אי-שוויון ניוטון
במתמטיקה, אי-שוויון ניוטון (באנגלית: Newton's inequalities) מתייחס לקבוצה של אי-שוויונות הנקראים על שם אייזק ניוטון. ניוטון ניסח והוכיח את האי-שוויונות האלה בספרו אריתמטיקה אוניברסלית (1707), במסגרת ההרחבה שנתן לכלל הסימנים של דקארט.
ניסוח האי-שוויונות
[עריכת קוד מקור | עריכה]יהיו a1, a2, ..., an מספרים ממשיים. נסמן ב- את הביטוי הסימטרי האלמנטרי ה-k במספרים אלו (כלומר ערכו של הוא הערך של הפונקציה הסימטרית האלמנטרית ה-k כשמציבים במשתנים שלה את מספרים אלו), ונגדיר את הממוצעים הסימטריים האלמנטריים כ-:
.
אי-שוויון ניוטון קובע כי הממוצעים הסימטריים מקיימים את האי-שוויון:
.
כיוון שהערכים של הפונקציות הסימטריות האלמנטריות של קבוצה של n מספרים ממשיים הם למעשה המקדמים של פולינום ממעלה n ששורשיו הם המספרים הממשיים האלה, ניתן לנסח מחדש את האי-שוויון כטענה על מקדמי פולינום שכל שורשיו ממשיים:
,
כאשר הוא מקדם הפולינום ה-k.