משתנה מקרי

בתורת ההסתברות, משתנה מקרי (נקרא גם: משתנה אקראי או משתנה רנדומלי) הוא פונקציה המתאימה כל אירוע אפשרי במרחב הסתברות לערך מספרי. לדוגמה, התאמת צד מטבע לערך 0, וצדו השני לערך 1; גם גובהו של אדם שנבחר באקראי הוא משתנה מקרי.

באופן אינטואיבי, ניתן לומר שמשתנה מקרי הוא תוצאה לא דטרמיניסטית, כלומר שלא ניתן לדעת את ערכה מראש. למשל, אם תוטל קובייה, לא יהיה ניתן לנבא האם תוצאת ההטלה תהיה 1, 2, 3, 4, 5 או 6. לפעמים, ובניגוד לדוגמה לעיל, תוצאות ניסוי אינן שכיחות באותה מידה, ובכל זאת התוצאה נחשבת משתנה מקרי מפני שאין לניסוי תוצאה וודאית.

המשתנים המקריים פותחים את הדלת הראשית של תורת ההסתברות לכלים מן האנליזה המתמטית. הם הופכים מרחב הסתברות, שבו כל מאורע נקודתי הוא ישות עצמאית, למערכת מתמטית שבה אפשר לחשב תוחלות או מדדים מספריים אחרים. כל המשפטים החשובים בתורת ההסתברות עוסקים במשתנים מקריים.

מבחינה פורמלית, המשתנה המקרי הוא פונקציה מדידה ממרחב הסתברות $\Omega$ למרחב מדיד כלשהו, בדרך כלל המספרים הממשיים עם הסיגמא-אלגברה של בורל. במקרה כזה המשתנה המקרי נקרא משתנה מקרי ממשי. הדרישה שהפונקציה מדידה מבטיחה שאפשר יהיה לחשב את ההסתברות למאורעות $a<X<b$, כלומר $\{\omega \in \Omega :a<X(\omega )<b\}$. כאשר מרחב ההסתברות הוא בדיד, כל הפונקציות ממנו מדידות, ולכן כל פונקציה יכולה להיחשב משתנה מקרי.

תוצאה יחידה של משתנה מקרי נקראת מספר אקראי.

פונקציות התפלגות

אם נתון משתנה מקרי $X:\Omega \to \mathbb {R}$ המוגדר על מרחב ההסתברות $(\Omega ,P)$, אפשר לשאול שאלות כמו "מה הסיכוי שהערך $X$ גדול מ-2?". זו ההסתברות של המאורע $\left\{\omega \in \Omega :X(\omega )>2\right\}$ הנכתבת בקיצור $P(X>2)$.

ההסתברויות של כל טווחי התוצאות של משתנה מקרי ממשי $X$ נותנות את ההתפלגות של $X$. ההתפלגות "מתעלמת" ממרחב ההסתברות המסוים שמשמש בהגדרה של $X$ ונותנת רק את ההסתברות של ערכים שונים של $X$. התפלגות כזו ניתנת להצגה תמיד בעזרת פונקציית הצטברות ההסתברות שלה:

$F_{X}(x)=P(X\leq x)$

ולעיתים גם בעזרת פונקציית צפיפות הסתברות (השווה לנגזרת של פונקציית הצטברות ההסתברות בכל נקודה בה קיימת הנגזרת). במונחי תורת המידה, אנו משתמשים במשתנה המקרי $X$ כדי לדחוף ("push forward") את המידה $P$ על $\Omega$, למידה $F$ על הממשיים. מרחב ההסתברות המקורי $\Omega$, הוא מכשיר טכני להבטחת קיומם של משתנים מקריים, ולפעמים לבנייתם. בפועל, לעיתים קרובות נפטרים לגמרי מהמרחב $\Omega$, ופשוט מגדירים מידה על הממשיים כך שמידת הישר הממשי כולו תהיה 1, כלומר עובדים עם התפלגויות במקום עם משתנים מקריים.

פונקציות של משתנים מקריים

אם נתון משתנה מקרי $X$ על $\Omega$, ופונקציה מדידה $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$, אז $Y=f(X)$ יהיה גם הוא משתנה מקרי על $\Omega$, כיוון שהרכבה של פונקציות מדידות היא פונקציה מדידה. אותו תהליך שמאפשר לעבור ממרחב ההסתברות $(\Omega ,P)$ ל-$(R,dF_{x})$ יכול לשמש לקבלת ההתפלגות של $Y$. פונקציית הצטברות ההסתברות של $Y$ היא

$F_{Y}(y)={\mbox{P}}(f(X)\leq y)$.

