רדיוס שוורצשילד

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

רדיוס שוורצשילד או הרדיוס הכבידתי (הרדיוס הגרביטציוני) הוא ערך גבולי של רדיוס המתקשר לכל מסה ופרופורציונלי לגודלה. הערך מגדיר עבור המסה אזור המכונה חור שחור - שעם ההתקרבות אליו עוצמת שדה הגרביטציה נעשה חזק וקצב השתנותו נעשה תלול, ומעבר לו כל גוף וקרינה אינם יכולים אלא לנוע פנימה ולהיבלע בתוכו. עצם שכל מסתו נמצאת בתוך רדיוס שוורצשילד שלו הוא עצם שעבר קריסה כבידתית ומהווה חור שחור. רדיוס שוורצשילד נתגלה בידי קרל שוורצשילד ב-1916, כחלק מן הפתרונות שהציע למשוואות איינשטיין (מטריקת שוורצשילד).ערך זה מציין למעשה אזור של סינגולריות קואורדינטורית, המהווה תנאי הכרחי אך בלתי מספיק לקיום סינגולריות כבידתית, המתאפיינת בעקמומיות וצפיפות אינסופית. בהתייחס לחורים שחורים, רדיוס שוורצשילד מגדיר את מעטפת אופק האירועים.

המונח משמש בפיזיקה ובאסטרונומיה.

הרחבה[עריכת קוד מקור | עריכה]

לפי שוורצשילד, אם נדחס את מסתו של גוף כלשהו לכדור שרדיוסו הוא רדיוס שוורצשילד של הגוף, גוף זה יהפוך לחור שחור. עם זאת, מאחר שפתרון שוורצשילד החיצוני מוגבל לתחום הסובב את המסה הנידונה (מחוץ לחומר), בהתייחס לתחום החומר הוא אינו אלא גבול תאורטי.‏[1] לדוגמה, רדיוס שוורצשילד של השמש הוא כ-3 ק"מ לערך, כלומר עמוק בתחום החומר (רדיוס השמש כיום מוערך בכ- 700,000 ק"מ) ולכן אינו אלא גבול תיאורטי. למעשה, מאחר שהשמש משתייכת לקבוצת הננסים הצהובים - כלומר מסתה היא קטנה ביחס לשמשות אחרות ונמוכה מגבול צ'נדראסקאר, הנדרש לגבירת כוח הגרביטציה המושך לקריסה על לחץ הניוון המנוגד לה - שלב החיים האחרון שלה הוא ננס לבן, והיא רחוקה מלקרוס לחור שחור. רדיוס שוורצשילד הוא יחסי למסת הכוכב, ועצמים ואינפורמציה אינם יכולים לצאת ממנו. הרדיוס משמש גם להגדרת אופק האירועים של חור לבן.

הגדרה מתמטית[עריכת קוד מקור | עריכה]

רדיוס שוורצישילד, r_s, נתון על ידי הנוסחה:

r_s = \frac{2GM}{c^2}

כאשר:


רדיוס שוורצשילד של גוף הוא על כן בקירוב 1.48 \times 10^{-27} פעמים מסת הגוף.

מאחר שרדיוס שוורצשילד לפי הגדרתו הוא הגבול שמעבר לו אף אור אינו יכול להימלט משדה הכבידה של הגוף, מהירות המילוט מרדיוס שוורצשילד עצמו שווה בעצם למהירות האור, ולכן ניתן לחלץ את משוואתו מנוסחת חישוב מהירות מילוט.

נוסחת מהירות המילוט היא:

\ v_e = \sqrt{\frac{2GM}{r}}

לשם קבלת הרדיוס עבורו מהירות המילוט שווה למהירות האור, נציב במקום Ve את מהירות האור, c:

\ c = \sqrt{\frac{2GM}{r}}

נבודד את r, ונקבל את רדיוס שוורצשילד:

\ r = \frac{2GM}{c^2}


החישוב היחסותי[עריכת קוד מקור | עריכה]

את רדיוס שוורצשילד ניתן לקבל ממטריקת שוורצשילד - פתרון שוורצשילד החיצוני למשוואות איינשטיין[2], החוקר מקרה של גוף מבודד (הנמצא בריק (צפיפות 0), רחוק מכל המסות האחרות ביקום), ואשר עומד על ההנחה כי המרחב הנידון הוא איזוטרופי (הכיוונים בו שווה ערך) והנחה שנייה, של קיום פתרון סטטי - מצב יציב שאינו תלוי זמן‏[3]. הנחות מוצא אלו מאפשרות לצמצם את משוואות איינשטיין לשלוש משוואות עיקריות ולחלץ מהן את ריבוע האינטרוול והטנזור המטרי (הכלים המתמטיים המגדרים את עקמומיות המרחב-זמן) המאפיינים את המקרה שהוגדר, של גוף מבודד (קירוב טוב לתיאור מערכת השמש שלנו, למשל). הטנזור המטרי אשר מתקבל תחת הנחות אלו הוא המטריצה:

A =\left( \begin{matrix} \frac{-1}{1-\frac{2m}{r}}& 0 & 0 & 0 \\ 0 & -{r^2}& 0 & 0 \\ 0 & 0 & -{r^2}\sin^2\theta& 0 \\ 0 & 0 & 0 & {1-\frac{2m}{r}}\end{matrix} \right)

כאשר:

  • m הוא קבוע אינטגרציה, הפרופורציוני למסה הקבועה במרכז (M), שערכו לפי פתרון שוורצשילד החיצוני הוא m=\frac {GM} {c^2}
  • r הוא המרחק מן המסה

מהתבוננות בטנזור המטרי ניתן לראות כי רכיבי האלכסון הראשי של המרחב הנבחן אינם קבועים ותלויי מקום, דבר המצביע על עקמומיות המרחב-זמן ותואם מערכת הנתונה להשפעת כבידה. בחינה נוספת מראה כי עבור מרחק שגודלו r = \frac{2GM}{c^2} , הרכיבים הקיצונים באלכסון, A11 ו- A44 ( \frac{-1}{1-\frac{2m}{r}} ו - {1-\frac{2m}{r}}), הופכים לקיצוניים - האחד שואף לאינסוף ואילו האחר לאפס. ערך 'בעייתי' זה הוא רדיוס שוורצשילד. זהו למעשה ערך הרדיוס שעבורו רכיבי הטנזור גורמים לקשיים ו'שוברים' את מערכת הקואורדינטות בה נעשה שימוש - כלומר, מצביעים על כך שזו אינה מתאימה עוד לתיאור המרחב הפיסיקלי בנקודה זו‏[4]. ההתבדרות זו מציינת קיומה של סינגולריות של הקואורדינטות - תנאי הכרחי, אך בלתי מספיק, לקיומה של סינגולריות כבידתית (המתאפיינת בעקמומיות אינסופית).

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ ראו, עמוס הרפז, מושגים בתורת היחסות, עמוד 136.
  2. ^ פתרון שוורצשילד העוסק במרחב הריק הסובב מסה - להבדיל מהפתרון הפנימי, העוסק בתחום החומר עצמו. ראו, עמוס הרפז, מושגים בתורת היחסות, עמוד 118.
  3. ^ ראו, עמוס הרפז, מושגים בתורת היחסות, עמוד 117.
  4. ^ ראו, עמוס הרפז, מושגים בתורת היחסות, עמוד 133-4