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}} (-1)^{k-1}\cdot p(n-p_k)=p(n-1)+p(n-2)-p(n-5)-p(n-7)+p(n-12)+\ldots

כאשר p_n=\tfrac{3n^2-n}{2} הוא המספר המחומש המוכלל ה-n-י. זהו סכום סופי, מכיוון ש-p(0)=1 (סכום ריק) ולכל k שלילי p(k)=0.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ ‏Hardy, G. H.; Ramanujan, S., Asymptotic formulae in combinatory analysis., J. Lond. M. S. Proc. (2) 17, 75-115 (1917); הופיע גם ב- ‏Hardy, G. H. and Ramanujan, S. "Asymptotic Formulae in Combinatory Analysis." Proc. London Math. Soc. 17, 75-115, 1918‏