מרחב-זמן

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
איור הממחיש כיצד המסה מעקמת את המרחב-זמן. בשרטוט, המרחב-זמן מתואר כסריג דו-ממדי הנמצא בעל-מרחב תלת ממדי.

בפיזיקה, מרחב-זמן או רצף מרחב-זמן הוא המרחב הארבעה-ממדי, שנהוג לייצגו על ידי מערכת קואורדינטות מרחביות וקאורדינטת זמן, בה כל נקודה מציינת אירוע המתרחש במקום וזמן מסוימים‏[1]. לעתים נקרא גם מרחב מינקובסקי, על שם המתמטיקאי הרמן מינקובסקי שהציע את הרעיון והמודל המתמטי הראשון של מרחב-זמן בשנת 1907.

המרחב-זמן הוא אחד הביטויים הבולטים להבדלים בין התפיסה המכנית הקלאסית, הרואה בזמן ובמרחב ממדים נפרדים ובלתי תלויים, לבין התפיסה הייחסותית, הרואה בזמן ובמרחב גדלים הקשורים זה בזה ותלויים בתנועה היחסית של הצופה והאובייקט הנצפה ובהשפעת שדות גרביטציה.

השימוש במודל המרחב-זמן, איפשר מעבר מן הייצוג הסטטי והרגעי של אירועים, המאפיין את המרחב התלת-ממדי, לייצוג משוכלל יותר, המעניק תיאור רציף ושלם של היקום המתפתח‏[2]. מעבר לכך, הגאומטריה והמטריקה של המרחב-זמן היוו כלי מרכזי להבנת, הפשטת והעברת רעיונות יסוד בתורת היחסות הפרטית והכללית, כמו גם לפיתוחם של הללו ושל תאוריות אחרות העסוקות ברמת המיקרו או המקרו של היקום. רעיון המרחב-זמן לא רק הצליח להמחיש את קביעותיה של תורת היחסות, ובייחוד את ההשקפה שמרחב וזמן הם שתי פנים לישות אחת, אלא גם שינה את ההשקפה על היקום, בהעניקו לזירת האירועים עצמה גוף ו'חיים'; תפיסה זו עולה מן המחקרים המוקדמים של המרחב-זמן, אך ביתר שאת ממודל המרחב-זמן הכבידתי שהציגה תורת היחסות הכללית; תחת מרחב סטאטי, שהוא המקום בו דברים נמצאים ואשר אינו עושה כלום, נעשה מעבר לזירה דינאמית יותר - מרחב-זמן המנחה את תנועת החומר והאנרגיה, שתצורתו נקבעת על ידי החומר והאנרגיה, ואשר, לפי הקוסמולוגיה בת ימינו, נוצר במפץ הגדול.
במהלך המאה העשרים, עם השתרשות תורת היחסות, חדר מושג המרחב-זמן לתחומים שונים של הפיזיקה, ואף החל לשמש כשם כללי למארג היקום או ה'עולם שלנו'.

הופעת המושג[עריכת קוד מקור | עריכה]

בקוסמולוגיה של בני האינקה, כמו בזו של ילידי האנדים, שתרבותם הושפעה מזו של בני האינקה, הזמן והמרחב נתפסים כישות אחת, המכונה פאצ'ה (בשפת קצ'ואה ושפת איימרה: פאצ'ה); כאשר המושג משמש הן להתייחסות ליקום כולו (הנתפס כמערכת מאוחדת אחת), והן להתייחסות לרגע במציאות - 'אירוע עולמי'‏[3]. ככל הידוע זוהי התפיסה הרעיונית המוקדמת ביותר של המרחב והזמן כאחדות. אזכורים מוכרים של רעיונות משיקים, בתרבות המערב, החלו להופיע רק למן המאה ה-18, כאשר המוקדמים שבהם נעשו במסגרת מדעית. בכתבים פילוסופיים ובדיוניים מן המאה ה-19 קיימות כמה התייחסויות לרעיון, שהרקע להן הוא העיסוק בסובייקטיביות למול ממשות, בגבולי ההכרה ומעמדן המעורער של קטגוריות התבונה האופיינים לתקופה. הראשונה שבהן הופיעה במאמר מ-1813, הנושא את השם "על השורש הארבעה-ראשי של עקרון הטעם המספיק", של הפילוסוף הגרמני ארתור שופנהאואר. מאמרו של שופנהאואר מהווה מעין המשך לוויכוח הפילוסופי המוכר שהתנהל בין גוטפריד וילהלם לייבניץ לסמואל קלארק לגבי מוחלטות המרחב והזמן, אף שמסקנותיו שונות. במאמר טוען שופנהאואר כי יש לשלב את מושגי הזמן והמרחב לשם ייצוג שלם של העולם: "לא ניתן לייצג את הקיום המאוחד רק באמצעות הזמן; מאחר שבזמן לבדו כלל הדברים עוקבים, ובמרחב לבדו כלל הדברים מצויים זה לצד זה; מכך נגזר כי רק משילוב הזמן והמרחב עולה האפשרות לייצוג הקיום המאוחד". התייחסות מוקדמת אחרת הופיעה בשנת 1848, במאמר העוסק בקוסמולוגיה, שכותרתו "אאורקה", משל אדגר אלן פו, בו פו טוען לאחדות המרחב והזמן, בקבעו כי "מרחב ומשך חד הם". ההתייחסות המוקדמת ביותר לרעיונות דומים במסגרת הספרות הבדיונית הופיעה ב-1895, בספר מדע בדיוני של הרברט ג'ורג' ולס, מכונת הזמן: "אין כל הבדל בין הזמן וכל אחד משלושת מממדי המרחב, למעט זאת שההכרה שלנו נעה לאורכו," קובע הנוסע בזמן בספרו של ולס, ומוסיף, "לכל גוף ממשי חייבת להיות הרחבה בארבעה כיוונים: חייב להיות לו אורך, רוחב, עובי, ומשך". עם הפיתוח הפיזיקלי והמתמטי של המרחב-זמן (ראו סקירה להלן) במהלך המאה העשרים, נפוצו יותר ויותר התייחסויות בשדה הפילוסופיה והאומנות למושג המרחב-זמן והשלכותיו, כאשר אלו תואמים יותר ויותר את המהפכה שהתחוללה בתפיסה המדעית.

מרחב-זמן כמושג מתמטי ופיזיקלי[עריכת קוד מקור | עריכה]

ההתייחסות הראשונה לרעיון המרחב-זמן כמושג מתמטי הופיעה בשנת 1754, בערך "ממד" מן האנציקלופדיה הגדולה, שנכתב על ידי ז'אן לה-רון ד'אלמבר. התייחסות מוקדמת אחרת נעשתה על ידי ז'וזף לואי לגראנז' בכתביו העוסקים במכניקה אנליטית, בהם טען כי "ניתן להתבונן במכניקה כבגאומטריה של ארבעה ממדים, ובמכניקה אנליטית כבהרחבה של גאומטריה אנליטית"‏[4]. את הקווטרניונים, מערכות המספרים שהמציא ויליאם רואן המילטון בשנת 1843, ראה המילטון ממציאם כיישויות המאופיינות בממדים מעורבים של מרחב וזמן‏[5]. אלגברת הקווטרניונים של המילטון, שמאפייניה האלגבריים מספיקים לבניית מודל מרחב-זמן ולאיפיון הסימטריה שלו, הופיעה בזירה המדעית כמחצית המאה לפני הניסוח הפורמלי של תורת היחסות, ופיתוחים שלה משמשים עד היום לתחשיבים ותיאורים מדעיים שונים. עם זאת, בתקופתו נותרו הקווטרניונים בגדר כלי פיזיקלי-מתמטי שנוי במחלוקת. תקדים חשוב אחר לשילוב ממדי המרחב והזמן מופיע בעבודתו של ג'יימס קלרק מקסוול, בה עשה שימוש במשוואות דיפרנציאליות חלקיות לפיתוח אלקטרודינמיקה המתייחסת לארבעת הפרמטרים. בשלהי המאה ה-19 גילה הנדריק לורנץ מספר אינווריאנטים (גדלים הנשמרים תחת טרנספורמציות) של משוואות מקסוול, שלימים הפכו לבסיס תורת היחסות הפרטית של איינשטיין. עבודתם של לורנץ ושל אנרי פואנקרה ממשיכו, הייתה קרובה מאד לגילוי תורת היחסות הפרטית, אך הקושי שלהם לקבל את יחסיות הזמן (וביתר דיוק, לוותר על הבו-זמניות במערכות ייחוס) מנע מהם את פיתוחה‏[6]. תורת היחסות הפרטית הוצעה בסופו של דבר ב-1905 על ידי אלברט איינשטיין, אך על אף שהמרחב-זמן מצטייר לא-פעם כתוצאה של תורת היחסות הפרטית, הוא הוצע במפורש רק ב- 1908, על ידי המתמטיקאי הרמן מינקובסקי, מורהו של איינשטיין, במאמר המפתח ומרחיב את עבודתו של איינשטיין‏[7]. המודל המתמטי שהציע מינקובסקי ב-1908 הוא המחקר המפורש המוקדם ביותר העוסק בממדי המרחב והזמן כאספקטים של שלם אחדותי. הרעיון של מרחב מינקובסקי הוא שהוביל לתפיסת תורת היחסות הפרטית בצורה גאומטרית יותר, אך ניתן לומר כי תרומתה המשמעותית ביותר של גאומטרית המרחב-זמן שהציע מינקובסקי הייתה לפיתוחה של תורת היחסות הכללית על ידי איינשטיין, מאחר שהתיאור המדויק של השפעת הגרביטציה על המרחב והזמן, נמצא כפשוט ביותר להצגה או המחשה כ'עיקום' או 'מתיחה' במארג הגאומטרי של המרחב-זמן, המתפלגים בצורה חלקה ורציפה מנקודה לנקודה.

מבוא[עריכת קוד מקור | עריכה]

בפיזיקה הקלאסית והמודרנית זמן ומרחב נתפסו כשני גדלים נפרדים. תפיסה זו השתנתה במאה העשרים עם ניסוח תורת היחסות‏[8]. בסוף המאה התשע עשרה ותחילת המאה העשרים החלה להתערער תמונת העולם המודרנית ומושגי המרחב והזמן החלו לאבד את מוחלטותם. הופעת תורת היחסות לא רק הצביעה על כך שגדלים אלה אינם מוחלטים, תלויים בצופה המודד אותם ומשתנים ממערכת ייחוס אחת למשנה, אלא גם על כך שהם שרוגים ותלויים זה בזה. רצף המרחב-זמן, המודל המתמטי גאומטרי שביטא קישוריות זו ושילב את ממדי המרחב והזמן, חשף גם כי במובן מסוים ממדים אלו אינם אלא היטלים של מארג עולם אירועים אחד‏[9]. כאשר חושבים על אירוע פיזיקלי, קל ויעיל לאפיינו במונחים של מקום וזמן. מרחב-זמן, מרחב מתמטי הנפרש על ידי קואורדינטות שקולות של מרחב וזמן כאחת‏[10], יהווה לכן כלי נוח להצגת אירועים. כל נקודה במרחב-זמן, סט מדדים מסוים, מייצגת אירוע מרחבי-זמני מסוים; קו המשורטט במרחב-זמן מייצג השתלשלות אירועים אפשרית, תיאור היסטוריה של עצם.

