מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
במתמטיקה , אי-שוויון יאנג (באנגלית : Young's inequality for products ) הוא אי-שוויון על מכפלה של שני מספרים. אי השוויון נקרא על שמו של המתמטיקאי האנגלי ויליאם הנרי יאנג (אנ' ) . אחד השימושים לאי-שוויון זה הוא בהוכחת אי-שוויון הלדר .
אי-שוויון יאנג עבור חזקה 2 אומר שעבור מספרים ממשיים חיוביים
a
,
b
≥
0
{\displaystyle a,b\geq 0}
, מתקיים:
a
b
≤
a
2
2
+
b
2
2
{\displaystyle ab\leq {\frac {a^{2}}{2}}+{\frac {b^{2}}{2}}}
במקרה הכללי, אי-שוויון יאנג אומר שעבור מספרים ממשיים חיוביים
a
,
b
≥
0
{\displaystyle a,b\geq 0}
,
ועבור
p
,
q
≤
1
{\displaystyle p,q\leq 1}
כך ש
1
p
+
1
q
=
1
,
{\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1,}
,
a
b
≤
a
p
p
+
b
q
q
{\displaystyle ab~\leq ~{\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}}}
השוויון מתקבל אם ורק אם
a
p
=
b
q
{\displaystyle a^{p}=b^{q}}
.
עבור a ו b ממשיים,
0
≤
(
a
−
b
)
2
{\displaystyle 0\leq (a-b)^{2}}
נפתח את הסוגריים, ונקבל:
0
≤
a
2
−
2
a
b
+
b
2
{\displaystyle 0\leq a^{2}-2ab+b^{2}}
נחבר
2
a
b
{\displaystyle 2ab}
לשני הצדדים,
2
a
b
≤
a
2
+
b
2
{\displaystyle 2ab\leq a^{2}+b^{2}}
ולבסוף, נחלק ב
2
{\displaystyle 2}
:
a
b
≤
a
2
2
+
b
2
2
{\displaystyle ab\leq {\frac {a^{2}}{2}}+{\frac {b^{2}}{2}}}
נשתמש באי-שוויון ינסן . כאשר
a
=
0
{\displaystyle a=0}
או
b
=
0
{\displaystyle b=0}
אי השוויון מתקיים.
נניח ש
a
>
0
{\displaystyle a>0}
וגם
b
>
0
{\displaystyle b>0}
.
נגדיר
t
=
1
/
p
{\displaystyle t=1/p}
. נקבל ש
(
1
−
t
)
=
1
/
q
{\displaystyle (1-t)=1/q}
.
בגלל שפונקציית הלוגריתם קמורה , ניתן להשתמש באי שיוויון ינסן, ולקבל:
ln
(
t
a
p
+
(
1
−
t
)
b
q
)
≥
t
ln
(
a
p
)
+
(
1
−
t
)
ln
(
b
q
)
=
ln
(
a
)
+
ln
(
b
)
=
ln
(
a
b
)
{\displaystyle \ln \left(ta^{p}+(1-t)b^{q}\right)~\geq ~t\ln \left(a^{p}\right)+(1-t)\ln \left(b^{q}\right)=\ln(a)+\ln(b)=\ln(ab)}
נקח
אקספוננט בשני הצדדים, ונקבל
t
a
p
+
(
1
−
t
)
b
q
≥
a
b
{\displaystyle ta^{p}+(1-t)b^{q}~\geq ~ab}
נציב את
t
{\displaystyle t}
ונקבל את אי-שוויון יאנג.
שגיאות פרמטריות בתבנית:קצרמר פרמטרי חובה [ 1 ] חסרים