רדיוס שוורצשילד

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Gnome-colors-edit-find-replace.svg יש לשכתב ערך זה. הסיבה לכך היא: הערך נותן רק את החישוב הקלאסי שבעצמו הוא כותב שהוא לא נכון, ומכיל שגיאות לשוניות רבות.
אתם מוזמנים לסייע ולתקן את הבעיות, אך אנא אל תורידו את ההודעה כל עוד לא תוקן הדף. אם אתם סבורים כי אין בדף בעיה, ניתן לציין זאת בדף השיחה.

רדיוס שוורצשילד (או הרדיוס הכבידתי) הוא ערך גבולי של רדיוס המתקשר לכל מסה ופרופורציונאלי לגודלה, אשר מגדיר עבור המסה איזור המהווה חור שחור - שעם ההתקרבות אליו עוצמת שדה הגרביטציה עולה באופן אקספוננציאלי, ומעבר לו כל גוף וקרינה אינם יכולים אלא לנוע ולהיבלע פנימה. לפי שוורצשילד, אם נדחס את מסתו של גוף כולשהו לכדור שרדיוסו הוא רדיוס שוורצשילד של הגוף, גוף זה יהפוך לחור שחור. כאשר, במידה ורדיוס שוורצשילד נמצא בתחום החומר של גוף, גבול זה הוא תיאורטי בלבד. לדוגמה, רדיוס שוורצשילד של השמש הוא כ-3 ק"מ לערך, אך מאחר שהיא משתייכת לקבוצת הננסים הצהובים - כלומר מסתה ביחס לשמשות אחרות היא קטנה ונמוכה מגבול צ'נדראסקאר - שלב החיים האחרון שלה הוא ננס לבן, והיא אינה צפויה לקרוס לחור שחור.
בהתייחס לחורים שחורים, רדיוס שוורצשילד מגדיר את מעטפת אופק האירועים. רדיוס שוורצשילד נתגלה בידי קרל שוורצשילד ב-1916, כחלק מן הפתרונות שהציע למשוואות איינשטיין. המונח משמש בפיזיקה ובאסטרונומיה.

הגדרה מתמטית[עריכת קוד מקור | עריכה]

רדיוס שוורצישילד נתון על ידי

r_s = \frac{2GM}{c^2} \approx 1.48 \times 10^{-27} \cdot \frac{M}{[\mathrm{kg}]} \ [\mathrm{meters}] = \frac{M_\mathrm{star}}{[M_{\mathrm{sun}}]} \ \times 3 \ [\mathrm{km}]

כאשר:

  • \,r_s הוא רדיוס שוורצשילד.
  • \,G הוא קבוע הכבידה של ניוטון ושווה ל-\,6.67\times10^{-11} \mbox{N m}^2/\mbox{Kg}^2.
  • \,c היא מהירות האור (כ-300,000 ק"מ לשנייה).
  • \,M היא מסת הכוכב בק"ג.
  • \,M_\mathrm{star} היא מסת הכוכב ביחידות של מסת השמש.
  • מסת השמש היא \ M_{\mathrm{sun}} = 2 \times 10^{30} \ \mathrm{kg}

לנוסחת חישוב רדיוס שוורצשילד, ישנה הוכחה פשוטה המתבססת על שינוי נושא נוסחה של נוסחת חישוב מהירות מילוט.

הוכחה:

בהתבסס על הנוסחה:

\ v_e = \sqrt{\frac{2GM}{r}}

נציב במקום Ve את הקבוע c, מהירות האור (כיוון שאנו רוצים לחשב את הרדיוס של עצם שאפילו אור אינו יכול להמלט משדה הכבידה שלו, כלומר מהירות המילוט שלו שווה או גדולה ממהירות האור), ונקבל:

\ c = \sqrt{\frac{2GM}{r}}

"נפטר" מהשורש הריבועי על ידי העלאה בריבוע של המשוואה, ונקבל:

\ c^2 = \frac{2GM}{r}

נכפיל את המשוואה ב-r על מנת לקבל מכנה משותף ונקבל:

\ c^2r =2GM

ונחלק את המשוואה ב c2 על מנת לבודד את r, ונקבל:

\ r = \frac{2GM}{c^2} כנדרש.


הנוסחה הנ"ל מתקבלת מחישוב לפי תורת היחסות הכללית. המכניקה של ניוטון אינה מתאימה לחישוב זה, מאחר שאינה מותאמת לטיפול במהירויות יחסותיות. עם זאת, נקבל תשובה נכונה, עקב כך שהעקרונות הפיזיקאלים נכונים. גוף שרדיוסו קטן מרדיוס שוורצשילד שלו נקרא חור שחור, מכיוון שאפילו האור אינו יכול להמלט ממנו (עקרונית, הרדיוס הוא המרחק ממרכז החור השחור שבו מהירות הבריחה שווה למהירות האור).