מודל מתמטי זה הוצע לראשונה על ידי המתמטיקאי הרמן מינקובסקי; בתחילה כניסוח מחודש של משוואות מקסוול ומאוחר יותר מתוך התייחסות לתורת היחסות הפרטית. המודל העניק מובן גאומטרי לממצאים אמפיריים ותיאורטים כגון טרנספורמציות לורנץ, איפשר התבוננות מעמיקה בתמונת העולם החדשה שהעמידו הגילויים של סוף המאה ה- 19 ותורת היחסות הפרטית, כמו גם בשאלות השונות שהעלו, והשפיע לא מעט על הפיתוח של תורת היחסות הכללית ותאוריות מאוחרות יותר. תחת רצף מרחבי ורצף זמני נפרדים, העמיד מודל המרחב-זמן 'עולם' בו הממדים ארוגים זה בזה, לרצף יחיד. במודל זה לא רק הממדים מהווים רצף, עולם התופעות הפיזיקאליות עצמו שמציג המודל גם הוא מהווה רצף. זוהי יריעה רציפה ושלמה של אירועים, בלא 'חורים', בה כל אירוע מוקף באופן מלא באירועים 'שכנים', ממומשים או לפחות אפשריים‏[11]. את מודל המרחב-זמן של מינקובסקי שכלל איינשטיין במסגרת תורת היחסות הכללית למודל מרחב-זמן שאינו שטוח אלא מתאפיין בעקמומיות ועיוותים שהם תוצא של פיזור המסה והאנרגיה בו‏[12].

מושגי יסוד[עריכת קוד מקור | עריכה]

באופן כללי המרחב-זמן הוא המרחב הארבעה-ממדי, המהווה את זירת ההתרחשות של אירועים פיזקליים. בדומה לתפיסת קו כאוסף כל הנקודות המאורגנות ברצף פורמלי מסוים ליצירתו, ניתן לראות במרחב-זמן את אוסף כל האירועים הפיזיקליים, ממשיים או אפשריים, המאורגן בצורה פורמלית ליריעה אחת - מרחב שלם ורציף, שכל נקודה בו מציינת אירוע מרחבי-זמני מסוים ואשר ברמות מקומיות ניתן לתארו באמצעות מערכת קואורדינטות. המרחב-זמן עצמו אינו תלוי בנקודת המבט של הצופה, אך ייצוגו נתון לבחירתו; לשם ייצוג או חקירת התרחשות פיזיקלית נוכל לבחור במודל המרחב-זמן הנוח לנו - המיוצג על ידי מערכת הקואורדינטות המרחבית-זמנית הנוחה לנו ואשר מייצג את מערכת הייחוס הנוחה לנו.

הגאומטריה של המרחב-זמן משתנה בנוכחות מסה ותחת השפעת תאוצה וסיבוב. לכן כדי להבין את מבנהו ותכונותיו של המרחב-זמן מוטב תחילה להתייחס למרחב-זמן שנהוג לראותו כמרחב תורת היחסות הפרטית - המרחב-זמן המצטייר מתוך התייחסות למערכות אינרציאליות בלבד (תנועות במהירויות קבועות). רכיבי המרחב-זמן של תורת היחסות הפרטית קבועים בכל מערכת ייחוס; אין זה מרחב אוקלידי, אך ציריו נותרים ישרים, ועל כן הוא מהווה מרחב שטוח‏[13], הומוגני ואיזוטרופי (כל הכיוונים בו שווי ערך)‏[14]. מרחב זה נהוג לכנות בשם מרחב פסדו-אוקלידי או מרחב מינקובסקי. כדי להמחיש את תכונותיו של המרחב-זמן הארבע-ממדי נהוג להשתמש בתרשימים בהם צירי המרחב מיוצגים על ידי שני צירים או ציר יחיד. דיאגרמות מעין אלו שימשו את מינקובסקי במחקרו ומכונות דיאגרמות מינקובסקי או דיאגרמות מרחב-זמן.

מערכת קואורדינטות ארבע-ממדית[עריכת קוד מקור | עריכה]

בניית מודל גאומטרי ארבעה-ממדי של מרחב-זמן, באמצעות מערכת קואורדינטות קרטזיות (ניתן כמובן, לבחור במערכת קאורדינטות אחרת), נעשית על ידי תוספת של ציר זמן לשלוש הצירים המרחביים. כדי שהיחס בין הצירים השונים יהא פשוט וסימטרי (מרחק זהה על כל ציר ייצג גודל זהה) וכך גם הגדלים במרחב, מוטב לבחור בקואורדינטות בעלות אותן ממדים. אם בחרנו ביחידות אורך (הבחירה הפשוטה יותר), נאחד את כלל הצירים על ידי שימוש באותה יחידת מרחק, גם בציר הזמן. ההמרה של יחידות זמן למרחק נעשית על ידי כפילת יחידות הזמן במהירות; מאחר שמהירות האור היא גודל קבוע בכל מערכת, משתמשים בה להמרה, ומציגים את יחידות הציר הרביעי (ציר הזמן) כיחידות ct‏[15], כאשר c היא מהירות האור בריק. כעת, להשלמת ההאחדה, נותר רק להתאים ספציפית את יחידות ct ליחידת המרחק המסוימת בה בחרנו. לדוגמה, אם בחרנו ביחידת מרחק שהיא קילומטר, כל יחידת ct תייצג גם היא קילומטר, כאשר כיחידת זמן (t) ישמש הזמן שלוקח לאור לעבור מרחק של קילומטר. יחידות ציר ct עדיין עשויות להיקרא כיחידות זמן, מאחר שניתן להתבונן בהן כיחידות זמן שהוכפלו בסקלר, עם זאת במרחב-זמן ניתן למצוא גם קריאה רעיונית להסתפק ביחידת מידה אחת, של מרחק או של זמן, ולנסח מרחקים וזמנים באמצעות הגודל המשותף לכלל הצופים, הוא מהירות האור בריק‏[16].

ישויות גאומטריות[עריכת קוד מקור | עריכה]

קווי עולם בתרשים מרחב-זמן מצומצם. מסלול L1 מתאר גוף הנמצא במנוחה; מסלול L2 מתאר גוף הנע במהירות קבועה; מסלול L3 מתאר גוף במנוחה המתחיל בנקודת זמן מסוימת לנוע בתאוצה.
  • נקודת עולם - נקודה במרחב-זמן - היא סט מסוים של קאורדינטות (x, y, z, ct) אשר מייצג אירוע רגעי, מרחבי וזמני, מסוים. זהו גודל פיזיקלי בעל כיוון - וקטור ארבעה ממדי (4-וקטור), המכונה וקטור המקום או וקטור המאורע. לשם נוחות, ניתן לאגד את הקואורדינטות המרחביות לגודל אחד -\vec{r} - הוא וקטור המקום התלת ממדי, ולציין נקודת עולם באמצעות (\vec{r}, ct ).
נקודות שונות במרחב-זמן יציינו אירועים שונים. אם הקואורדינטות המרחביות של אירועים שונים זהות, אך קאורדינטת הזמן שונה, משמעות הדבר היא שהאירועים התרחשו באותו מקום אך בזמנים שונים.
במקרה בו הקואורדינטות המרחביות של אירועים שונים שונות אך קאורדינטת הזמן זהה, משמעות הדבר היא שהאירועים התרחשו בו זמנית אך במקומות שונים.
  • קו עולם או מסלול עולמי - קו במרחב הזמן - התקדמות מנקודה אחת לשנייה - מייצג באופן כללי אוסף מאורעות. כאשר מדובר במאורעות המתייחסים לגוף יחיד, קו עולם יציין מאורעות עוקבים, ובעצם את ההיסטוריה של הגוף במרחב או המסלול העולמי שלו. אופי הקו יעיד על אופי ההתרחשות:
- קו ישר המקביל לציר הזמן משמעו סדרת אירועים עוקבים המתרחשת באותו מקום - ללא שינוי מרחבי - ולכן מתאר גוף הנמצא במנוחה;
- קו ישר שאינו מקביל לציר הזמן מתאר גוף הנע במהירות קבועה;
- קו עקום מתאר גוף הנע במהירות משתנה, כלומר נמצא בתאוצה;
בנוסף להיבטים אלו, ניתן ללמוד מעקמומיות קו העולם (ישר או עקום) על מהירות הגוף. זווית גדולה יותר בין המסלול העולמי של גוף לבין ציר הזמן משמעה מהירות גדולה יותר, כאשר ההטיה המקסימלית ביחס לציר הזמן היא של 450 (שיפוע שערכו 1), מכיוון שמהירותו של גוף מוגבלת ואינה יכולה לעלות על מהירות האור.
  • גופים מורכבים - במרחב-זמן ייצוג גופים מורכבים (אלומות אור או גופים המורכבים מחלקיקים בעלי מסה) יכול להיעשות באמצעות אוסף קווי העולם של רכיביהם האלמנטרים. אולם פיזיקאים מעדיפים להתייחס לגופים שכאלו כאל חלקיקים או שדות ולשרטט את מסלולם העולמי מתוך התייחסות למרכז המסה שלהם. אוסף אירועים, או קווי עולם, המהווים משטח דו-ממדי, מכונים יריעת עולם.

האינטרוול[עריכת קוד מקור | עריכה]

במרחב אוקלידי תלת ממדי, המיוצג על ידי קואורדינטות קרטזיות מרחביות, חישוב האורך של וקטור או המרחק בין שתי נקודות נעשה לפי משפט פיתגורס:

\Delta R^2 = \Delta x^2 + \Delta y^2 +\Delta z^2

כהכללה וקטור האורך הזה, שהינו גודל אינווריאנטי, מייצג את המטריקה של המרחב התלת ממדי. ניתן לבצע חישוב של המרחק בין שתי נקודות במרחב-זמן בצורה דומה, אך גודל זה אינו מבטא המטריקה של המרחב-זמן, ולמעשה נעדר משמעות פיזיקלית. לכן ישנה התייחסות למשוואה שונה, מאותה צורה, המבטאת כמה וכמה הנחות ואפקטים מתורת היחסות, היא 'ריבוע האינטרוול' (או בקצרה, 'האינטרוול'):

 {\Delta S^2} = {c^2 \Delta t^2} - ({\Delta x^2} + {\Delta y^2} + {\Delta z^2})

ריבוע האינטרוול הוא גודל אינווריאנטי לורנץ, כלומר, נשמר בכל מערכת ייחוס אינרציאלית‏[17] ומכן חשיבותו‏[18]. ריבוע האינטרוול מתקבל מהצגת הניסוח המתטי של פוסטולט 'האינוואריאנטיות של מהירות האור' (\ \frac{\Delta r}{\Delta t} = \frac{\Delta r'}{\Delta t'}= c , כאשר r הוא המרחק המרחבי המשוקלל) כמשוואת ריבועי מרחקים עבור תנועת אור:

\ {\Delta S^2}= {c^2 \Delta t^2} - ( {\Delta x^2} + {\Delta y^2} + {\Delta z^2} ) = c^2 {\Delta t'^2} - ({\Delta x'^2 }+ {\Delta y'^2} + {\Delta z'^2} )= 0

כאשר, \ c\Delta t הוא מרווח הזמן בין שני מאורעות לאורך מסלול קרן האור ו- \ \Delta z , \ \Delta y , \ \Delta x הם המרווחים המרחביים בין אותם שני מאורעות‏[19].

