משוואות נאוויה-סטוקס

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

משוואות נאוויה-סטוקס מתארות תנועה של זורם צמיג כמו נוזל או גז. המשוואות נקראות על שם מפתחיהן קלוד לואי נאוויה וג'ורג' גבריאל סטוקס. הן נובעות מפיתוח של החוק השני של ניוטון, ומההנחה כי המאמצים בזורם נובעים מהפרש הלחצים בזורם ומצמיגות הזורם.

המשוואות הן בעלות חשיבות גדולה מכיוון שהן שימושיות ונפוצות בתחומים רבים, כגון מידול מזג האוויר וזרמים בים, זרימה בצנרת, וזרימה מסביב כנף של מטוס. יתר על כן, ישנו עניין במשוואות מבחינה מתמטית, שכן טרם הוכח שקיים תמיד פתרון למשוואות בשלושה ממדים, וכן לא הוכח שבאופן כללי פתרונות המשוואה אינם סובלים מסינגולריות או אי רציפויות. בעיות אלו הוכרזו על ידי מכון קליי למתמטיקה כאחת משבע הבעיות הפתוחות החשובות ביותר במתמטיקה, ואף הוצע פרס כספי בשווי של 1,000,000 דולרים לחוקר שיצליח להוכיח או להפריך את הטענה הזו.

משוואות נאוויה-סטוקס הן משוואות דיפרנציאליות. הנחת היסוד של המשוואות היא שהזורם הוא רציף, והן פותחו מתוך עקרונות בסיסיים של שימור מסה, שימור תנע ושימור אנרגיה. פתרון המשוואות הוא שדה מהירות שהוא תיאור של מהירות הזורם בכל נקודה במרחב ובזמן. מתוך שדה המהירות ניתן לחשב גדלים פיזיקליים אחרים.

המשוואות בצורתן הכללית[עריכת קוד מקור | עריכה]

בכתיב וקטורי, הצורה הכללית ביותר של המשוואות הינה:

\rho \left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v}\right) = -\nabla p + \nabla \cdot\mathbb{T} + \mathbf{f} +(\mu /3 + \zeta) \nabla (\nabla \cdot \mathbf{v})

כאשר \rho הוא צפיפות הזורם, \mathbf{v} הוא וקטור המהירות, t הוא הזמן, p הוא הלחץ, \mathbf{f} מייצג את הכוחות החיצוניים הפועלים במערכת (כמו כוח הכבידה או כוחות צנטריפוגליים), \mu היא הצמיגות, \zeta היא הצמיגות השנייה, ו- \mathbb{T} הוא טנזור הנגזר מתוך טנזור המאמצים \sigma_{ij}, והמקיים את הקשר:

\sigma_{ij} = -p\mathbb{I} + \mathbb{T}

כאן \mathbb{I} היא מטריצת היחידה.

המשוואות עבור נוזל ניוטוני בלתי דחיס[עריכת קוד מקור | עריכה]

עבור נוזל בלתי דחיס \nabla \cdot \mathbf{v}=0 ולכן האיבר האחרון מתאפס. כמו כן, עבור נוזל בלתי דחיס, \mathbb{T} הוא מאמץ הגזירה \tau. לכן, עבור נוזל ניוטוני בלתי דחיס, מתקיים

\nabla \cdot\mathbb{T}= \nabla \cdot \tau_{Newtonian fluid} = \mu \nabla^2 \mathbf{v}

בסה"כ, במקרה של נוזל ניוטוני בלתי דחיס, המשוואות מקבלות את הצורה

\rho \left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v}\right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{v} + \mathbf{f}

משוואות נאוויה סטוקס הן למעשה הכללה של החוק השני של ניוטון עבור זורם רציף, ולכל אחד מהאיברים לעיל ניתן לשייך משמעות פיזיקלית מוגדרת:


