אי-שוויון (מתמטיקה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

אי-שוויון הוא שם משותף לשני סוגי טענות: הטענה ששני ערכים a,b שונים זה מזה (שאותה מסמנים ) והטענה שאחד מהערכים גדול מהשני (שאותה מסמנים או ). הטענה שאחד הערכים גדול או שווה לשני (שאותה מסמנים או ) נקראת אי-שוויון חלש.

פעולות באי-שוויונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

יחס הסדר על הישר הממשי הוא לינארי, כלומר, מבין כל שני מספרים שונים, אחד מוכרח להיות גדול מן השני. תכונה זו מאפשרת לשאול, בהינתן שני מספרים (או "תבניות מספר" - ערכים התלויים במשתנה אחד או יותר) a,b, איזה יחס הוא הנכון: , או . בפרט, כל מספר ממשי אפשר להשוות לאפס - וכך מתקבלת החלוקה למספרים חיוביים, או בעלי "סימן חיובי" (אלו הגדולים מאפס) ושליליים, או בעלי "סימן שלילי" (אלו הקטנים מאפס).

משוואות כמו אפשר לחבר, לחסר ולהכפיל (כל אגף בנפרד), והתוצאה המתקבלת היא משוואה חדשה. באי-שוויונות, הפעולות המותרות הבסיסיות הן כדלקמן:

  1. אם אז לכל c, ;
  2. אם ו- חיובי, אז גם ; אם שלילי, אז ;
  3. אם וידוע ש , חיוביים, אז גם .

החוק השני מקנה לאיבר האפס מעמד מיוחד. כפי שהכפל באיבר חיובי שומר על כיוון האי-שוויון, כפל באיבר שלילי תמיד הופך אותו. (בפתרון של אי-שוויונות קורה שמכפילים בגודל שהסימן שלו אינו ידוע, וכדי לשמור על האי-שוויון שהוכפל, יש לבדוק בנפרד את שתי האפשרויות).

מן החוקים שהוזכרו לעיל, יחד עם התכונות הבסיסיות של יחס הסדר (ובפרט, הטרנזיטיביות שלו) נובע גם ש-

  1. אם ו- אז ;
  2. אם ו- אז .

מערכת של אי-שוויונות לינאריים[עריכת קוד מקור | עריכה]

האלגברה הלינארית עוסקת במערכות של משוואות לינאריות בכמה נעלמים. הצעד הבסיסי בחקירת אי-שוויונות הוא הבנת המבנה הגאומטרי של מערכת השוויונות המתאימה (המתקבלת מהחלפת כל סימן אי-שוויון בסימן השוויון). כפי שמשוואה לינארית מגבילה את הפתרון לעל-מישור (שממדו קטן ב-1 מממד המרחב המקורי), כל אי-שוויון מגביל את הפתרון לחצי המרחב ("מעל" לשוויון ומתחתיו). מערכת של אי-שוויונות מגדירה פאון (לאו-דווקא חסום), העשוי להיות ריק אם אין למערכת פתרון. בעיות אופטימיזציה על קבוצות כאלה כרוכות בתכנון לינארי.

כדי שלמערכת של משוואות לינאריות (כמו ) לא יהיה פתרון, מוכרחה להיות תלות לינארית בין המשוואות. בדומה לזה, כדי שלמערכת של אי-שוויונות () לא יהיה פתרון, מוכרח להיות צירוף לינארי עם מקדמים חיוביים של האי-שוויונות, השווה לאפס; כלומר, מוכרחים להיות קבועים , שאינם כולם אפס, כך ש- .

הכללה[עריכת קוד מקור | עריכה]

יחס הסדר המוגדר על שדה המספרים הממשיים הופך אותו לשדה סדור; הסימונים, הפעולות והתכונות של יחס הסדר של הממשיים חלים באותו אופן בכל שדה סדור.

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא אי-שוויון בוויקישיתוף