ריבוע האינטרוול עשוי גם להופיע בתצורה הבאה:  {\Delta S^2} = {\Delta x^2} + {\Delta y^2} + {\Delta z^2} - {c^2 \Delta t^2}

הבחירה בין התצורות היא עניין של מוסכמה בלבד, מאחר ששתי התצורות שקולות מבחינת משמעותן‏[20].

ריבוע האינטרוול מתאפס עבור חלקיק הנע במהירות האור, אך עשוי לקבל ערכים שונים, חיובים או שליליים, עבור תנועה שאינה במהירות האור. באמצעות טרנספורמציות לורנץ, המאפשרות מעבר ממערכת ייחוס אחת למשנה, ניתן להוכיח כי ביטוי האינטרוול עבור \ c\Delta t' , \ \Delta z' , \ \Delta y' , \ \Delta x' שווה לביטוי האינטרוול עבור \ c\Delta t , \ \Delta z , \ \Delta y , \ \Delta x , ובכך להראות כי הוא נשמר בכל מערכת ייחוס, עבור כל גוף - כלומר, גם כשערכו שונה מאפס.

עבור ריבוע אינטרוול שערכו אפס, המרחק \Delta S הוא קו ישר, עבור ערך שונה מאפס \Delta S הוא מהווה היפרבולה. מכיוון שהמרחקים במרחב-זמן של תורת היחסות הפרטית אינם בהכרח חיוביים, מרחב זה לא מקיים את התכונה הראשונה מתוך שלושת התכונות המשמשות להגדרת מטריקה, ועל כן המטריקה שלו מהווה הרחבה של מושג המטריקה הפורמלי ומוגדרת כפסדו-מטריקה.

מביטוי ריבוע האינטרוול ניתן ללמוד על אופי המרחב. אם בביטוי מופיעות מכפלות מעורבות של קואורדינטות, משמעות הדבר היא שבמערכת קיים קשר של תלות (פונקציה) בין הקואורדינטות אשר יתבטא בתיאור האירועים בה. מכפלות שכאלה מעידות על עקמומיות המרחב (תורת היחסות הכללית מתייחסת גם למקרים אלה). במקרה ההפוך, בו אין בביטוי ריבוע האינטרוול מכפלות מעורבות של קואורדינטות, הקאורדינטות במערכת הן בלתי תלויות; קואורדינטה בלתי תלויה - שאינה מופיעה במכפלות מעורבות בביטוי ריבוע האינטרוול, ומכאן שאין קשר מובנה בינה ובין הקואורדינטות האחרות - מכונה 'קואורדינטה גאוסית' והיא ניצבת לקואורדינטות האחרות‏[21]. במרחב-זמן של תורת היחסות הפרטית בביטוי ריבוע האינטרוול אין מכפלות מעורבות, ומכאן שכלל הקואורדינטות ניצבות זו לזו והמרחב שטוח.

מאחר שערכו של ריבוע האינטרוול הוא גודל אינווריאנטי, תכונותיו אף הן אינוואריאנטיות ונשמרות בכל מערכות הייחוס; סוג האינטרוול גם הוא מהווה מאפיין הנשמר בכל מערכת ייחוס‏[22]. נהוג למיין את האינטרוולים לשלושה סוגים, המאפיינים אירועים מסוגים שונים ומתאפיינים בתכונות שונות: 'אינטרוול דמוי-אור', 'אינטרוול דמוי-זמן' ו'אינטרוול דמוי-מרחב'.

אינטרוול דמוי-זמן[עריכת קוד מקור | עריכה]

\ {c^2 \Delta t^2} > {\Delta r^2}
\ {\Delta S^2} > 0

אינטרוול דמוי זמן הוא האינטרוול בין שני אירועים שהמרווח הזמני ביניהם גדול מן המרווח המרחבי - אינטרוול חיובי. מאחר שגוף חומרי (בעל מסת מנוחה) אינו יכול לנוע במהירות גדולה ממהירות האור, המרווח הזמני בין שני מאורעות שאינם על מסלול קרן אור יהיה תמיד גדול מן המרווח המרחבי ביניהם. אינטרוול דמוי זמן יאפיין על כן אירועים הנמצאים על מסלול תנועתו של גוף חומרי.

שני אירועים שהאינטרוול בניהם הוא דמוי-זמן, עשויים להיות קשורים בקשר סיבתי (אם של השפעה חומרית או של אנרגיית אור), וניתן להעביר ביניהם מידע. תכונות אלו נגזרות מכך שצליחת המרווח המרחבי ביניהם היא בגדר האפשר, ז"א, אינה נדרשת למהירות גבוהה ממהירות האור. קווי עולם ששיפועם גדול מ-1, או קטן מ- 1-, יתאפיינו באינטרוול דמוי-זמן ונקראים 'קווים דמויי-זמן'.

אינטרוול דמוי-מרחב[עריכת קוד מקור | עריכה]

\ {c^2 \Delta t^2} < {\Delta r^2}
\ {\Delta S^2} < 0

אינטרוול דמוי-מרחב הוא האינטרוול בין שני אירועים שהמרווח הזמני ביניהם קטן מן המרווח המרחבי - אינטרוול שלילי. מאחר שלא ניתן לעבור את מהירות האור, את המרווח המרחבי בין שני מאורעות שהאינטרוול ביניהם דמוי-מרחב לא תוכל לצלוח קרן אור, כל שכן גוף חומרי. על כן, שני אירועים שהאינטרוול בניהם הוא דמוי-מרחב, אינם קשורים בקשר סיבתי (אם של השפעה חומרית או של אנרגיית אור), ולא ניתן להעביר ביניהם מידע. קווי עולם ששיפועם קטן מ-1 וגדול מ- 1-, יתאפיינו באינטרוול דמוי-מרחב ונקראים 'קווים דמויי-מרחב'.

אינטרוול דמוי אור[עריכת קוד מקור | עריכה]

חרוטי העבר והעתיד - מסלולי עולם של גוף חומרי העובר דרך הראשית ימצאו בתוך הקונוסים. הקונוסים מפרידים בין סוגי קווי העולם.

\ {c^2 \Delta t^2} = {\Delta r^2}

\ {\Delta S^2}= 0

אינטרוול דמוי-אור, המכונה גם בשם 'אינטרוול האפס', הוא האינטרוול בין שני מאורעות שהמרווח המרחבי ביניהם שווה למרווח הזמנים ביניהם - אינטרוול שערכו הוא אפס. אינטרוול דמוי-אור מתאר אירועים המתרחשים לאורך מסלול קרן אור ומכאן שמו. קווי עולם ששיפועם 1 יתאפיינו באינטרוול דמוי-אור ונקראים קווים דמויי-אור. קווי עולם שכאלה יכולים לתאר את תנועתו של גוף הנע במהירות האור - פולס אור.

דיאגרמת חרוטי האור[עריכת קוד מקור | עריכה]

עבור אירוע מוצא שישמש כראשית, ימצא כי אוסף כל האירועים שהאינטרוול בינם לבין אירוע המוצא הוא דמוי-אור מגדירים שני חרוטים במרחב-זמן, כאשר: כלל האירועים המאוחרים לאירוע המוצא, מהווים את פני השטח של חרוט האור העתידי - מסלולי ההתפשטות האפשריים של הבזק אור מנקודת המוצא, וכלל האירועים שקדמו לאירוע המוצא פורשים את פני השטח של חרוט העבר - המקורות האפשריים לאירוע המוצא.
קונוסים אלו נקראים 'קונוסי האור', או 'קונוסי האפס', ומשמשים להמחשת הקשרים האפשריים בין מאורעות במרחב-זמן: כלל המסלולים העולמיים האפשריים של גופים חומריים הקשורים בראשית הם דמויי-זמן ונמצאים בתוך חרוטי האור. כאשר, קונוס העבר מכיל את כלל האירועים שעשויים היו להשפיע על האירוע שמתרחש בראשית, וקונוס העתיד את כלל האירועים שעשויים להתרחש בהשפעת האירוע הראשיתי. מסלולים המצויים מחוץ לקונוסי האור, הם דמויי-מרחב, ועל כן, אינם יכולים לייצג מסלולים של גופים חומריים.

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – חרוט האור

הטנזור המטרי[עריכת קוד מקור | עריכה]

ריבוע האינטרוול  \Delta S^2 הוא גודל אינוואריאנטי המאפיין ומייצג את המטריקה של המרחב-זמן. בשונה מריבוע האורך במרחב אוקלידי שטוח, החיובי תמיד, אינוואריאנט זה יכול להתאפס וגם לקבל ערכים שונים, חיובים או שליליים. ערכו של ריבוע אינטוול מסוים נשמר בכל מערכות הייחוס, אך ביטויו משתנה ממערכת למערכת. עם זאת, ניתן לבנות באמצעותו את הכלי המתמטי המכונה הטנזור המטרי, המשמש לתרגום מערכי גדלים ממערכת קאורדינטות אחת לאחרת, ולהגדרת המכפלה הסקלרית של וקטורים ארבעה-ממדיים במרחב-זמן עליו הוא מתייחס‏[23]. בניית הטנזור המטרי נעשית על ידי ביטוי רכיבי ריבוע האינטרוול בצורה כללית, בה משמשים המקדמים המשתנים (התלויים) ואיבר הבסיס בו הללו מוכפלים - הוא הטנזור המטרי. מטבעו הטנזור המטרי הוא מאפיין כללי של מערכת הקאורדינטות אליה הוא משויך וקשור באופן מהותי לתכונות המרחב שזו מייצגת (מטריקה מגדירה עקמומיות). הטנזור המטרי של מרחבים שטוחים אינו תלוי במערכת הייחוס, או בתכונות לוקליות. תכונות אלו תקפות גם לגבי הטנזור המטרי של המרחב-זמן השטוח של תורת היחסות הפרטית (מרחב מינקובסקי), שהוא המטריצה:

A =\left( \begin{matrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right)

האלמנט האלכסוני הראשי בטנזור, (1 1- 1- 1-), שערכו שונה מאפס, הוא המשמעותי ביותר (האלמנט האלכסוני הראשי מבטא את היחס בין צירי המערכת), ועל כן מהווה את חותמת המרחב-זמן של תורת היחסות הפרטית. מכך שכל רכיבי האלכסון הראשי בטנזור הם קבועים וכל היתר מהווים אפסים, ניתן להסיק כי המערכת שהטנזור מייצג היא שטוחה.
ניסוח ריבוע האינטרוול כמכפלה סקלרית עצמית של ווקטור המרחק  dR באמצעות הטנזור הוא:  \Delta S^2= A \times dR \times dR
באופן דומה ניתן לבטא מכלול של גדלים פיזיקליים רלוונטיים. השימוש בפורמליזם הארבעה-ממדי ובטנזור המטרי של המרחב-זמן הופכים את כל החישובים בתורת היחסות לפשוטים יותר, הן של הדינמיקה (תנועת גופים) והן של האלקטרודינמיקה[24].