\overbrace{\rho \Big(
\underbrace{\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}}_{
\begin{smallmatrix}
 \text{Unsteady}\\
 \text{acceleration}
\end{smallmatrix}} + 
\underbrace{\mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v}}_{
\begin{smallmatrix}
 \text{Convective} \\
 \text{acceleration}
\end{smallmatrix}}\Big)}^{\text{Inertia}} =
\underbrace{-\nabla p}_{
\begin{smallmatrix}
 \text{Pressure} \\
 \text{gradient}
\end{smallmatrix}} + 
\underbrace{\mu \nabla^2 \mathbf{v}}_{\text{Viscosity}} + 
\underbrace{\mathbf{f}}_{
\begin{smallmatrix}
 \text{Other} \\
 \text{forces}
\end{smallmatrix}}

פתרון המשוואות נעשה בהינתן תנאי ההתחלה ותנאי השפה של הבעיה. משוואה נוספת בה משתמשים בעת הפתרון היא משוואת הרציפות שבמקרה של זורם בלתי דחיס מצטמצמת לביטוי \nabla \cdot \mathbf{v}=0.

מאפיינים[עריכת קוד מקור | עריכה]

אי-לינאיריות[עריכת קוד מקור | עריכה]

משוואות נאוויה-סטוקס הינן משוואות דיפרנציאליות חלקיות לא-לינאריות בכמעט כל מצב ריאלי, חוץ מכמה מקרים בודדים - כגון זרימה חד ממדית וזרימה זוחלת - שניתן בהם לפשט את המשוואה לצורה לינארית. העובדה שהמשוואות אינן לינאריות היא הסיבה העיקרית לקושי בפתרונן.

עבור נוזל ניוטוני בלתי דחיס האיבר הלא לינארי היחיד הינו איבר ה"הסעה" שמייצג תאוצה שנגרמת משינוי המהירות כפונקציה של המקום. דוגמה למקרה כזה היא מעבר זורם דרך זרבובית הולכת וצרה. במקרה זה מהירות הנוזל גדלה עם ההתקדמות בזרבובית, אך אף על פי שהמהירות של כל חלקיק יחיד תלויה בזמן, שדה המהירות קבוע בזמן.

ישימות[עריכת קוד מקור | עריכה]

יחד עם משוואות משלימות (לדוגמה, משוואת הרצף) ותנאי שפה מנוסחים היטב, משוואות נאוויה-סטוקס מסוגלות למדל תנועה זורמת באופן מדויק, תחת ההנחה של נוזל רציף (שאפשר לגזור אותו אינסוף פעמים ואינו מורכב מאטומים או מולקולות בדידות) וניוטוני (אינו נע במהירויות יחסותיות). כאשר מדובר בקנה מידה קטן מאוד או תחת תנאים קיצוניים, נוזלים אמיתיים העשויים ממולקולות בדידות יפיקו תוצאות שונות מאלו המחולצות מהמשוואה. בהתאם למספר קנודסן, ייתכן כי גישה מתאימה יותר לפתרון שדה הזרימה היא שימוש במכניקה סטטיסטית או לעתים רחוקות בדינמיקה מולקולרית.

עבור נוזלים טורבולנטיים קשה יותר לקבוע בוודאות שהמשוואות מהוות מידול מדויק עבור שדה הזרימה, אך לרוב התוצאות המתקבלות על ידי שימוש במשוואות מתאימות לתצפיות ניסויות. הפתרון הנומרי של משוואות נאוויה-סטוקסל עבור זרימה טורבולנטית היא קשה מאוד, וצורך רזולוציית רשת קטנה במיוחד כאשר ממדלים את הבעיה בעזרת מחשב, מה שגורם לכך שקשה עד בלתי אפשרי להגיע לפתרון. ניסיונות לפתור את הזרימה הטורבולנטית באמצעות מידול למינרי מביאים בדרך כלל לפתרון לא יציב בזמן, אשר לא מצליח להתכנס כראוי. על מנת להתמודד עם בעיה זו, לעתים נעשה שימוש במשוואות שלוקחות בחשבון זמן ממוצע - כגון משוואות נאוויה-סטוקס עם מיצוע של מספר ריינולדס (RANS) - בתוספת דגמים טורבולנטיים, עבור דינמיקה חישובית של נוזלים (CFD). טכניקה נוספת לפתרון הבעיה היא שימוש ב-Large Eddy Simulation, או בקצרה LES (ראה ערך באנגלית). גישה זו יקרה יותר מאשר שיטת RANS (בזמן ובזיכרון מחשב), אבל מייצרת תוצאות טובות יותר.