דוגמה

יהי $X$ משתנה מקרי ונגדיר $Y=X^{2}$ משתנה מקרי חדש. אז $F_{Y}(y)={\mbox{Prob}}(Y\leq y)={\mbox{Prob}}(X^{2}\leq y)$. אם y < 0 אזי ברור ש ${\mbox{Prob}}(Y\leq y)=0$.
אם $y\geq 0$ אז $F_{Y}(y)={\mbox{Prob}}(X^{2}\leq y)={\mbox{Prob}}(-{\sqrt {y}}\leq X\leq {\sqrt {y}})=F_{X}({\sqrt {y}})-F_{X}(-{\sqrt {y}})$.

תוחלת משתנה מקרי

תוחלת של משתנה מקרי היא הכללה של ממוצע חשבוני (או ממוצע חשבוני משוקלל), ומסומלת על ידי $\operatorname {E} X$ או $\operatorname {E} (X)$ או $\operatorname {E} [X]$ או $\langle X\rangle$.

התוחלת של משתנה מקרי $X$ שפונקציית הצטברות ההסתברות שלו $F$ היא:

$\int _{-\infty }^{\infty }x\,dF(x)$

האינטגרל הוא אינטגרל סטילטיס (רימן-סטילטיס או לבג-סטילטיס הזהים במקרה זה מאחר שפונקציית הצטברות ההסתברות היא פונקציה מונוטונית עולה).

קיימים מקרים שבהם האינטגרל אינו מתכנס ואז לא קיימת התוחלת (אם כי, כאשר הגבול של $\int _{-t}^{t}x\,dF(x)$ (כאשר t שואף לאינסוף) הוא אינסוף, אומרים שהתוחלת היא אינסוף).

אם קיימת פונקציית צפיפות ההסתברות f, ניתן להגדיר את התוחלת בהגדרה שקולה, בעזרת אינטגרל לבג, כדלהלן:

$\int _{-\infty }^{\infty }x\ f(x)\,dx$

מומנטים

ערך מורחב – מומנט (הסתברות)

ההתפלגות של משתנה מקרי מאופיינת לעיתים קרובות על ידי מספר קטן של פרמטרים, שיש להם גם משמעות מעשית. לדוגמה, לפעמים מספיק לדעת מה "הערך הממוצע" של משתנה מקרי. ערך זה מבוטא על ידי מושג התוחלת. לא לכל משתנה מקרי קיימת תוחלת (במקרים אלה, האינטגרל המגדיר את התוחלת אינו מתכנס ובחלק מהם התוחלת נקראת אינסופית).

התוחלת היא מקרה פרטי של סוג פונקציות, המוגדרות על משתנים מקריים ונקראות מומנטים.

המומנט מסדר $n$ (או המומנט ה-$n$) של משתנה מקרי $X$ סביב הנקודה (או המספר) $a$ הוא התוחלת של המשתנה המקרי $\left|X-a\right|^{n}$. התוחלת של משתנה מקרי היא המומנט מסדר $1$ שלו סביב ה-$0$.

התוחלת היא פונקציה ליניארית, אולם ${\mbox{E}}f(X)$ אינו שווה בהכרח ל-$f({\mbox{E}}X)$ כאשר f פונקציה כללית יותר.

אחרי שמוצאים את "הערך הממוצע", אפשר לשאול עד כמה ערכי $X$ רחוקים ממנו. תשובה מספרית מקובלת ניתנת על ידי סטיית התקן (שהיא השורש הריבועי של השונות) של המשתנה המקרי. קיימים ערכים רבים אחרים היכולים לתת תשובה לשאלה, למשל, כל אחד מן המומנטים מסדר זוגי של המשתנה המקרי סביב התוחלת וכן ממוצע הערכים המוחלטים של הסטיות מן הממוצע (התוחלת של המשתנה המקרי $|X-E[X]|$).

התכנסות

תוצאות לגבי התכנסות סדרות מסוימות של משתנים מקריים מהוות חלק נכבד מתורת ההסתברות; ראו למשל את חוק המספרים הגדולים ומשפט הגבול המרכזי.

סדרת משתנים מקריים יכולה להתכנס למשתנה מקרי בכמה מובנים. ראו התכנסות של משתנים מקריים.

משתנה מקרי בדיד

ישנם שני סוגים של משתנים מקריים בדידים:

1. משתנה מקרי $X:\Omega \to \mathbb {R}$ שקבוצת כל הערכים שהוא יכול לקבל, $A=X\left(\Omega \right)$, סופית. במקרה כזה מתקיים

   $\sum _{x\in A}P(X=x)=1$.

   פונקציית הצטברות ההסתברות מחושבת על ידי:

   $F(x)=\sum _{z\in A,z\leq x}P(X=z)$.

   התוחלת מחושבת על ידי:

   $E[X]=\sum _{x\in A}P(X=x)x$.

