מספר מצולע

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, מספר מצולע, הוא מספר שניתן לארגנו בצורה של מצולע משוכלל. מקורם בחשיבה הפיתגוראית על מספרים, שלפיה יש לייצג אותם באמצעות עצמים מוחשיים, כגון חלוקי אבנים. הדוגמאות הפשוטות ביותר הן מספרים משולשיים, שהם מספרים מהצורה \ \frac{n(n+1)}{2}, ומספרים ריבועיים, מהצורה \ n^2. באופן כללי, מספרים שאפשר לסדר במצולע בן k צלעות הם מהצורה:

\ n+(k-2)T_{n-1}=n+(k-2)\frac{n(n-1)}{2}

כאשר T_{n-1} הוא המספר המשולשי ה-n-1. נוסחה זו מוצדקת על ידי חלוקת המצולע למשולשים.‏[1]

מתמטיקאים במאות ה-17 וה-18 עסקו רבות במספרים מצולעים. פרמה שער את משפט המספרים המצולעים. ב- 1730 מצא אוילר את הנוסחה הכללית למספרים שהם גם משולשים וגם ריבועיים, באמצעות פתרון של משוואת פל מתאימה.

דוגמאות וציורים[עריכת קוד מקור | עריכה]

לדוגמה, המספר 10 הוא מספר משולשי, משום שאפשר לארגן אותו בצורת משולש משוכלל:

Triangle10.svg

את המספר 10 לא ניתן לתאר בצורת ריבוע; את 9 אפשר (ראו מספר ריבועי):

Square9.svg

ישנם מספרים שאפשר לארגן גם בצורת משולש וגם בצורת ריבוע, למשל 36 (ראו מספר משולשי ריבועי):

TriSquare36.svg

השיטה להגדלת מצולע לגודל הבא הוא להוסיף לשתי צלעות סמוכות נקודה אחת ואז להוסיף את כל הנקודות הדרושות לצדדים בין שתי הנקודות האלה. בדיאגרמה להלן, כל שכבה נוספת מוצגת בצבע אדום.

מספרים משולשים
TriNumbers.svg

בין היתר ניתן למצוא את המספרים המשולשים בתור העמודה השנייה של משולש פסקל.

מספרים ריבועיים
SquNumbers.svg

מצולעים עם מספר גדול יותר של צלעות, כמו מחומשים ומשושים, יכולים להיות מיוצגים גם כן בנקודות (עם המוסכמה ש-1 הוא מספר מצולע לכל מספר של צלעות).

מספרים מחומשים
Pentnumbers.svg

מספרים משושים

HexNumbers.svg
שם נוסחה n=1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
משולש ½n(1n + 1) 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 91
ריבוע ½n(2n - 0) 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169
מחומש ½n(3n - 1) 1 5 12 22 35 51 70 92 117 145 176 210 247
משושה ½n(4n - 2) 1 6 15 28 45 66 91 120 153 190 231 276 325
משובע ½n(5n - 3) 1 7 18 34 55 81 112 148 189 235 286 342 403
מתומן ½n(6n - 4) 1 8 21 40 65 96 133 176 225 280 341 408 481
מתושע ½n(7n - 5) 1 9 24 46 75 111 154 204 261 325 396 474 559
10-צלעות (מעושר) ½n(8n - 6) 1 10 27 52 85 126 175 232 297 370 451 540 637
11-צלעות ½n(9n - 7) 1 11 30 58 95 141 196 260 333 415 506 606 715
12-צלעות (מתורסר) ½n(10n - 8) 1 12 33 64 105 156 217 288 369 460 561 672 793
13-צלעות ½n(11n - 9) 1 13 36 70 115 171 238 316 405 505 616 738 871
14-צלעות ½n(12n - 10) 1 14 39 76 125 186 259 344 441 550 671 804 949
15-צלעות ½n(13n - 11) 1 15 42 82 135 201 280 372 477 595 726 870 1027
16-צלעות ½n(14n - 12) 1 16 45 88 145 216 301 400 513 640 781 936 1105
17-צלעות ½n(15n - 13) 1 17 48 94 155 231 322 428 549 685 836 1002 1183
18-צלעות ½n(16n - 14) 1 18 51 100 165 246 343 456 585 730 891 1068 1261
19-צלעות ½n(17n - 15) 1 19 54 106 175 261 364 484 621 775 946 1134 1339
20-צלעות ½n(18n - 16) 1 20 57 112 185 276 385 512 657 820 1001 1200 1417
21-צלעות ½n(19n - 17) 1 21 60 118 195 291 406 540 693 865 1056 1266 1495
22-צלעות ½n(20n - 18) 1 22 63 124 205 306 427 568 729 910 1111 1332 1573
23-צלעות ½n(21n - 19) 1 23 66 130 215 321 448 596 765 955 1166 1398 1651
24-צלעות ½n(22n - 20) 1 24 69 136 225 336 469 624 801 1000 1221 1464 1729
25-צלעות ½n(23n - 21) 1 25 72 142 235 351 490 652 837 1045 1276 1530 1807
26-צלעות ½n(24n - 22) 1 26 75 148 245 366 511 680 873 1090 1331 1596 1885
27-צלעות ½n(25n - 23) 1 27 78 154 255 381 532 708 909 1135 1386 1662 1963
28-צלעות ½n(26n - 24) 1 28 81 160 265 396 553 736 945 1180 1441 1728 2041
29-צלעות ½n(27n - 25) 1 29 84 166 275 411 574 764 981 1225 1496 1794 2119
30-צלעות ½n(28n - 26) 1 30 87 172 285 426 595 792 1017 1270 1551 1860 2197

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, David Wells (Penguin Books), 1997
  • Figurate Numbers, 2011 [1]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]