המשוואות בקואורדינטות קרטזיות[עריכת קוד מקור | עריכה]

כשאנו מתייחסים לוקטור המהירות כאל \mathbf{v}=(u,v,w) (כאשר u,v,w מייצגים את רכיבי המהירות בכיוון הצירים של המערכת), נוכל להפריד את המשוואה הווקטרית לשלוש משוואות סקלריות.

 u: \rho \left(\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y}+ w \frac{\partial u}{\partial z}\right) = -\frac{\partial p}{\partial x} + \mu \left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\right)+ \rho g_x

 v: \rho \left(\frac{\partial v}{\partial t} + u \frac{\partial v}{\partial x} + v \frac{\partial v}{\partial y}+ w \frac{\partial v}{\partial z}\right) = -\frac{\partial p}{\partial y} + \mu \left(\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial z^2}\right) + \rho g_y
 w: \rho \left(\frac{\partial w}{\partial t} + u \frac{\partial w}{\partial x} + v \frac{\partial w}{\partial y}+ w \frac{\partial w}{\partial z}\right) = -\frac{\partial p}{\partial z} + \mu \left(\frac{\partial^2 w}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 w}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 w}{\partial z^2}\right) + \rho g_z

יצוין שgx, gy, gz תלויים באוריינטציה של התאוצה הגרוויטציונית במערכת הצירים אותו אנו בוחרים.

משוואת הרציפות בקואורדינטות קרטיזיות הינה:

{\partial \rho \over \partial t} + {\partial (\rho u ) \over \partial x} + {\partial (\rho v) \over \partial y} + {\partial (\rho w) \over \partial z} = 0

תחת ההנחה של נוזל בלתי דחיס - \rho קבוע - וההנחה של זרימה תמידית, שגוררת את ההתאפסות של הנגזרות לפי הזמן, נוכל לפשט את משוואת הרצף למשוואה:

{\partial u \over \partial x} + {\partial v \over \partial y} + {\partial w \over \partial z} = 0.

המערכת של ארבעת המשוואות הללו מהווה את הצורה הכי שכיחה ונלמדת של משוואות נאוויה-סטוקס.

המשוואות בקואורדינטות גליליות[עריכת קוד מקור | עריכה]

שימוש בקואורדינטות גליליות יתן לנו את מערכת המשוואות הבאה:


r:\;\;\rho \left(\frac{\partial u_r}{\partial t} + u_r \frac{\partial u_r}{\partial r} + \frac{u_{\phi}}{r} \frac{\partial u_r}{\partial \phi} + u_z \frac{\partial u_r}{\partial z} - \frac{u_{\phi}^2}{r}\right) =
-\frac{\partial p}{\partial r} +
\mu \left[\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial u_r}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u_r}{\partial \phi^2} + \frac{\partial^2 u_r}{\partial z^2}-\frac{u_r}{r^2}-\frac{2}{r^2}\frac{\partial u_\phi}{\partial \phi} \right] + \rho g_r

\phi:\;\;\rho \left(\frac{\partial u_{\phi}}{\partial t} + u_r \frac{\partial u_{\phi}}{\partial r} + \frac{u_{\phi}}{r} \frac{\partial u_{\phi}}{\partial \phi} + u_z \frac{\partial u_{\phi}}{\partial z} + \frac{u_r u_{\phi}}{r}\right) =
-\frac{1}{r}\frac{\partial p}{\partial \phi} +
\mu \left[\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial u_{\phi}}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u_{\phi}}{\partial \phi^2} + \frac{\partial^2 u_{\phi}}{\partial z^2} + \frac{2}{r^2}\frac{\partial u_r}{\partial \phi} - \frac{u_{\phi}}{r^2}\right] + \rho g_{\phi}

z:\;\;\rho \left(\frac{\partial u_z}{\partial t} + u_r \frac{\partial u_z}{\partial r} + \frac{u_{\phi}}{r} \frac{\partial u_z}{\partial \phi} + u_z \frac{\partial u_z}{\partial z}\right) =
-\frac{\partial p}{\partial z} + \mu \left[\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial u_z}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u_z}{\partial \phi^2} + \frac{\partial^2 u_z}{\partial z^2}\right] + \rho g_z.