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – 4-וקטור


מרחב-זמן ומערכות ייחוס[עריכת קוד מקור | עריכה]

דיאגרמת מרחב-זמן המציגה את היחס בין שתי מערכות ייחוס. הקו S0 מציין את המסלול העולמי של קרן אור העוברת דרך ראשית הצירים.

לפי עקרון היחסות כלל מערכות הייחוס שוות ערך, ולשם תיאור העולם אנו יכולים לבחור במערכת הנוחה לנו. המערכת של צופה אינרציאלי, זו הנעה איתו תקרא מערכת המנוחה של הצופה. מדידת הזמן והנתונים מרחביים המאפיינים אירוע מסוים, במערכות אינרציאליות שונות, תניב תוצאות שונות, להוציא מדידה של מהירות האור. הקשר בין הגדלים שימדדו הצופים שונים הוא תוצא של המהירות היחסית בין המערכות האינרציאליות, ומבוטא במשוואות הטרנספורמציה של לורנץ, הקושרות בין הזמן והמרחב. תופעה דומה מתקיימת גם לגבי המרחב-זמן: המרחב-זמן יראה שונה בכל מערכת ייחוס אינרציאלית - עבור כל צופה צירי המערכת יראו שונים, וכך גם רכיבי המסלול העולמי של אותו גוף, להוציא ריבוע האינטרוול הנותר זהה. אם ניקח לדוגמה מסלול קרן אור העובר דרך ראשית הצירים, כמוצג בתרשים משמאל, נוכל לראות כיצד צירי מערכת הצופה הראשונה (המערכת שציריה הם ct ו-x) נבדלים מאלו של מערכת הצופה השנייה (המערכת שציריה הם 'ct ו-'x), על אף שמהירות הקרן זהה בשתי המערכות. דיאגרמה זו ממחישה את הקשר בין מערכות ייחוס אינרציאליות ומעניקה לו משמעות גאומטרית‏[25]; במובן זה, האפקטים המוכרים של תורת היחסות, התכווצות האורך והתארכות הזמן, הם שינויים גאומטריים במרחב-זמן‏[26].

הניסוח המתמטי של פוסטולט האינוואריאנטיות של מהירות האור עבור תנועה חד-ממדית הוא:

\ \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{\Delta x'}{\Delta t'}=\frac{\Delta x''}{\Delta t''}=c

ולכן בהתייחס למסלול קרן אור נקבל עבור מערכת הצופה הראשונה והשנייה כי:

\ \frac{\Delta x}{c\Delta t} = \frac{\Delta x'}{c\Delta t'} = 1

שקילות זו מצביעה על כך שצירי המרחב-זמן (x ו-ct במקרה זה) הם סימטריים ביחס למסלול האור בכל מערכת אינרציאלית. משקילות זו נגזר גם היחס הגאומטרי בין צירי המרחב-זמן במערכות אינרציאליות (כמתבטא בדיאגרמה משמאל): צירי המרחב של מערכת אחת יוטו בזווית מסוימת ביחס לצירי המרחב התואמים של המערכת השנייה ('x בתרשים), כאשר ציר ct במערכת האחת יוטה באותה הזווית, ביחס לציר ct של המערכת השנייה, אך בכיוון הפוך (צירי ct ו- 'ct בתרשים משמאל). הטיה מסוג זה מכונה 'פסדו סיבוב' וניתן להציג או להסביר באמצעותה את התכווצות האורך והתארכות הזמן. זווית ההטייה מבטאת את יחס המהירויות בין המערכות - \tan(\alpha)=\frac{v}{c} -, כאשר צירי כל מערכת, לא משנה מה מהירותה, תמיד תואמים קטרים מצומדים של זוג היפרבולות.

מרחב-זמן בתורת היחסות הכללית[עריכת קוד מקור | עריכה]

מאחר שבטבע גופים נעים בתנועה משתנה, מסתובבים, מאיצים ומאיטים ונתונים להשפעת כוחות כבידה, ניתן לראות במרחב-זמן של תורת היחסות הפרטית מרחב תיאורתי, שאינו מתאר את המרחב-זמן הכללי בו אנו חיים, ויעיל רק למקרים בהם השפעת גורמים אלו זניחה. מרחב-זמן שמתייחס לגורמים השונים הללו הוא מורכב ושונה ממרחב-הזמן של תורת היחסות הפרטית. למעשה, עד לפיתוח תורת היחסות הכללית נידמה היה כי בכל הנוגע לתאוצות וסיבובים עקרון היחסות איננו פועל‏[27]. החיפוש אחר הכללה של עקרון היחסות לכל סוגי התנועה, הוא שהוביל את איינשטיין לפיתוח תורת היחסות הכללית - תורה זו איגדה תופעות הקשורות בגרביטציה, במערכות ייחוס מואצות, ובתיאור גאומטרי של מרחבים עקומים‏[28], וניתן לראותה כתורה שבמרכזה עומד התיאור של שינוי הגאומטריה של המרחב-זמן בהשפעת כבידה ותאוצה, כמו גם של השפעת שינויים גאומטריים אלו על התנהגותם של גופים במרחב-זמן.

המרחב-זמן של תורת היחסות הכללית הוא מרחב אירועים שמבנהו מוגבל ומעוצב על ידי תנועת הגופים והכוחות הפועלים בו ובה בעת מכפיף או כופה אילוצים על תנועתם. מרחב זה אינו אוקלידי, ואף לא פסדו-אוקלידי; מבנהו נקבע על ידי פיזור המסה והאנרגיה בו, ולכן עקמומיותו עשויה להשתנות מאזור לאזור בצורה משמעותית. בשונה מהמרחב-זמן של תורת היחסות הפרטית, שאופיו הכללי נותר מוגדר וקבוע, המרחב-זמן בתורת היחסות הכללית עשוי להיות לא שטוח - ציריו אינם בהכרח ישרים, או ניצבים זה לזה, ועשויים להתעקם -, כמו כן מרחב זה אינו הומוגני ואיזוטרופי בהכרח, שכן תכונותיו עשויות להיות שונות בנקודות שונות, ואף להשתנות במשך הזמן, כתלות במתרחש בו. המרחב-זמן הכללי לפי תורת היחסות מהווה על כן יריעת אירועים דינמית אך שלמה ורציפה, ששינויים אזוריים בתכונותיה מהווים כעין 'עיקום' או 'מתיחה' במארגה, המתפלגים מנקודה לנקודה, בצורה חלקה ורציפה. מבנה מרחב כללי זה נקבע על ידי כלל החומר והאנרגיה ביקום.

עיקום המרחב-זמן במערכות מואצות[עריכת קוד מקור | עריכה]

כאמור, קודם לניסוח תורת היחסות, בכל הנוגע לתאוצה וכבידה נדמה היה כי עקרון היחסות אינו פועל. את השינויים במרחב ובזמן המופיעים במערכות הנעות בתאוצה, או הנתונות להשפעת שדות כבידה, לא ניתן היה להסביר במסגרת תורת היחסות הפרטית; אם בהתייחס למערכות הנעות זו ביחס לזו במהירות קבועה, נמצא כי אופיו של המרחב-זמן אינו משתנה, למעט שצירי המערכת האחת מוטים ביחס לצירי המערכת השנייה בפסדו-סיבוב, בהתבוננות במערכות הנעות בתאוצה נמצא כי המרחב-זמן אינו משמר את אופיו, והמערכת המואצת אינה נוהגת כמערכת אחידה ומתגלים בתוכה הבדלים בתפיסת המרחב והזמן. תופעות אלו הן שהובילו לשינוי תפיסת המרחב-זמן בתורת היחסות הכללית. כדי להבין את אופיין ניתן להתבונן במקרה מבחן של מערכת הנעה בתאוצה רדיאלית קבועה בגודלה - בשינויים המתחוללים במרחב זמן תחת סיבוב.

הצגה גרפית של השינוי הרגעי בתמונת המרחב-זמן המצטיירת מנקודת מבטו של צופה (מערכת ייחוס) שתנועתו משתנה. עם שינוי אופי המהירות תמונת המרחב-זמן כולה סובבת ומתפתלת, והוא מצטייר כעקום. מסלולו העולמי של הצופה - הקו המנוקד - אף הוא מתעקם ומתכווץ או נמתח. הנקודות בתרשים מייצגות אירועים שונים במרחב.

שינוי המרחב-זמן תחת סיבוב[עריכת קוד מקור | עריכה]

נתבונן בשתי מערכות ייחוס שאחת מהן נייחת ואילו השנייה נעה סביב עצמה במהירות קבועה. כדוגמה למערכת כזו ניקח דיסקה שטוחה המסתובבת במהירות זוויתית קבועה \omega: לתאור מערכת חיצונית, שאינה קשורה לדיסקה, ונמצאת במנוחה, נשתמש בקאורדינטות קרטזיות X, Y, Z, cT; לתאור מערכת הדיסקה נשתמש בקאורדינטות גליליות r, \theta, z, ct. כאשר, r משמש לציון מרחק נקודה על פני הדיסקה מראשית הצירים, ו-\theta לציון הזווית בין היטל וקטור על פני הדיסקה (מישור X-Y) לציר X.

משוואות הטרנספורמציה בין המערכת הקרטזית למערכת הגלילית תהיינה:

 \begin{matrix}
 X= r \cos (\theta+\omega t) \\
 Y = r \sin (\theta+\omega t) \\
 Z = z \\
 cT = ct \\
\end{matrix}

ריבוע האינטרוול עבור שתי המערכות יהא זהה:

 {\Delta S^2} = {c^2 \Delta T^2} - ({\Delta X^2} + {\Delta Y^2} + {\Delta Z^2})

כאשר ביטויו עבור מערכת הדיסקה, לפי הצבת משוואות הטרנספורציה לפרמטרים גליליים, הוא:

 {\Delta S^2} = {c^2 \Delta t^2}(1-r^2 \omega^2 / c^2)- ({\Delta r^2} + r^2{\Delta \theta^2} + {\Delta z^2} + 2 \omega r^2 {\Delta \theta} {\Delta t})


עבור צופה ממערכת הדיסקה, כל נקודה נייחת על פני הדיסקה נמצאת במנוחה. עבור צופה מהמערכת שאינה נעה עם הדיסקה, נקודה נייחת על הדיסקה תנוע עם מערכת הדיסקה ותבצעה תנועה סיבובית. במשוואת ריבוע האינטרוול האיבר  2 \omega r^2 {\Delta \theta} {\Delta t} הוא המבטא צימוד זה בין הקואורדינטה הזוויתית והזמן‏[29], תוצר המהירות הזוויתית. רכיב זה מבטא גם את ההבדלים בתפיסת מסלולי גופים בין מערכת הדיסקה והמערכת החיצונית לה. למשל, גוף הנע בקו ישר ונכנס למערכת הדיסקה יראה לצופה החיצוני כנע בקו ישר על פני דיסקה מסתובבת, לעומת זאת עבור צופה ממערכת הדיסקה מסלול הגוף יראה עקום‏[30] - זאת מאחר שביחס לצופה, הנקודות השונות שהגוף חלף בהן, נמצאות בזמנים שונים במיקום שונה. במערכת הדיסקה אם כן, תנועת גופים תוכפף תחת אילוצי תנועת המערכת‏[31].

