הלמה של גרינוול

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, הלמה של גרינוול (על שמו של המתמטיקאי השוודי תומאס ה. גרינוול - Gronwall) היא אי-שוויון, המשמש בין היתר להוכחת היחידות במשפט הקיום והיחידות עבור הפתרונות של משוואה דיפרנציאלית רגילה.

ניסוח הלמה[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהי פונקציה רציפה ואי-שלילית, המקיימת עבור קבוע ועבור את האי-שוויון הבא:

אזי פונקציה זו היא בהכרח פונקציית האפס - .

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

ברור שמתקיים כי אם לא נקבל באגף ימין ביטוי שלילי, כעת על ידי העברת אגף ימין ניתן לראות כי:

זוהי משוואה דיפרנציאלית עבור:

על ידי כפל בגורם אינטגרציה תתקבל המד"ר הבאה:

על ידי ביצוע אינטגרציה על שני צידי האי שוויון נקבל:


פונקציית האקספוננט היא אי-שלילית ( לכל ) ולכן המסקנה היא:


ולפי ההנחה מתקיים:

אבל ההנחה היא גם כי ולכן בהכרח