לרוב נבחר את מערכת הצירים כך שרכיבי התאוצה הגרווטציונית יהיו קבועים - הן על ידי בחירת ציר z כך שיהיה בכיוון הגרוויטציה והן על ידי בחירת מערכת הצירים כך שכח המשיכה יתבטל עם כוח הנובע מהפרש לחצים.

משוואת הרצף בקואורדינטות גליליות:


\frac{\partial\rho}{\partial t} +
\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(\rho r u_r\right) +
\frac{1}{r}\frac{\partial (\rho u_\phi)}{\partial \phi} +
\frac{\partial (\rho u_z)}{\partial z} = 0.

נוח מאוד לקבוע את מערכת הצירים כך שהמערכת תהייה אקסי-סימטרית. במקרה זה אין למשוואות תלות בזווית \phi.


\rho \left(\frac{\partial u_r}{\partial t} + u_r \frac{\partial u_r}{\partial r} + u_z \frac{\partial u_r}{\partial z}\right) =
-\frac{\partial p}{\partial r} +
\mu \left[\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial u_r}{\partial r}\right) + \frac{\partial^2 u_r}{\partial z^2} - \frac{u_r}{r^2}\right] + \rho g_r

\rho \left(\frac{\partial u_z}{\partial t} + u_r \frac{\partial u_z}{\partial r} + u_z \frac{\partial u_z}{\partial z}\right) =
-\frac{\partial p}{\partial z} + \mu \left[\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial u_z}{\partial r}\right) + \frac{\partial^2 u_z}{\partial z^2}\right] + \rho g_z

\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r u_r\right) + \frac{\partial u_z}{\partial z} = 0.

המשוואות בקואורדינטות כדוריות[עריכת קוד מקור | עריכה]

משוואות נאוויה-סטוקס בקואורדינטות כדוריות הם:


r:\;\;\rho \left(\frac{\partial u_r}{\partial t} + u_r \frac{\partial u_r}{\partial r} + \frac{u_{\phi}}{r \sin(\theta)} \frac{\partial u_r}{\partial \phi} + \frac{u_{\theta}}{r} \frac{\partial u_r}{\partial \theta} - \frac{u_{\phi}^2 + u_{\theta}^2}{r}\right) = -\frac{\partial p}{\partial r} + \rho g_r +

\mu \left[
\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial u_r}{\partial r}\right) +
\frac{1}{r^2 \sin(\theta)^2} \frac{\partial^2 u_r}{\partial \phi^2} +
\frac{1}{r^2 \sin(\theta)} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin(\theta) \frac{\partial u_r}{\partial \theta}\right) -
2 \frac{u_r + \frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta} + u_{\theta} \cot(\theta)}{r^2} -
\frac{2}{r^2 \sin(\theta)} \frac{\partial u_{\phi}}{\partial \phi}
\right]

\phi:\;\;\rho \left(\frac{\partial u_{\phi}}{\partial t} + u_r \frac{\partial u_{\phi}}{\partial r} + \frac{u_{\phi}}{r \sin(\theta)} \frac{\partial u_{\phi}}{\partial \phi} + \frac{u_{\theta}}{r} \frac{\partial u_{\phi}}{\partial \theta} + \frac{u_r u_{\phi} + u_{\phi} u_{\theta} \cot(\theta)}{r}\right) = -\frac{1}{r \sin(\theta)} \frac{\partial p}{\partial \phi} + \rho g_{\phi} +

\mu \left[
\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial u_{\phi}}{\partial r}\right) +
\frac{1}{r^2 \sin(\theta)^2} \frac{\partial^2 u_{\phi}}{\partial \phi^2} +
\frac{1}{r^2 \sin(\theta)} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin(\theta) \frac{\partial u_{\phi}}{\partial \theta}\right) +
\frac{2 \sin(\theta) \frac{\partial u_r}{\partial \phi} + 2 \cos(\theta) \frac{\partial u_{\theta}}{\partial \phi} - u_{\phi}}{r^2 \sin(\theta)^2}
\right]

