חבורת גלואה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, ובפרט בתורת גלואה, חבורת גלואה של הרחבת שדות היא חבורת האוטומורפיזמים של השדה , המעבירים כל איבר של השדה לעצמו.

חבורה זו נקראת על שם אווריסט גלואה, אבי תורת החבורות.

לחבורה זו חשיבות גדולה באפיון ההרחבה , זאת בזכות המשפט היסודי של תורת גלואה המציג את הקשר בין שדות הביניים של ההרחבה, לבין תת החבורות של חבורת הגלואה של ההרחבה.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהי שדה, ותהי הרחבת שדות. חבורת הגלואה של ההרחבה המסומנת ב, או ב מוגדרת להיות

כאשר היא חבורת האוטומורפיזמים של השדה .

קל לבדוק שזוהי אכן חבורה.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • חבורת הגלואה של ההרחבה היא קבוצה המכילה שני איברים: את העתקת הזהות, ואת העתקת ההצמדה. זאת מאחר שאם בחבורת הגלואה של ההרחבה, מתקיים . לכן . לכן מתקיים לכל כי . במעבר האחרון השתמשנו בכך ש משאירה את איברי במקום. לכן או .
  • באופן דומה, ניתן להראות כי חבורת הגלואה של ההרחבה מכילה שני איברים: העתקת הזהות, והעתקת ההצמדה:
  • חבורת הגלואה של ההרחבה מכילה רק את העתקת הזהות. יתרה מזאת, חבורת האוטומורפיזמים של מכילה רק את העתקת הזהות. כדי להוכיח זאת, יש לשים לב שאוטומורפיזם של מעביר כל מספר חיובי למספר חיובי, מאחר ש ולכן שומרת על יחס סדר.
  • תהי הרחבת שדות. אזי חבורת הגלואה של היא חבורת האוטומורפיזמים של , כלומר . זאת מאחר שהומומורפיזם של שדות מעביר את המספרים השלמים לעצמם, ולכן גם את המספרים הרציונליים לעצמם.
  • יהי מספר ראשוני, ותהי הרחבת שדות, אזי באופן דומה חבורת הגלואה של היא חבורת האוטומורפיזמים של , כלומר .
  • חבורת הגלואה של ההרחבה מכילה רק את העתקת הזהות. זאת מאחר שאם בחבורה, מתקיים . לכן בהכרח . מאחר ש בסיס, נובע כי היא בהכרח העתקת הזהות.

שדה השבת[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהי שדה. תהי תת-חבורה של חבורת האוטומורפיזמים של . נגדיר את שדה השבת של , המסומן גם ב להיות הקבוצה הבאה:

כלומר, שדה השבת של הוא קבוצת כל האיברים מהשדה שכל איברי משאירים אותם במקום.

קל לבדוק שזהו אכן שדה. מתקיים כי אם הרחבת שדות ו- אז .

שוויון לא בהכרח מתקיים, למשל אם ו-, אז ראינו קודם ש- מכילה רק את העתקת הזהות ולכן מתקיים כי

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • אם ההרחבה מממד סופי, מתקיים כי , כאשר צד שמאל הוא גודל חבורת הגלואה וצד ימין הוא ממד ההרחבה.
  • השוויון מתקיים אם ורק אם הרחבת גלואה. הרחבות מסוג זה חשובות, מאחר שהן מקיימות את המשפט היסודי של תורת גלואה.
  • הלמה של ארטין: יהי שדה, ו תת-חבורה של חבורת האוטומורפיזמים של . אזי אם מתקיים . מתקיים אפילו