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – מרחב היפרבולי

בהתייחסות לזמן במערכות מתגלה אפקט יחסותי מוכר - במערכת הדיסקה השעונים מאיטים, כאשר האטת השעונים תלויה במרחקם מראשית צירי הדיסקה. הפעם, האיבר  (1-r^2 \omega^2 / c^2) המופיע בביטוי ריבוע האינטרוול הוא זה האחראי לביטוי התנהגות זו‏[32].

חישוב יחס הזמנים בין שתי המערכות

כדי לבדוק מהו יחס הזמנים בין שתי המערכות, נדמה למשל שעון הנח על הדיסקה ונע עימה. עבור צופה ממערכת הדיסקה כל נקודה על הדיסקה נמצאת במנוחה, ולכן:

 {\Delta \theta} = {\Delta r} = 0

כמו כן,  z=0 , שהרי הנקודה נמצאת על פני מישור הדיסקה.

משוואת ריבוע האינטרוול במקרה זה תהא על כן:

 {\Delta S^2} = {c^2 \Delta t^2} (1 - r^2 \omega^2)

בהתייחס למערכת המנוחה, נניח, לשם נוחות, כי צופה ממערכת המנוחה מודד את הזמן שלוקח לנקודה להשלים סיבוב. מבחינת הצופה, ברגע בו השלימה הנקודה סיבוב רכיבי המרחב הגליליים מתאפסים וממשוואת הטרנספורמציה של מערכת קרטזית למערכת גלילית מתקבל:

 \begin{matrix}
 X= 0 \\
 Y = 0 \\
 Z = z = 0\\
\end{matrix}

ריבוע האינטרוול עבור הצופה החיצוני יהיה על כן:

 {\Delta S^2} = {c^2 \Delta T^2}

כאשר נשווה את ריבועי האינטרוול עבור המקרה ונצמצמו לביטוי היחס בין מרווחי הזמן נקבל כי:

\Delta t= \Delta T / \sqrt {(1-r^2 \omega^2 / c^2)} = \Delta T / \sqrt {(1-v^2/ c^2)}

ביטוי זה הוא משוואת טרנספורמצית לורנץ לזמן. מאחר שמהירות האור היא המהירות המקסימילית, משמעות הביטוי היא שהזמן במערכת הדיסקה איטי מזה שבמערכת המנוחה הלא קשורה אליה ותלוי במרחק מראשית הצירים (בהתאם להגדרת מהירות נקודתית על פני הדיסקה).

במסגרת המכניקה הקלאסית הוסברו השינויים בזמן ובמרחב על פני הדיסקה כתוצר פעולתם של כוחות מדומים. במסגרת תורת היחסות הללו מהווים תוצר של שינוי בגאומטריה של המרחב-זמן המתבטאים בשינוי במטריקה: כפי שציינו, ריבוע האינטרוול מאפיין את המטריקה של המרחב ולכן שינוי מהותי באיבריו מעיד על שינוי המטריקה. בביטוי ריבוע אינטרוול של מערכת הדיסקה מקדמי הדיפרנציאלים (הרווחים הקאורדינטורים) - שהם רכיבי הטנזור המטרי - אינם קבועים, אלא תלויי מהירות זוויתית ומרחק. איברים אלו אינם אמנם קשורים לאלמנט האלכסוני של הטנזור המטרי של תורת היחסות הפרטית, אלא לרכיבים הנמצאים מחוץ לו, אך עדיין מהווים שינוי במבנהו, דבר המעיד על שינוי באופי המרחב-זמן של מערכת זו‏[33]. בעוד הטנזור המטרי של מרחב-זמן תורת היחסות הפרטית התאפיין בחוסר תלות במערכות ייחוס ובתכונות לוקליות, בטנזור המטרי המאפיין את המרחב-זמן של מערכות הנעות במהירות זוויתית, מופיעים רכיבים תלויי מקום - תכונה המאפיינת מרחבים עקומים‏[34]. אם בהתייחס למערכות ייחוס אינרציאליות מצאנו כי צירי המערכת האחת מוטים בפסדו-סיבוב ביחס למערכת השנייה אך המרחב-זמן נותר שטוח, במקרה של מערכת הדיסקה המרחב והזמן הקאורדינטורים כבר אינם קבועים, והדיסקה מתנהגת כמרחב בעל עקמומיות שלילית‏[35].

תאוצה, גרביטציה ועקמומיות[עריכת קוד מקור | עריכה]

ראינו כי צירי מערכות ייחוס אינרציאליות מוטים בפסדו-סיבוב זו ביחס לזו, בזווית התואמת את יחס המהירויות ביניהן. בתאוצה ניתן להתבונן כבשינוי מהירות, ומכאן שתצטייר אף היא כסיבוב יחסי של צירי המרחב-זמן של מערכת, אלא שבמקרה זה הסיבוב יהווה משתנה תלוי קואורדינטות, המאפיין מרחב עקום. מבחינה זו, מערכת הנעה בתאוצה ישרה דומה למערכת המסתובבת במהירות קבועה. כפי שראינו, במערכת זו, הנעה בתאוצה רדיאלית קבועה, רכיבי הטנזור תלויים במרחק מראשית צירי המערכת ובמהירות הזוויתית - המשתנים המגדירים את התאוצה הראדיאלית (a_r=\frac{v^2}{r}=\omega^2 r). במערכת הנעה בתאוצה ישרה יופיעו מאפיינים דומים, שימצאו גם הם את ביטויים בריבוע האינטרוול - כרכיבים תלויי קואורדינטות.

השפעת כבידה דומה במידה מסוימת להשפעת תאוצה, מאחר שהיא פועלת באופן דומה לכוחות המדומים המופיעים במערכות מואצות ומקנה לגופים עליהם היא פועלת תאוצה, שאינה תלויה במסתם. מדמיון זה נגזר כי השפעת כבידה על המרחב-זמן תהא דומה להשפעת תאוצה ותתבטא אף היא בסיבוב צירי המרחב-זמן, אלא שהפעם, בשל חוסר אחידות שדות כבידה, כיוון ומידת הסיבוב - העקמומיות - עשויים להשתנות מאזור לאזור בצורה משמעותית ולייצר במרחב-זמן עיוותים‏[36].

איינשטיין זיהה את הדמיון בין התופעות המתגלות במערכות מואצות ומערכות הנתונות להשפעת כבידה ומחקירתו אותו, מכיוונים שונים, גזר את עקרון השקילות בין מסה אינרציאלית ומסה גרביטציונית, הגורס כי התופעות הנצפות במערכות מואצות ואלו הנובעות משדה כבידה הומגני‏[37] שקולות מבחינה פיזיקלית ולא ניתן יהיה להבחין בניהן‏[38]. רעיון זה היווה אחד מאבני הדרך המשמעותיות בפיתוח תורת היחסות הכללית, אשר איפשרו לאיינשטיין לאגד ולקשור את מכלול תופעות הקשורות באינטראקציות בין מסות ותנועת גופים ואנרגיה, לכלל תאוריה חדשה המעמידה תיאור והגדרה פורמלית של הקשר בין המרחב-זמן ותנועת החומר והאנרגיה בו, התקפים לכלל מערכות הייחוס. התאוריה שפיתח איינשטיין מציגה גישה שונה למרחב-זמן, ובשל עיסוקה במרחבים לא הומוגניים שעקמומיותם עשויה להשתנות בצורה דרסטית היא מתייחסת למרחבים שרכיבי הטנזור שלהם אינם קבועים.

גישת תורת היחסות הכללית[עריכת קוד מקור | עריכה]

הרעיון המרכזי של תורת היחסות הכללית - כי הכבידה היא אינה אלא תוצר של עקמומיות ועיוותים במרחב-זמן, הנוצרים בשל פיזור המסה והאנרגיה בו, וכופים אילוצים על תנועת האנרגיה והגופים בו - היווה בזמנו מהפכה בתפיסת העולם הפיזיקלית. בתפיסה זו, כבידה אינה כוח משיכה הפועל בין מסות, כפי שגרס ניוטון, אלא תכונה המושרת על המרחב-זמן, ומובנה גם רחב יותר באשר הוא מתייחס הן לכבידה הניוטונית (השפעת האינטראקציה הסטטית בין מסות) והן להשפעת מסה אינרציאלית (האינטראקציה הדינמית)‏[39]; כאשר, השינויים בתכונות המרחב-זמן (באופי ומידת עקמומיותו), מאזור לאזור, הם המסבירים את התנהגותם השונה של גופים במרחב ואת האפקטים היחסותיים השונים. "המרחב והזמן", מסביר הוקינג בספרו הפופולרי קיצור תולדות הזמן, "הם גורמים כמותיים דינמיים: כשגוף נע, או כשכוח פועל, הדבר משפיע על עיקום המרחב והזמן – מצד שני, מבנהו של המרחב-זמן משפיע על הדרך שבה גופים נעים וכוחות פועלים"‏[40].

לפי תורת היחסות הכללית, בהינתן האפשרות לסכום את השפעת כוחות הכבידה הכלליים, ניתן בעצם לקבוע את השדה הכבידתי הכללי של מערכת, וממנו לגזור את הגאומטריה של המרחב-זמן על התכונות שהכבידה משרה עליו; ובהינתן הגאומטריה של המרחב-זמן המוכפף לאילוצי הכבידה הכללית, ניתן לחשב את מסלולי התנועה של גופים בו. תורת היחסות הכללית למעשה מחליפה את שדות הגרביטציה הכללים במרחב עקום, כאשר קשר ההשפעה בין הללו הוא דו-סטרי - פילוג האנרגיה והמסה, קובעים את הגאומטריה של המרחב-זמן, וזו מצידה יוצרת תנועה באנרגיה ובמסה, ועל ידי כך משנה את פילוג האנרגיה והמסה‏[41]. המבנה היסודי בתורת היחסות הכללית הוא היריעה, כאשר ביטוי החוקים הפיזיקליים נעשה באמצעות וקטורים וטנזורים התלויים בגאומטריה‏[42]. בהתייחס לגאומטריה, עקמומיות היא המאפיין המבטא את כל תכונות המרחב, את שינוי יחסי המרחק בין הנקודות במרחב, ואלו ניתנות להצגה על ידי הטנזור המטרי. לכן רכיבי הטנזור המטרי הם המשתנים בהם עוסקת תורת היחסות הכללית, כאשר ההתייחסות היא למרחב המאורעות כולו - כלומר לתכונות על פני כלל המרחב הארבעה-ממדי‏[43].

הגדרה מתמטית[עריכת קוד מקור | עריכה]

המרחב-זמן בתורת היחסות הכללית מוגדר על ידי משוואת השדה של איינשטיין. משוואה זו מבטאת את הקשר בין פילוג המסה והאנרגיה במרחב-זמן לבין רכיבי הטנזור המטרי, ותצורתה היא‏[44]:

R_{uv}-\frac{1}{2}g_{uv}R =\frac{8 \pi G}{c^4} T_{uv}

כאשר, R_{uv} הוא טנזור העקמומיות של ריצ'י; g_{uv} הוא הטנזור המטרי; R הוא סקלאר ריצ'י; \pi הוא הקבוע המתמטי פאי; G הוא קבוע הכבידה של ניוטון; c היא מהירות האור; ו- T_{uv} הוא טנזור המאמץ-אנרגיה;

את המשוואה ניתן לבטא גם בצורה הקומפקטית יותר, באמצעותם טנזור איינשטיין (G_{uv}), שרכיביו הם רכיבי הטנזור המטרי ונגזרותיהם:

G_{uv}=\frac{8 \pi G}{c^2} T_{uv}

צידה השמאלי של המשוואה מתייחס לגאומטריה של המרחב - רכיבי הטנזור המטרי ונגזרותיהם -, וצידה הימני לחומר - צפיפות המסה והאנרגיה, צפיפות התנע ורכיבי טנזור המאמץ, המהווים יחדיו את טנזור המאמץ-אנרגיה‏[45].

