המחט של בופון

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
המחט המסומנת באות a חוצה את הפס, בעוד מחט b מצויה בין שני פסים

במתמטיקה, בעיית המחט של בופון היא שאלה שהוצגה לראשונה על ידי ז'ורז'-לואי לקלר דה בופון ב-1733:

נניח שיש לנו רצפה עשויה רצועות מקבילות של עץ, כל אחת ברוחב זהה, ונפיל מחט על הרצפה. מה ההסתברות כי המחט תנוח על הקטע שבין שתי רצועות?

בעיה זו הייתה הדוגמה הראשונה בגאומטריה הסתברותית. באמצעות הפתרון לבעיה ניתן לחשב את פאי בשיטת מונטה קרלו, אם כי ברור למדי שבופון עצמו לא ערך ניסויים מעין זה.

פתרון[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניסוח הבעיה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נתונה מחט באורך , אשר נופלת על משטח בעל קווים מקבילים במרחק , מהי ההסתברות כי המחט תחצה את הקו?

פתרון[עריכת קוד מקור | עריכה]

על מרכז x נמצאת מחט אדומה ומחט כחולה. המחט האדומה נמצאת באזור האפור ולכן היא עוברת את הקו משמאל.

יהי המרחק בין מרכז המחט לקו הקרוב ביותר, תהי הזווית החדה שבין המחט לקו.

המחט תעבור את הקו אם יתקיים:

למחט קטנה, כאשר יתקיים[1]: ובחישוב האינטגרל נקבל:

במקרה ש :

פתרון נוסף[עריכת קוד מקור | עריכה]

נסמן ב-X את המשתנה המקרי שסופר את מספר הקוים שמחט באורך 1 תחתוך. נשים לב ש-X תמיד (למעט מקרים בהסתברות אפס) שווה ל-1 כשהמחט חותכת קו, ו-0 אחרת. לכן אנחנו רוצים לחשב את [E[X (נסמן ב-e).

נשים לב שמלינאריות התוחלת, אם נזרוק מחט באורך l, אז מספר הקווים שהיא תחתוך בתוחלת הוא le, ואם נזרוק כמה מחטים (אפילו אם הן מחוברות, שכן התוחלת ליניארית גם כאשר המשתנים תלויים) תוחלת מספר הפעמים שהן יחתכו קווים היא סכום התוחלות שלהם. מכך נובע שלכל קו המורכב ממספר קטעים שאורכו הכולל l, תוחלת מספר הקווים שיחתכו הוא le.

כעת נקח סדרה של מצולעים משוכללים שהקפם שווה ל-π, ומספר צלעותיהם שואף לאינסוף. אז הם שואפים למעגל שהיקפו 2π, ומרציפות גם תוחלת מספר הקווים שהמעגל יחתוך היא π.

מצד שני, זה מעגל שקוטרו 1, ולכן הוא תמיד יחתוך את הקווים בדיוק פעמיים. מכאן נובע π=2e, ולכן e=2/π.

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא המחט של בופון בוויקישיתוף

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]