אי-שוויון המשולש האינטגרלי

במתמטיקה, ובמיוחד באנליזה פונקציונלית, אי שוויון המשולש האינטגרלי הוא גרסה של אי שוויון המשולש עבור הנורמה האינטגרלית.

משפט: אם $f\,$ היא פונקציה אינטגרבילית בקטע $[a,b]\,$ אזי מתקיים $\left|\int _{a}^{b}{f(x)\,dx}\right|\leq \int _{a}^{b}{\left|f(x)\right|\,dx}$.

הערה: ניתן להוכיח כי אם $\,f$ אינטגרבילית בקטע $\,[a,b]$, אז גם $\,|f|$ אינטגרבילית שם.

הוכחה: מהגדרת הערך המוחלט, לכל $x\in [a,b]$ מתקיים: $-|f(x)|\leq f(x)\leq |f(x)|$

ומתכונת המונוטוניות של האינטגרל נסיק ש- $\int _{a}^{b}{-|f(x)|\,dx}\leq \int _{a}^{b}{f(x)\,dx}\leq \int _{a}^{b}{|f(x)|\,dx}$

כלומר: $-\int _{a}^{b}{|f(x)|\,dx}\leq \int _{a}^{b}{f(x)\,dx}\leq \int _{a}^{b}{|f(x)|\,dx}$.
בסה"כ קיבלנו כי $\left|\int _{a}^{b}{f(x)\,dx}\right|\leq \int _{a}^{b}{\left|f(x)\right|\,dx}$. מש"ל.