מאחר שלכל טנזור ארבעה-ממדי 16 רכיבים (צירופי u,v=1,2,3,4), משוואת השדה של איינשטיין מהווה בעצם 16 משוואות. עם זאת, בשל הסימטריות האלכסונית של הטנזורים, אלו מצטמצמות לעשר משוואות שונות. פתרון המשוואה נותן את רכיבי הטנזור עבור כל נקודה במרחב-זמן - על פני כל המרחב הארבעה ממדי. ומאחר ואלו הן משוואות דיפרנציאליות חלקיות, הכוללות כמה משתנים לא-תלויים, ואי-לינאריות‏[46] ממעלה שנייה, אין להן פתרון כללי, והן פתירות רק עבור מקרים פרטיים, או מסוימים ומוגדרים. ראו לדוגמה, מטריקת שוורצשילד - הפתרון המדויק הראשון למשוואות, שהוצע על ידי האסטרונום קארל שוורצשילד. כאמור, משוואות איינשטיין מתארות את הקשר הכללי בין פיזור ותנועת אנרגיה למבנה המרחב-זמן, ועל כן חובות בתוכן תיאור של כלל המקרים הפרטים של תצורות המרחב-זמן. למשל, רכיבי הטנזור של במשוואות השדה של איינשטיין יהיו קרובים לרכיבי הטנזור של מרחב-זמן תורת היחסות הפרטית, במקרים בהם שדות הכבידה חלשים ואין שינוי גדול בתנועת מקורות השדה (מצבים התלויים בנתונים הכלולים בטנזור המאמץ-אנרגיה) - מצב זה קרוב לשל תנועה קבועה והיעדר שינויים גדולים ברכיבי הטנזור המטרי; קירבה לתאוריה הניוטונית של הכבידה תתקיים כאשר שדות הכבידה חלשים, ועל כן אינם מייצרים שינויים דרסטיים בעקמומיות המרחב, וכאשר המהירויות נמוכות - המקרה בו האפקטים היחסותיים הפרטיים זניחים‏[47].

מסלולי תנועה גיאודזיים[עריכת קוד מקור | עריכה]

לפי תורת היחסות הכללית נוכחות ותנועת מסה מעוותת את המרחב-זמן ויוצרת בו עקמומיות. עקרון ההתמדה, קובע כי גופים ישאפו להתמיד בתנועתם, ולכן, כמנוסח בחוק הראשון של ניוטון, במצב של תנועה במהירות קבועה ובהיעדר השפעת כוחות נוספים, גופים ינועו בקו ישר. עקרונות אלו נשמרים בתורת היחסות הכללית, גופים חופשיים ינועו "תמיד בקווים ישרים במרחב-זמן ארבעה-ממדי," אך בשל עקמומיות המרחב יראו לנו "כאילו הם [נעים] בקווים עקומים במרחב התלת ממדי שלנו"‏[48][49]. השינויים הללו בתנועת גופים במרחב-זמן של תורת היחסות מתוארים לפיכך באמצעות מסלולים גיאודזים - קו גיאודזי או מסילה גאודזית הוא המסלול הקצר ביותר בין שתי נקודות במרחב עקום. במרחב שטוח קו גיאודזי יהיה ישר, במרחב תלת-ממדי עקום יהא זה מסלול גאודזי. למשל, על פני כדור, המסילות הגאודזיות הן המעגלים הגדולים שהרדיוס שלהם שווה לרדיוס הכדור. לפי תורת היחסות במרחב-זמן הארבעה ממדי, גוף ינסה להתמיד בתנועה ישרה, אך נתיב תנועתו יוכפף ויתעקם בשל עקמומיות המרחב, והוא ינוע במסלול הקצר ביותר האפשרי לו - כלומר, במסילה גיאודזית. מבחינה זו עקמומיות המרחב מייצגת למעשה את האילוצים הנכפים על על גופים על ידי שדות הכבידה הכלליים‏[50]. לכן, בהינתן הגאומטריה של המרחב ועקמומיותו, נוכל לחשב את מסלולי התנועה של גופים בו. ניבויים אלו של תורת היחסות הוכחו כמה שנים אחר ניסוח תורת היחסות הכללית. משוואות התנועה הקו-ואריאנטיות של איינשטיין מאפשרות חישוב של מסלולים אלו. כמשוואת השדה גם משוואות אלו הן משוואות דיפרנציאליות סבוכות, העושות שימוש בחשבון טנזורים ואנליזה על יריעות.

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – תורת היחסות הכללית

תמונת היקום[עריכת קוד מקור | עריכה]

אופיה הכללי של תורת היחסות הכללית מאפשר להסיק כמה מסקנות לגבי המבנה הגאומטרי של היקום. מאחר שהידע המצוי בידנו אינו מלא מסקנות אילו מוגבלות, וחלקן אינן אלא קירוב גס. איינשטיין עצמו ניסח כמה מסקנות לגבי טיבו של מבנה היקום‏[51]. לפי איינשטיין, מכך שהכבידה משפיעה על התנהגות המרחב והזמן ומייצרת אפקטים יחסותיים, ניתן לשלול את האפשרות שגאומטריית היקום היא אוקלידית, אך גם להניח כי באופן כללי אין היא נבדלת אלא במעט מהגאומטרייה האוקלידית, מאחר שהשפעת הכבידה, גם של מסות מסדר גודל של השמש, על מארג המרחב-זמן משמעותית בסביבה הקרובה אליה בלבד ובאזור קטן יחסית. היקום לפי איינשטיין גם אינו פסאודו אוקלידי (כמרחב-זמן של תורת היחסות הפרטית) מאחר שמסות גדולות יוצרות בו עקמומויות חריגות. לפי נתונים אלו, ועל סמך זאת שלמרות שפיזור החומר ביקום אינו אחיד, בהתבוננות ביקום בקנה מידה התואם את ממדיו, נראה כי החומר בו מחולק בצורה הומגנית, שהסטיות ממנה הן זעירות ביותר. בשל כך, לצורך התייחסות למבנה הכללי של גאומטריית היקום, נוכל להניח כי המרחב-זמן הכללי הוא הומוגני ואיזוטרופי. מהנחה זו משתמע כי הצפיפות הממוצעת של החומר ביקום שווה בכל רגע, אך לא בהכרח קבועה בזמן‏[52]. על סמך נתונים והנחות אלו נוכל לקבוע כי גאומטרית המרחב-זמן הכללי (מבנה היקום) נוהגת כיריעה שעקמומיותה קבועה באופן כללי, ואשר רק באזורים פרטיים שלה מתקיימות חריגות. מסקנה זו היא כללית ביותר ואינה מתארת את צורתו של היקום או עונה על השאלה האם מבנה היקום יציב באופיו או מתפתח ובאיזו צורה. מראית היקום למעשה תלויה בצפיפותו.

ישנן כמה אפשרויות בסיסיות המתאפיינות בסימטריות מרחב-זמן שונות‏[53]:

  • יקום ספירי - אלפטי או כדורי - זהו יקום סגור בו קרן אור יכולה להקיפו ולחזור לנקודת המוצא
  • יקום פרבולי – יקום שטוח, פתוח ובעל נפח אינסופי, הקרוב לתפיסה הקלאסית
  • יקום היפרבולי – דמוי אוכף, פתוח ואינסופי

משוואות תורת היחסות הכללית הצביעו על כך שהיקום אינו סטטי, אך עד לגילוי עדויות להתפשטות היקום דבק איינשטיין במודל של יקום סטטי שיסביר את היציבות היחסית לה אנו עדים, ואף ניסה, ללא הצלחה, לתקן את משוואות השדה כך שישקפו מערכת כללית יציבה, באמצעות הוספת הקבוע הקוסמולוגי[54].

תצפיות אסטרונומיות הוכיחו זה מכבר כי היקום מתפשט, וכי כלל הגלקסיות בו מתרחקות זו מזו בצורה ישרה, התפשטות המבוטאת בחוק האבל. תגליות אלו ואחרות חיזקו תאוריות הטוענות להתפשטות היקום. בהתייחס להתפשטות קיימים כמה מודלים של יקום התואמים מידע זה שחלקם הוצעו על ידי אלכסנדר פרידמן[55]:

  • יקום סגור שהתפשטותו מוגבלת ונועדת לקרוס;
  • יקום פתוח המתפשט לנצח;
  • יקום פתוח המתפשט לאינסוף אך במהירות יורדת והולכת, שלבסוף תיעצר ותגיעה למצב סטטי;

כל אחד מפתרונות אלו הוא תוצר של חישוב עבור צפיפות ומידת התפשטות התחלתית שונה, אך לשלושתם תכונה משותפת - כולם מצביעים על כך שהיקום מתפשט ושבעבר הרחוק, המרחק בין הגלקסיות היה אפסי וצפיפות היקום ועיקום המרחב-זמן היו בשיעור אינסופי‏[56]. נקודת זמן זו קרויה המפץ הגדול ומציינת ייחודיות קיצונית, בה כלל התאוריות המדעיות המוכרות קורסות. תאוריית המפץ הגדול - התאוריה המובילה בתחום כיום - גורסת כי היקום החל את דרכו ממצב דחוס ומכווץ מאד, בהתפשטות מהירה, כעין מפץ, שמהירותה פוחתת עם השנים ועתידה בזמן כלשהו להתהפך ובכך בעצם להתחיל תהליך של התכווצות. לפי תאוריה זו, בעת המפץ הראשתי נוצר המרחב-זמן. כמו כן, מקובלת ההשערה כי בשל עוצמת הכבידה, המרחב-זמן מתכופף סביב עצמו, ולכן היקום הוא סגור וסופי אך בה בעת חסר גבולות‏[57]. אמיתות השערה זו תלויה בצפיפות היקום, ערך שאינו ודאי‏[58][59].


Postscript-viewer-shaded.png ערכים מורחבים – המפץ הגדול · משוואות פרידמן

מרחב-זמן קוונטי[עריכת קוד מקור | עריכה]

Gnome-colors-emblem-development.svg ערך זה נמצא בתהליך עבודה מתמשך. הערך פתוח לעריכה.
אתם מוזמנים לבצע עריכה לשונית, ויקיזציה וסגנון לפסקאות שנכתבו, וכמו כן לעזור להרחיב ולהשלים את הערך.