   דוגמאות של משפחות משתנים מסוג זה הן: משתנה מקרי אחיד בדיד, בינומי והיפרגאומטרי.

2. משתנה מקרי $X:\Omega \to \mathbb {R}$ שקבוצת כל הערכים שהוא יכול לקבל אינסופית בת מנייה, $A=X\left(\Omega \right)=\{x_{1},x_{2},...\}$.

   במקרה כזה הטור $\sum _{i=1}^{\infty }P(X=x_{i})$ מתכנס וסכומו 1. פונקציית הצטברות ההסתברות מחושבת על ידי סכום הטור:

   $F(x)=\sum _{i=1}^{\infty }I_{\{x_{i}\leq x\}}P(X=x_{i})$

   כאשר,

   $I_{\{x_{i}\leq x\}}=\left\{{\begin{matrix}1&x_{i}\leq x\\0&x_{i}>x\end{matrix}}\right.$

   התוחלת ניתנת לחישוב באמצעות הטור הבא (בתנאי שהטור אכן מתכנס. אם הטור לא מתכנס התוחלת לא קיימת.)

   $E[X]=\sum _{i=1}^{\infty }P(X=x_{i})x_{i}$

   דוגמאות של משפחות משתנים מקריים מהסוג הנידון הן: משתנה מקרי גאומטרי, פואסוני ובינומי שלילי.

דוגמה למשתנה מקרי בדיד ללא תוחלת

נניח שקיימים יצורים מסוג מסוים שההסתברות שיחיו לפחות שנה אחת היא חצי. ההסתברות שיחיו לפחות שנתיים היא שליש, וכן הלאה, ההסתברות שיחיו לפחות $n$ שנים היא $1/(n+1)$. נבחר יצור כזה שרק נולד, ונגדיר כמשתנה מקרי $X$ את מספר השנים השלמות שהיצור יזכה לחיות. על פי הנתון, עבור $n=0,1,2,...$,

$P(X\geq n)={\frac {1}{n+1}}$.

פונקציית ההסתברות, עבור $n=0,1,2,...$,

$P(X=n)=P(X\geq n)-P(X\geq n+1)={\frac {1}{(n+1)(n+2)}}$.

התוחלת,

$E[X]=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{(n+1)(n+2)}}$.

זהו טור שמתבדר לאינסוף. קיבלנו יצור שמספר שנות חייו סופי בהסתברות 1 ותוחלת חייו היא אינסוף.

משתנה מקרי רציף

בהינתן משתנה מקרי $X:\Omega \to \mathbb {R}$ ופונקציה $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ המקיימת

$$P\left(X\in (a,b)\right)=\int _{a}^{b}f(x)dx$$

לכל קטע $(a,b)\subseteq \mathbb {R}$. משתנה זה יקרא משתנה מקרי רציף והפונקציה $f$ תקרא פונקציית צפיפות ההסתברות של המשתנה המקרי. במקרה כזה התוחלת של המשתנה המקרי ניתנת לחישוב באמצעות האינטגרל הלא אמיתי הבא (רק אם האינטגרל אכן קיים. אחרת התוחלת לא קיימת).

$E[X]=\int _{-\infty }^{\infty }x\ f(x)\,dx$

דוגמאות של משפחות משתנים מקריים מהסוג הנידון הן: משתנה מקרי מעריכי, נורמלי, גמא ובטא.

דוגמה למשתנה מקרי רציף ללא תוחלת

נתון משתנה מקרי $X:\Omega \to \mathbb {R}$ עם פונקציית הצטברות ההסתברות, $F:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$

הפענוח נכשל (שגיאת תחביר): {\displaystyle F(x)=\left\{\begin{matrix} 0&x\leq 0\\1-\frac{1}{1+x}&x>0\end{matrix}\right} .

פונקציית צפיפות ההסתברות במקרה כזה היא,

$f(x)=\left\{{\begin{matrix}0&x\leq 0\\{\frac {1}{(1+x)^{2}}}&x>0\end{matrix}}\right.$.

התוחלת,

$E[X]=\int _{0}^{\infty }{\frac {x}{(1+x)^{2}}}\,dx=\infty$.

משתנה מקרי דו-ממדי

פונקציית הסתברות משותפת של משתנה מקרי דו־ממדי (X,Y) מוגדרת לפי:

$F_{X},_{Y}(x,y)={\mbox{P}}(X=x\wedge Y=y)$.

ראו גם

• התפלגות
• אקראיות
• פונקציה יוצרת מומנטים
• מומנט (הסתברות)

קישורים חיצוניים

• משתנה מקרי, באתר MathWorld (באנגלית)
• משתנה מקרי, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
• משתנים אקראיים, דף שער בספרייה הלאומית