משוואות נאוויה-סטוקס

משוואות נאוויה-סטוקס מתארות תנועה של זורם צמיג כמו נוזל או גז. המשוואות נקראות על שם מפתחיהן קלוד לואי נאוויה וג'ורג' גבריאל סטוקס.

המשוואות הן בעלות חשיבות גדולה מכיוון שהן שימושיות ונפוצות בתחומים רבים. יתר על כן, ישנו עניין במשוואות מבחינה מתמטית טהורה שכן טרם הוכח שקיים תמיד פתרון למשוואות בשלושה ממדים, וכן לא הוכח שבאופן כללי פתרונות המשוואה אינם סובלים מסינגולריות או אי רציפויות. בעיות אלו הוכרזו על ידי מכון קליי למתמטיקה כאחת משבע הבעיות הפתוחות החשובות ביותר במתמטיקה.

משוואות נאוויה סטוקס הן משוואות דיפרנציאליות. הנחת היסוד של המשוואות היא שהזורם הוא רציף, והן פותחו מתוך עקרונות בסיסיים של שימור מסה, שימור תנע ושימור אנרגיה. פתרון המשוואות הוא שדה מהירות שהוא תיאור של מהירות הזורם בכל נקודה במרחב ובזמן. מתוך שדה המהירות ניתן לחשב גדלים פיזיקליים אחרים.

המשוואות בצורתן הכללית

בכתיב וקטורי, הצורה הכללית ביותר של המשוואות הינה:

$\rho \left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v}\right) = -\nabla p + \nabla \cdot\mathbb{T} + \mathbf{f} +(\eta /3 + \zeta) \nabla (\nabla \cdot \mathbf{v})$

כאשר $\rho$ הוא צפיפות הזורם, $\mathbf{v}$ הוא וקטור המהירות, t הוא הזמן, p הוא הלחץ, $\mathbf{f}$ מייצג את הכוחות החיצוניים הפועלים במערכת (כמו כוח הכבידה או כוחות צנטריפוגליים), $\eta$ היא הצמיגות, $\zeta$ היא הצמיגות השנייה, ו- $\mathbb{T}$ הוא טנזור הנגזר מתוך טנזור המאמצים $\sigma_{ij}$, והמקיים את הקשר:

$\sigma_{ij} = -p\mathbb{I} + \mathbb{T}$

כאן $\mathbb{I}$ היא מטריצת היחידה.

המשוואות עבור נוזל ניוטוני בלתי דחיס

עבור נוזל בלתי דחיס $\nabla \cdot \mathbf{v}=0$ ולכן האיבר האחרון מתאפס. כמו כן, עבור נוזל בלתי דחיס, $\mathbb{T}$ הוא מאמץ הגזירה $\tau$. לכן, עבור נוזל ניוטוני בלתי דחיס, מתקיים

$\nabla \cdot\mathbb{T}= \nabla \cdot \tau_{Newtonian fluid} = \eta \nabla^2 \mathbf{v}$

בסה"כ, במקרה של נוזל ניוטוני בלתי דחיס, המשוואות מקבלות את הצורה

$\rho \left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v}\right) = -\nabla p + \eta \nabla^2 \mathbf{v} + \mathbf{f}$

משוואות נאוויה סטוקס הן למעשה הכללה של החוק השני של ניוטון עבור זורם רציף, ולכל אחד מהאיברים לעיל ניתן לשייך משמעות פיזיקלית מוגדרת:

$\overbrace{\rho \Big( \underbrace{\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}}_{ \begin{smallmatrix} \text{Unsteady}\\ \text{acceleration} \end{smallmatrix}} + \underbrace{\mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v}}_{ \begin{smallmatrix} \text{Convective} \\ \text{acceleration} \end{smallmatrix}}\Big)}^{\text{Inertia}} = \underbrace{-\nabla p}_{ \begin{smallmatrix} \text{Pressure} \\ \text{gradient} \end{smallmatrix}} + \underbrace{\eta \nabla^2 \mathbf{v}}_{\text{Viscosity}} + \underbrace{\mathbf{f}}_{ \begin{smallmatrix} \text{Other} \\ \text{forces} \end{smallmatrix}}$

עבור נוזל ניוטוני בלתי דחיס האיבר הלא לינארי היחיד הינו איבר ה"הסעה" שמייצג תאוצה שנגרמת משינוי המהירות כפונקציה של המקום. דוגמה למקרה כזה היא מעבר זורם דרך זרבובית הולכת וצרה. במקרה זה מהירות הנוזל גדלה עם ההתקדמות בזרבובית, אך אף על פי שהמהירות של כל חלקיק יחיד תלויה בזמן, שדה המהירות קבוע בזמן.

פתרון המשוואות נעשה בהינתן תנאי ההתחלה ותנאי השפה של הבעיה. משוואה נוספת בה משתמשים בעת הפתרון היא משוואת הרציפות שבמקרה של זורם בלתי דחיס מצטמצמת לביטוי $\nabla \cdot \mathbf{v}=0$.