ישנן כמה תאוריות המנסות לאחד בין תורת הקוונטים ותורת היחסות הכללית, ולמצוא את המבנה היסודי המעמיד תאוריה שתשמר את התכונות הקוונטיות, תספק תיאור של התנהגות חלקיקי החומר, ובה בעת תתיישב עם תורת הכבידה היחסותית. תאוריות שונות אלו, המכונות בשם הכולל תורת כבידה קוונטית, נאלצות להיענות לקשיים שונים הנובעים מהתנהלותם השונה של המרחב והחומר-אנרגיה, כפי שאנו מכירים אותם, ברמת המאקרו והמיקרו. חלק מתאוריות הכבידה הקוונטית עוסקות בחקירת מאפייני המרחב-זמן ברמה הקטנה ביותר המכונה סקלת פלאנק (10^{-35} מטר בקירוב). כיום עדיין אין תאוריה יחידה מגובשת ומבנה המרחב-זמן הקוונטי עדיין אינו ברור או מוסכם, למעט החיזוי כי הוא בדיד.

העיסוק בסדרי גודל מיקרוסקופיים הופכת את המרחב-זמן הקוונטי לרלוונטי גם להתייחסות נקודות סינגולריות‏[60] - המתארות מצב בו המרחקים בין חלקיקי החומר הם קטנים ביותר - שלפי תורת היחסות עצמה לא ניתן לטפל בהם מסגרתה‏[61]. נושאי מחקר אלו מעמידים אופציות לבחינת תקופתן של תורות הכבידה הקוונטית, שאישושן באמצעות צפייה ישירה אינו אפשרי.

כלל התאוריות הקיימות מצביעות עד כה כי ברמה התת-אטומית הגבולות וההגדרות המוכרים לנו, של ישויות ומבנים פיזיקליים שונים, מתמוססים, בהם חומר-אנרגיה ומרחב. ההתייחסות לישויות פיזיקליות אלו ואחרות ברמת המיקרו דורשת על כן העמקה במשמעותם ומעלה שאלות שונות חדשות, כלגבי הרכבו של מרקם המרחב-זמן.

הדרישות והקשיים הייחודיים המרכזיים עימם על תורת כבידה קוונטית להתמודד הם:

  • לפי עקרון האי-ודאות של הייזנברג לחלקיקים אלמנטריים אין הן מיקום והן תנע ודאיים - קיימת רק תחזית סטטיסטית. גדלים אלו לפי תורת היחסות הם אשר קובעים את מבנה המרחב-זמן. משמעות הדבר היא כי במסגרת תורת כבידה קוונטית, נקבל חוסר וודאות לגבי מבנה היקום - כלומר, לגבי המרחב-זמן והגדרת מרחקים ויחסים גאומטריים‏[62].
  • תורת הקוונטים מעצם טבעה עוסקת בגדלים בדידים. תורת כבידה קוונטית תצטרך על כן להתמודד עם גדלים בדידים ואולי אף עם מרחב-זמן בדיד - כלומר, מרחב שאינו רציף - ולהעמיד מודל ממנו ניתן יהיה להגיע למרחב הרציף של תורת היחסות ולמשוואות הלא-קוונטיות.
  • בהתייחס לרמה התת-אטומית השפעת המסה-אנרגיה על עקמומיות המרחב היא מזערית, דבר המקשה על שמירת עקרון תורת היחסות לפיו המרחב-זמן אינו ישות בסיסית אלא מבנה התלוי בחומר-אנרגיה המאכלסים אותו.

בשל הבדלים אלו ואחרים התאוריות המתייחסות למרחב-זמן הקוונטי נדרשות על פי רוב לגישה מתמטית שונה מזו המשמשת ביחסות הכללית, ועושות שימוש בגאומטריות שונות (גאומטריה קוונטית). בין תאוריות הכבידה הקוונטית הבולטות נמצאות כיום תורת המיתרים ותורת הכבידה הקוונטית הלולאתית. הללו אינן היחידות בתחום, אך מציגות גישות שונות ביסודן להתייחסות למרחב-זמן בסקלה הקוונטית.

תורת המיתרים[עריכת קוד מקור | עריכה]

תורות המיתרים גורסות כי בצד שלושת ממדי המרחב המוכרים לנו קיימים ממדי מרחב נוספים, מכורבלים (קומפקטיים), כאשר מספר הממדים משתנה מתאוריה לתאוריה. באופן כללי תורות המיתרים השונות אינן מציעות מודל של מרחב-זמן קוונטי אלא מניחות את קיום המרחב-זמן כרקע להתרחשות התופעות ברמה הקוונטית; לתפיסתן, תנודות המיתרים או הממברנות אינן משפיעות על עקמומיות המרחב ומהוות הפרעות זניחות לגביו (ראו, תורת ההפרעות). מרחב הרקע, לפי תורות המיתרים, מתעקם רק תחת השפעת אירועים מסקלה גדולה או בהשפעת אפקטים הפרעתיים (אוסף גדול של מיתרים או חלקיקים ייחודיים). פתרון משוואות תורת המיתרים נעשה על כן בשני חלקים; חלק בו נכתבות משוואות תורת המיתרים המתייחסות לתנודות המיתרים, וחלק בו מטריקת המרחב מחושבת לפי משוואות תורת היחסות. בחיבור שני חלקים אלו, הנחת ההפרעות על גבי הרקע, מתקבל הפתרון השלם‏[63]. בכך בעצם מציגה תורת המיתרים סתירה לתורת היחסות הכללית הגורסת כי המרחב-זמן מהווה ישות דינמית, שהמטריקה שלו (עקמומיותו) היא תוצר של תנועת החומר-אנרגיה.‏[64] עם זאת, תורת המתרים מרמזת כי המרחב-זמן אף הוא בדיד, בעצם כך שעולה ממנה כי למתרים ישנם גדלים מזעריים יסודיים גבוליים - כלומר, בדידים‏[65].

כבידה קוונטית לולאתית[עריכת קוד מקור | עריכה]

תורת הלולאות הקוונטיות נוקטת גישה שונה וגורסת כי יש לבצע קוונטיזציה של הכבידה באופן חסר-רקע - כלומר, לתאר את הכבידה, עיקום המרחב, כפועל יוצא של מבנה קוונטי יסודי, חסר רקע (המתקיים על יריעה עירומה)‏[66]. מאחר שהמטריקה - עקמומיות המרחב - מהווה חלק יסודי בחישובים של תורת השדות הקוונטיים, תורת הלולאות נדרשה לנסח מחדש את תורת השדות הקוונטיים עבור יריעה עירומה - ללא רקע.

באופן כללי, תורת הלולאת מניחה כבסיס שהמרחב אינו רציף, ותחת הצגת פתרון למשוואות תורת היחסות הכללית עבור כל נקודה ונקודה במרחב, היא מציגה פתרון רק לאורך לולאות במרחב. לפי תורת הלולאות הקוונטית, הלולאות עצמן הן הישויות היסודיות שיחסיהן קובעים את עקמומיות המרחב. המבנה המתמטי באמצעותו מיוצגות הלולאות נקרא רשת ספין - מבנה שהוצע על ידי המתמטיקאי רוג'ר פנרוז כבסיס לתאוריה של כבידה קוונטית. רשת הספין מורכבת מצמתים וקשתות, כאשר הצמתים ברשת מתאימים ליחידות נפח ואילו הקשתות המחברות אותן ליחידות שטח. המרחב לפי תורת הלולאות הקוונטית מחולק ליחידות בדידות של נפח ושטח, כאשר רשת הלולאות מהווה את המרקם הדינאמי ממנו מורכב המרחב-זמן. חלקיקים קוונטיים, לפי תורה זו, יכולים להתקיים רק בצמתים, ותנועתם מתבצעת בצעדים בדידים - מצומת לצומת לאורך הקשתות - ובזמן בדיד. תכונות הרשת – מצבי התקשורת בין הצמתים - מגדירים את המצבים הקוונטים השונים ויחסיהם. תנועת החלקיקים הקוונטים ברשת כרוכה בסחרורם. תנועה זו משנה את תכונותיהם הקוונטיות, כמו גם את הגאומטריה של המרחב - מערך רשת הספין ויחסי המרחק‏[67]. המרחב-זמן, המרחב הארבע ממדי, מכונה 'קצף ספין', מושג המייצג את המעברים בהם משתנות רשתות ספין ומיוצג על ידי צמתים שקשתותיהם נפגשות בקצף. המרחב-זמן לפי תורה זו, אינו חלק ורציף, זהו מבנה מורכב, הכולל את רשתות הספין וקצף הספין- מערכי הרשתות ודרכי שינויים. כל חתך במרחב-זמן, רגע בקצף ספין, מהווה רשת ספין‏[68].

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • בראיין גרין, מארג היקום - מרחב, זמן ומרקם המציאות, הוצאת מטר, 2006.
  • רוברט פ' קריז, משוואות הגדולות, הוצאת כתר, 2011, פרק 8.
  • פרופ' קירש יורם, בן-יעקב מיכל, ‏יסודות הפיזיקה (כרך 7), האוניברסיטה הפתוחה, 1998 (הספר במיזם פא"ר)
  • Paul Ehrenfest (1920), "How do the fundamental laws of physics make manifest that Space has 3 dimensions?", Annalen der Physik 366: 440.
  • George F. Ellis and Ruth M. Williams (1992), Flat and curved space–times, Oxford University Press, ISBN 0-19-851164-7
  • Isenberg J. A. (1981), "Wheeler–Einstein–Mach spacetimes", Phys. journal ,Rev. D , volume 24 , issue 2, pages 251–256
  • Immanuel Kant (1929), "Thoughts on the true estimation of living forces". in J. Handyside, trans., Kant's Inaugural Dissertation and Early Writings on Space, University of Chicago Press.
  • Hendrik Lorentz, Albert Einstein, Hermann Minkowski, and Hermann Weyl (1952), The Principle of Relativity: A Collection of Original Memoirs. Dover.
  • Lucas, John Randolph (1973) A Treatise on Time and Space. London: Methuen.
  • Roger Penrose (2004), The Road to Reality, Oxford University Press, ISBN 0-679-45443-8 Chpts. 17–18.
  • Robb A. A. (1936), Geometry of Time and Space, Cambridge University Press.
  • Erwin Schrödinger (1950), Space–time structure, Cambridge University Press.
  • Schutz J. W. (1997), Independent axioms for Minkowski Space–time, Addison-Wesley Longman Press, ISBN 0-582-31760-6.
  • Tangherlini F. R (1936)., "Schwarzschild Field in n Dimensions and the Dimensionality of Space Problem", Nuovo Cimento journal, volume 14, issue 27, page 636.
  • Taylor E. F. and John A. Wheeler (1936), Spacetime Physics, W. H. Freeman Press, ISBN 0-7167-2327-1.

