קירוב אוסין

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Gnome-colors-edit-find-replace.svg יש לשכתב ערך זה. ייתכן שהערך מכיל טעויות, או שהניסוח וצורת הכתיבה שלו אינם מתאימים.
אתם מוזמנים לסייע ולתקן את הבעיות, אך אנא אל תורידו את ההודעה כל עוד לא תוקן הדף. אם אתם סבורים כי אין בדף בעיה, ניתן לציין זאת בדף השיחה.

בשנת 1910, קרל וילהלם אוזיין (Carl Wilhelm Oseen) פיתח את קירוב אוסין, המתייחס לבעיות דינמיקת זורמים בהן שדה הזרימה כולל הפרעה קטנה. עבודתו התבססה על ניסויי ג'ורג' סטוקס אשר עסקו בחקר ספירה ברדיוס a הנופלת לתוך נוזל בעל צמיגות μ. אוסין פיתח תיקון הכולל פקטור אינרציה עבור המהירות שנלקחת בחישובי סטוקס לפתירת הבעיה. הקירוב שלו הוביל לשיפור של חישובי סטוקס.

שימושים[עריכת קוד מקור | עריכה]

תנועה איטית של חלקיקים קטנים בנוזל נפוצה בביו-הנדסה. נוסחת הגרר של אוסין ניתנת לשימוש בהקשר של זרימת נוזלים תחת תנאים שונים ומיוחדים, למשל: שקיעת חלקיקים, צנטריפוגה או אולטרא-צנטריפוגה, קולואידים, ודם העובר תחת בידוד של גידולים ואנטיגנים. הזורם לא חייב להיות נוזל, והחלקיקים לא חייבים להיות מוצקים. ניתן לשימוש במספר אפליקציות, כמו היווצרות ערפיח ואטומיזציה של נוזלים.

דוגמה[עריכת קוד מקור | עריכה]

זרימת דם בכלים קטנים, למשל נימים, מאופיינת על ידי מספרי ריינולדס ווומרסלי קטנים. צינור בקוטר d=10\mu m עם זרימה של U=1 \frac{mm}{sec}, צמיגות של 0.02 בשיווי משקל של דם, צפיפות של \rho=1\frac{gr}{cm^3}1 וקצב חום של 2Hz, ייתן מספר ריינולדס של N_R=0.005 ומספר וומרסלי של 0.0126. במספרים כה קטנים (N_R<<1), אפקטי הצמיגות של הנוזל יהפכו לדומיננטיים. הבנת התנועה של החלקיקים חיונית עבור חישוב [[גרר (כוח)|כוח הגרר, למשל עבור חקירת תנועה או הזזה של תאים סרטניים (גרורה).

חישובים[עריכת קוד מקור | עריכה]

אוסין החשיב את הספירה כסטציונרית, כאשר הנוזל זורם במהירות U במרחק אינסופי ממנה. האינרציה הוזנחה בחישובי סטוקס. זהו פתרון גבולי כאשר מספר ריינולדס שואף ל-0. כאשר מספר ריינולדס הוא קטן וסופי, (למשל 0.1) נדרש תיקון עבור הנחת האינרציה. אוסין הציב את המהירויות הבאות במשוואות נאוויה- סטוקס:

v1=U+v1'

v2=v2'

v3=v3'

בהצבת המהירויות למשוואות נאוויה-סטוקס, והזנחה של הנגזרות מסדר שני נקבל את הנגזרת של קירוב אוסין :

U\frac{\partial v_1'}{\partial x_1}=\frac{-1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x_1}+\nu \nabla^2v_i'

כאשר הפתרון של משוואת סטוקס נפתר על סמך בסיס קירוב אוסין, כוח הגרר ההידרודינמי נתון על ידי:

F=6\pi\mu aU(1+\frac{3}{8} N_R) כאשר:

  • N_R הוא מספר ריינולדס המתבסס על רדיוס הספירה.
  • F הוא הכוח ההידרודינמי
  • U היא מהירות הזרימה
  • a הוא רדיוס הספירה
  • μ היא הצמיגות

הכוח ממשוואת אוסין נבדל מהכוח ממשוואת סטוקס בפקטור של:

1+\frac{3}{8}N_R

הטעות בפתרון של סטוקס:[עריכת קוד מקור | עריכה]

משוואות נאוויה-סטוקס:

\nabla v'=0 v \nabla v'=-\nabla p+\nu \nabla^2 v'

שדה המהירויות:

v_y=U\cos \theta(1+\frac{a^3}{2r^3}-\frac{3a}{2r}) v_z=-U\sin \theta(1- \frac {a^3}{2r^3}-\frac{3a}{2r})

כאשר \frac{r}{a}>>1 הלחץ הויסקוזי נשלט על ידי האיבר האחרון. כלומר:

\nabla^2v'=O\left( \frac{a^3}{r^3} \right)

איבר האינרציה נשלט על ידי האיבר :

U\frac{\partial v'}{\partial z_1} \sim O\left( \frac{a^2}{r^2} \right)

והשגיאה נתונה על ידי היחס:

U\frac{\frac{\partial v'}{\partial z_1}}{\nu\nabla^2v'}=O\left( \frac{r}{a} \right)

כאשר \frac{r}a>>1 , זה הופך לבלתי מוגבל, ולכן לא ניתן להתעלם מהאינרציה בשדה הזרימה הרחוק יותר. משוואת סטוקס מובילה ל \nabla^2 \varsigma=0 . כיוון שהגוף הינו מקור לערבוליות, \varsigma יהפוך ללוגריתמי שאינו מוגבל עבור \frac{r}{a}>>1 . דבר זה אינו פיזיקלי וידוע כ"פרדוקס סטוקס".

תיקון לקירוב אוסין:[עריכת קוד מקור | עריכה]

הזורם שבסמוך לספירה נמצא כמעט במנוחה, ובאזור זה כוחות האינרציה זניחים ולכן משוואת סטוקס נכונה ומוצדקת. במרחק גדול מהספירה, מהירות הזורם שואפת ל- U וקירוב אוסין הוא המדויק יותר. אבל משוואת אוסין התקבלה משימוש במשוואת סטוקס עבור כל שדה הזרימה.

התשובה לבעיה זו ניתנה על ידי פרודמן (Ian  Proudman) ופירסון (J. R. A.  Pearson) בשנת 1957. הם פתרו את משוואת נאוויה סטוקס והציעו פתרון סטוקס משופר בסביבת הספירה ופתרון אוסין משופר רחוק מהספירה, באינסוף, והצליחו להתאים בין שני הפתרונות. לפיהם:

F=6\pi\mu aU(1+(3/8)N_R+(9/40)N_R ^2 \ln N_R+O(N_R ^2))