איבר פרובניוס

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת המספרים האלגברית, איבר פרובניוס היא איבר מיוחד בחבורת גלואה של הרחבה של שדות מספרים, הנקבע על-פי אידאל ראשוני בלתי מסועף. את קיומם של איברים מסוג זה הוכיח פרדיננד פרובניוס. משפט הצפיפות של צ'בוטרב מראה שכל איבר בחבורה עשוי להיות איבר פרובניוס, אם בוחרים את הראשוני המתאים.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

רקע[עריכת קוד מקור | עריכה]

איבר פרובניוס מוגדר עבור הרחבת גלואה K/F של שדות מספרים, בנוכחות אידאל ראשוני p של חוג השלמים \ O_F של F. האידאל p מתפרק למכפלה של אידאלים ראשוניים בחוג השלמים \ O_K של K: \ p = P_1^{e_1}\cdots P_g^{e_g}. מכיוון שזו הרחבת גלואה, כל גורמי הסיעוף \ e_i שווים זה לזה. ההנחה שהאידאל אינו מסועף פירושה שגורמי הסיעוף שווים ל-1, כלומר \ p = P_1\cdots P_g.

שדה השאריות של F ביחס ל-p הוא חוג המנה \ \bar{F}=O_F/p. זהו שדה סופי, נאמר מסדר q. שדות השאריות ביחס לגורמים \ P_i של p הם \ \bar{K}_i=O_K/P_i: גם כאן, מכיוון שזו הרחבת גלואה, כולם איזומורפיים זה לזה. המימד \ f = [\bar{K}_i:\bar{F}] מקיים \ n = [K:F] = fg.

כל האוטומורפיזמים בחבורת גלואה \ G=\operatorname{Gal}(K/F) שומרים על חוג האיברים השלמים, כקבוצה. חבורת ההרכבה \ G(P_i) של הגורם \ P_i כוללת את האוטומורפיזמים בחבורת גלואה השומרים את P, כלומר, \ G(P_i) = \{\sigma \in G : \sigma(P_i) = P_i\} (כל החבורות \ G(P_i) צמודות זו לזו).

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

האיברים בחבורה \ G(P_i) מתאימים לאלו בחבורת גלואה של הרחבת השדות הסופיים \ \bar{K}_i/\bar{F}, וזו האחרונה נוצרת על ידי אוטומורפיזם פרובניוס - פעולת ההעלאה בחזקת q. כך מוגדר איבר פרובניוס - האיבר היחיד של \ G(P_i) המקיים \ \sigma(x) - x^q \in P_i.

יחידות[עריכת קוד מקור | עריכה]

לכל אידאל לא מסועף של K יש איבר פרובניוס יחיד, \ (K/F,P_i), כפי שהוגדר לעיל. לכל אידאל לא מסועף של F, איבר פרובניוס \ (K/F,p) מוגדר היטב רק עד-כדי הצמדה, משום שאפשר לבחור את הגורם \ P_i של p כרצוננו.

דוגמה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נתבונן בהרחבה של \ F = \mathbb{Q} על ידי השורשים a ו-b של \ a^2=1+ \sqrt{3}, b^2=1-\sqrt{3}, בהתאמה (המכפלה ab היא שורש של 2-). ההרחבה של \ K = \mathbb{Q}[a,b] מעל F היא הרחבת גלואה ממימד 8, עם חבורת גלואה דיהדרלית, עם איבר \ \sigma מסדר 4 המקיים \ \sigma(a)=b, \sigma(b)=-a, ואיבר \ \tau המקיים \ \tau(a) = a, \tau(b) = -b.

האידאל הראשוני \ p=\langle 5 \rangle מתפרק למכפלה \ \langle 5 \rangle = P P' כאשר \ P = \langle 5,ab(a^2-1)-2 \rangle ו- \ P' = \langle 5,ab(a^2-1)+2\rangle. האוטומורפיזם \ \tau מחליף בין האידאלים, ואילו \ \sigma שומר על שניהם. לכן חבורת ההרכבה של שני האידאלים היא אותה חבורה - זו הנוצרת על ידי \ \sigma. שדה השאריות \ \bar{F} מסדר 5, וההרחבה \ \bar{K}/\bar{F} היא ממימד 4. אפשר לחשב שאיבר פרובניוס ביחס ל-P הוא \ \sigma, ואיבר פרובניוס ביחס ל-'P הוא \ \sigma^{-1}.