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ בספרות המדעית העברית מכונה לעתים בשם "חלל-זמן".
  2. ^ עמוס הרפז, מושגים בתורת היחסות, הוצאת ספריית פועלים והוצאת הקיבוץ המאוחד, פרק ה', עמוד 51
  3. ^ Allen Catherine J., "When Utensils Revolt: Mind, Matter, and Modes of Being in the Pre-Columbian", 'Anthropology and Aesthetics journal', 1998, issue 33, pages 18–27
  4. ^ Joseph Louis Lagrange, "Theory of Analytic Functions" (1797, 1813)
  5. ^ "נאמר שלזמן יש ממד אחד בלבד ולמרחב שלושה ממדים... הקווטרניון המתמטי מערב את שני האלמנטים; אם משתמשים במונחים טכניים ניתן לכנות זאת 'זמן ומרחב', או 'מרחב וזמן': ובמובן זה לקווטרניון יש ארבעה ממדים, או שהוא לפחות מתייחס לארבעה-ממדים. כמו גם לצורה בה הממד האחד של הזמן והשלושה של המרחב, עשויים להיות חגורים בשרשרת הסימנים." מדברי המילטון, ראו: Geometric methods and applications: for computer science and" engineering",Jean H. Gallier, 2001, Chapter 8, page 249.
  6. ^ יובל נאמן, הפיזיקה של המאה העשרים, הוצאת משרד הביטחון, סדרת אוניברסיטה משודרת, 1984, עמוד 29, הערה 9
  7. ^ journal, Minkowski,"Raum und Zeit", Physikalische Zeitschrift, volume 10, pages 75–88
  8. ^ יובל נאמן, 1984, עמוד 24.
  9. ^ סטיבן הוקינג, קיצור תולדות הזמן, ספריית מעריב, עמוד 28-32
  10. ^ שקולות - כבמקרה של צירי האורך, רוחב וגובה הפורשים את המרחב התלת ממדי הקרטזיאני.
  11. ^ Albert Einstein, Relativity: The Special and General Theory (1920), chapter 17 באתר Bartleby.com
  12. ^ ראו, סטיבן הוקינג עמוד 36-38
  13. ^ כהגדרה, מרחב שטוח הוא מרחב שניתן לתארו באמצעות מערכת קרטזית ישרת זווית, שמספר ציריה זהה למספר ממדי המרחב.
  14. ^ בהתקיים תכונה זו, לבחירה של ראשית וכיוון הצירים אין משמעות מעבר לנוחות.
  15. ^ או יחידות cti כבמרחב מינקובסקי המקורי. ראו הסבר בהמשך, בהתייחסות לריבוע האינטרוול.
  16. ^ אחד הפוסטולטים המונחים בבסיס תורת היחסות הפרטית הוא פוסטולט 'אינוואריאנטיות מהירות האור', הקובע כי מהירות האור היא גודל גבולי וקבוע בכל מערכות הייחוס. את חוק הטבע הזה ביטאה התאוריה האלקטרומגנטית של מקסוול שנוסחה במאה ה-19 והוא הוכח מאוחר יותר בניסוי מייכלסון-מורלי. ראו, עמוס הרפז, עמוד 54.
  17. ^ מערכת ייחוס שבה מתקיימים שלושת חוקי התנועה של ניוטון, או בהגדרה אחרת, מערכת ייחוס שאינה מאיצה יחסית למערכת אינרציאלית אחרת
  18. ^ "אינווריאנטיות של תכונות גאומטריות של וקטורים מייצגת אינווריאנטיות של תכונות פיזיקליות של עצמים שאותן מייצגים הווקטורים". ראו, עמוס הרפז, עמוד 26
  19. ^ במרחב מינקובסקי המקורי נעשה שימוש בציר זמן שיחידותיו הן \ cti , כך שריבוע האורך של וקטור במרחב-זמן זה מייצג באופן טבעי את ריבוע האינטרוול. \ i הוא המספר המדומה, שורשו של 1-.
  20. ^ \ {\Delta S^2} יכול לקבל סימן פלוס או מינוס לתאור אותה מערכת פיזיקלית בדיוק, כל עוד משתמשים באותה תוצרת סימון באופן עקבי. בחירת הסימון קובעת את סימני האינטרוולים דמויי המרחב והזמן - ראו, התייחסות בסעיפים הבאים.
  21. ^ עמוס הרפז, עמוד 48
  22. ^ ראו, עמוס הרפז (1988), עמוד 56
  23. ^ הטנזור המטרי מעניק למרחקים ולגדלים הפיזיקליים משמעות, הוא אשר קובע את יחסי המרחק במרחב עליו הוא מתייחס ומגדירו כמרחב מטרי. ראו, שחר דולב, על כבידה וקוונטים, גלילאו 56, אפריל 2003
  24. ^ עמוס הרפז, עמוד 60
  25. ^ הדיאגרמה מתארת תנועה על ציר מרחבי יחיד, תנועה חד-ממדית, ללא שינוי בצירי y ו- z, אך התיאור שהיא מציגה נותר כללי עבור כל תנועה מרחבית בקו ישר. ראו, עמוס הרפז 51
  26. ^ ראו, יובל נאמן, עמוד 24
  27. ^ יובל נאמן, עמוד 28-9
  28. ^ עמוס הרפז, עמוד 68
  29. ^ קבוצת האיברים \ ({\Delta r^2} + r^2{\Delta \theta^2} + {\Delta z^2}) מזוהה עם ריבוע המרחק במערכת גלילית תלת ממדית, ועל כן הרכיב שציינו הוא אשר מבטא את תוספת השינוי הזוויתי ביחס לזמן
  30. ^ מסלול זה נקרא גיאודזיה, ראו הסבר בהמשך
  31. ^ באופן דומה, האורך של גופים המונחים על פני הדיסקה ישתנה ביחס למערכת החיצונית, כתלות במיקומו. לדוגמה, אורכו של גוף המונח על פני הדיסקה במקביל לכיוון התנועה יתכווץ ביחס לאורכו במערכת החיצונית, כתלות במיקומו (זאת מאחר שמהירות זוויתית משמעה מהירות שונה לכל רדיוס); בעוד אורכו של גוף המונח בכיוון רדיאלי לתנועה יוותר זהה.
  32. ^ אם נתייחס לכך שמהירות קווית במערכת הדיסקה, ניתנת לביטוי כמכפלת המהירות הזוויתית במרחק ( v = \omega r ), נמצא כי:  (1-r^2 \omega^2 / c^2) = 1-v^2 / c^2 = 1 / \gamma^2 ; כאשר  \gamma הוא פקטור לורנץ אך אינו קבוע במערכת.
  33. ^ תוספת רכיבים מחוץ לאלכסון הראשי, משמעה שצירי המערכת אינם תמיד ניצבים זה לזה.
  34. ^ עמוס הרפז, עמודים 63-5
  35. ^ עמוס הרפז, עמוד 110
  36. ^ יובל נאמן, עמוד 30-31
  37. ^ שדה מעין זה קיים בקירוב באזורים קטנים במרחב; במובן זה, עקרון השקילות הוא עקרון מקומי.
  38. ^ לפני ניסוח תורת היחסות הכללית, ניסח ארנסט מאך טענה דומה בגרסו כי הכוחות האינרציאליים וכוחות הכבידה הם שניהם סוג של אינטראקציות בין מסות.
  39. ^ בהתאם לעקרון השקילות, כוחות הכבידה של מסות והכוחות הפועלים על גוף הנמצא במערכת מואצת, מהווים בתורת היחסות הכללית כוחות כבידה כלליים - שהם ביטוי לעקמומיות המרחב-זמן
  40. ^ הוקינג, עמוד 40
  41. ^ עמוס הרפז, עמוד 93
  42. ^ מעבר זה משימוש בקואורדינטות ברות החלפה, להתייחסות לגאומטריה הכללית (מכלול היחסים בין נקודות במרחב), מהווה צורה של יישום עקרון הקווריאנטיות.
  43. ^ "[היריעה] היא אוסף מסודר של נקודות אך ללא מידת מרחק פנימית. המשמעות היא שניתן לומר על נקודה א' שהיא משמאל לנקודה ב', אבל אין אפשרות למדוד את המרחק ביניהן. כדי לקבל מרחב בעל משמעות פיזיקלית יש להוסיף ליריעה מידע על יחסי המרחק בין הנקודות. המבנה המתמטי הנושא מידע זה נקרא המטריקה או הטנסור המטרי." שחר דולב, על כבידה וקוונטים, גלילאו 56, אפריל 2003
  44. ^ תצורה זו אינה מכילה את הקבוע הקוסמולוגי, \Lambda, שאינו תלוי בחומר אלא במרחב בלבד. התצורה המכילה את הקבוע היא: R_{uv}-\frac{1}{2}g_{uv}R+g_{uv} \Lambda =\frac{8 \pi G}{c^4} T_{uv}
  45. ^ לפיתוח המשוואה נעזר איינשטיין בתורת המשטחים של גאוס ועבודתו של רימן בתחום. כלל משוואות תורת היחסות עושות שימוש בחשבון טנזורים ואנליזה על יריעות
  46. ^ דו הסיטריות של המשוואה, ואופיה, מייצרים אי לינאריות, שכן שינוי באגף האחד עשוי להתבטא בשינוי גדול באגף השני. למעשה המשוואה תקפה לתיאור מכלול של אפשרויות ושל מעבר בניהן.
  47. ^ עמוס הרפז, עמוד 116
  48. ^ סטיבן הוקינג, 'קיצור תולדות הזמן', עמוד 37.
  49. ^ ניתן להתבונן בהשפעת הכבידה כבעיקום של ממש במרחב-על חמישה-ממדי, או רק כבשינוי יחסי הנקודות במרחב הארבעה-ממדי.
  50. ^ עמוס הרפז, עמודים 91-93
  51. ^ ראו Albert Einstein, Relativity: The Special and General Theory (1920), chapter 32 באתר bartleby.com
  52. ^ עמוס הרפז, עמוד 147
  53. ^ יובל נאמן, עמוד 34
  54. ^ יובל נאמן, עמוד 36
  55. ^ עמוס הרפז, עמודים 153, 156
  56. ^ סטיבן הוקינג, עמוד 53
  57. ^ האפשרות כי המרחב והזמן עשויים להיות סופיים ובה בעת חסרי גבולות, נשענת על מיזוג תורת היחסות הכללית ועקרון אי הוודאות של הייזנברג (מעקרונות תורת הקוונטים). סטיבן הוקינג, עמוד 52
  58. ^ בהקשר זה, ראו למשל חומר אפל
  59. ^ סטיבן הוקינג, עמוד 49-52
  60. ^ כגון, חורים שחורים- המהווים מופע של סינגולריות מקומית -, ושל היקום זמן קצר אחר המפץ הגדול, בעת שממדיו היו זעירים ביותר – מופע של סינגולריות גלובלית.
  61. ^ טנזור רימן, עקמומיות ומסה אינסופית הם הגדלים ההופכים בעייתיים במקרה של נקודות סינגולריות, בייצרן גדלים אינסופיים. ראו, שחר דולב, 'גלילאו' 56, אפריל 2003; אליהו זערור (עורך), 'הפיזיקה של המילניום', עמוד 169.
  62. ^ אליהו עוזרר, עמוד 171
  63. ^ שחר דולב, על כבידה וקוונטים, גלילאו 56, אפריל 2003
  64. ^ ?Carlo Rovelli,[http://arxiv.org/pdf/gr-qc/9903045v1.pdf Quantum spacetime: what do we know ], 1999, עמוד 8
  65. ^ שחר דולב, על כבידה וקוונטים, גלילאו 56, אפריל 2003
  66. ^ ?Carlo Rovelli,[http://arxiv.org/pdf/gr-qc/9903045v1.pdf Quantum spacetime: what do we know ], 1999, עמוד 8
  67. ^ לי סמולין, אטומים של מרחב וזמן, באתר סיינטיפיק אמריקן ישראל
  68. ^ לי סמולין, אטומים של מרחב וזמן, באתר סיינטיפיק אמריקן ישראל