\theta:\;\;\rho \left(\frac{\partial u_{\theta}}{\partial t} + u_r \frac{\partial u_{\theta}}{\partial r} + \frac{u_{\phi}}{r \sin(\theta)} \frac{\partial u_{\theta}}{\partial \phi} + \frac{u_{\theta}}{r} \frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta} + \frac{u_r u_{\theta} - u_{\phi}^2 \cot(\theta)}{r}\right) = -\frac{1}{r} \frac{\partial p}{\partial \theta} + \rho g_{\theta} +

\mu \left[
\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial u_{\theta}}{\partial r}\right) +
\frac{1}{r^2 \sin(\theta)^2} \frac{\partial^2 u_{\theta}}{\partial \phi^2} +
\frac{1}{r^2 \sin(\theta)} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin(\theta) \frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta}\right) +
\frac{2}{r^2} \frac{\partial u_r}{\partial \theta} -
\frac{u_{\theta} + 2 \cos(\theta) \frac{\partial u_{\phi}}{\partial \phi}}{r^2 \sin(\theta)^2}
\right].

כאשר \theta היא קו הרוחב, ו-\phi היא האזימוט.

משוואת הרצף בקואורדינטות כדוריות:


\frac{\partial \rho}{\partial t} +
\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(\rho r^2 u_r\right) +
\frac{1}{r \sin(\theta)}\frac{\partial \rho u_\phi}{\partial \phi} +
\frac{1}{r \sin(\theta)}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin(\theta) \rho u_\theta\right) = 0.

השפעת מספר ריינולדס של הנוזל על המשוואות[עריכת קוד מקור | עריכה]

מספר ריינולדס הוא גודל חסר ממד, המבטא את היחס בין כוחות האינרציה של הזורם לבין כוחות החיכוך הפועלים בין הזורם לסביבה.

 \mbox{Re} = \frac{\textrm{Pressure Forces}}{\textrm{Viscous Forces}} = {\rho v_{s} L\over \mu} = {v_{s} L\over \nu} = {{QL} \over {\nu}A}

אם לזורם יש מספר ריינולדס גדול, אזי כוחות האינרציה של הזורם גדולים יחסית מהכוחות שנובעים מצמיגותו של הגוף, וניתן להזניח את האיברים במשוואת נאוויה-סטוקס התלויים בצמיגות. מאידך, נוזל עם מספר ריינולדס קטן במיוחד יושפע הרבה יותר מצמיגותו מאשר מכוחות האינרציה, וניתן להזניח את כל איברי המשוואה התלווים ב-\rho, המהווים את כלל האיברים מצדו השמאלי של השוויון.

הנחות מפשטות אפשריות למשוואות[עריכת קוד מקור | עריכה]

להלן רשימה של כמה הנחות אשר מפשטות את משוואות נאוייה סטוקס, ובכך גורמות לכך שיהיה יותר קל למצוא פתרון אנליטי או נומרי.

הנחה משמעות מתמטית הסבר
זרימה תמידית \frac {\partial}{\partial t} = 0 הזורם התייצב במצב מתמיד אחרי זמן יחסית ארוך, כך שכבר אינו משתנה כפונקציה של הזמן.
זרימה מפותחת בכיוון i \frac {\partial u}{\partial i} = 0 המהירות אינה מושפעת מאפקטי הקצוות של הבעיה הנתונה, ונשארת קבועה בכיוון i. יש לציין כי הנחה זו אינה תקפה עבור פרופיל הלחץ.
אקסיסימטריות \frac {\partial}{\partial \theta} = 0 (עבור משוואת נאוויה סטוקס בקואורדינטות גליליות) - המהירות והלחץ אינם משתנים בכיוון המשיקי, זאת אומרת שאין שינוי בלחץ ובמהירות כתלות בזווית \theta.
דו-ממדיות w = 0 , \frac {\partial}{\partial w} = 0 הערכים בבעיה תלויים בשני ממדים בלבד וקבועים לאורך הכיוון השלישי. כמו כן, אין מהירות בכיוון זה.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]