נורמה (אנליזה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

באנליזה מתמטית, נורמה היא פונקציה ממשית המוגדרת על מרחב וקטורי, ומתאימה לכל וקטור ערך ממשי, באופן שמתמלאים מספר תנאים. תנאים אלה מבוססים על התכונות היסודיות של האורך המוכר במרחב האוקלידי. מרחב וקטורי שמוגדרת עליו נורמה נקרא מרחב נורמי. בדומה למטריקה, שהיא הכללה חופשית ורחבה של מושג האורך, הנורמה מודדת מרחקים יחסיים, ואפשר לראות בה מטריקה שאינה מושפעת מהזזות.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

האורך במרחב האוקלידי מקיים את הדרישות הטבעיות הבאות:

  • אורך הוא תמיד חיובי, חוץ מאורכו של וקטור האפס, שהוא אפס.
  • מתיחה של הווקטור בסקלר מכפילה גם את האורך בערכו המוחלט של אותו סקלר.
  • מתקיים אי שוויון המשולש.

בשל תכונות אלה, מגדירים נורמה כפונקציה ממרחב וקטורי V מעל שדה המספרים הממשיים אל המספרים הממשיים, המקיימת את האקסיומות הבאות:

  1. \ \|x\|\ge 0, ואם \ \|x\|=0 אז x=0 (חיוביות)
  2. \ \|\lambda\cdot x\|=|\lambda |\cdot \|x\| (הומוגניות)
  3. \ \|x+y\|\le \|x\|+\|y\| (אי-שוויון המשולש)

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערך המוחלט[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערך המוחלט הסטנדרטי הוא נורמה המוגדרת על הישר הממשי עצמו.

נורמה במרחבי מכפלה פנימית[עריכת קוד מקור | עריכה]

בכל מרחב מכפלה פנימית מוגדרת נורמה על ידי \|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}, כאשר \langle\cdot ,\cdot\rangle המכפלה הפנימית במרחב. אומרים שהנורמה הזו מושרית על ידי המכפלה הפנימית.

משפט: נורמה מושרת על ידי מכפלה פנימית אם ורק אם היא מקיימת את שוויון המקבילית, הוא \!\, \| f+g \| ^2 + \| f - g \| ^2 = 2 \| f \| ^2 + 2 \| g \| ^2.

הסיבה לכך (במקרה הממשי) היא שאם הנורמה אכן מושרית על ידי מכפלה פנימית, אפשר לשחזר את המכפלה הפנימית על ידי "הזהות הפולרית" \ (x,y) = \frac{1}{2}(\|x+y\|^2-\|x\|^2-\|y\|^2), ובמקרה זה חישוב ישיר מראה שהנורמה מקיימת את שוויון המקבילית. הנוסחה למכפלה פנימית של מרחב וקטורי מעל המרוכבים מעט יותר מסובכת.


יחס דומה, מעט כללי יותר, מתקיים בין תבניות ריבועיות לבין תבניות בילינאריות.

הנורמה הסטנדרטית במרחב האוקלידי[עריכת קוד מקור | עריכה]

הנורמה המקובלת ביותר במרחב הווקטורי \ \mathbb{R}^n היא \|x\| = \sqrt{|x_1|^2 + \cdots + |x_n|^2}, הנקראת הנורמה הסטנדרטית. זוהי הנורמה הטבעית במרחבי מכפלה פנימית ומקיימת את התכונות הגאומטריות המוכרות לנו.

נורמת Lp[עריכת קוד מקור | עריכה]

דוגמה לנורמה לא-אוקלידית במרחב הווקטורי \ \mathbb{R}^n היא 'נורמת \ L^p' שמוגדרת כך:

\!\, \| x \| _p = \left( \sum_{i=1}^{n}{|x_i|^p} \right) ^{1 \over p}, כאשר \ p\ge1 ממשי קבוע.

את אי שוויון המשולש אפשר להוכיח באמצעות אי-שוויון הולדר/תנאי הולדר. עבור \ p=2 מקבלים את הנורמה האוקלידית.

נורמת המקסימום[עריכת קוד מקור | עריכה]

בהינתן וקטור, נורמת המקסימום תחזיר את הקואורדינטה בעלת הערך המוחלט הגדול ביותר שלו. פורמלית, נגדיר אותה באופן הבא:

\|\mathbf{x}\|_\infty := \max \left(|x_1|, \ldots ,|x_n| \right)

נורמה זו מוזכרת לרוב בסמיכות לנורמת Lp, בעיקר בגלל שהיא הגבול של נורמת Lp כאשר p שואף לאינסוף, וגם וניתן להגדיר אותה דרך תכונה זו:

\left\Vert x\right\Vert _{\infty}=\lim_{p\to\infty}\left\Vert x\right\Vert _{p}

תכונות נוספות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • כל מרחב נורמי הוא גם מרחב מטרי, כאשר המטריקה מוגדרת על ידי g(x,y)= \| x-y \|, ובפרט הוא הופך להיות מרחב טופולוגי. זה מאפשר להגדיר גבול של סדרות: סדרה \ x_n שואפת לגבול \ L אם \!\, \lim_{n \to \infty}{\| x_n - L \|} = 0.
  • את הנורמה אפשר 'לקרוא' מתוך כדור היחידה שלה. כדור היחידה חייב לחתוך כל קרן היוצאת מהמרכז, להיות סימטרי (לשיקוף x\mapsto -x ), וקמור.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]