חוג קוהרנטי

בתורת החוגים, חוג קוהרנטי (משמאל) הוא חוג שלכל אידיאל שמאלי נוצר סופית שלו יש ייצוג סופי.

לחוגים קוהרנטיים יש אפיון הומולוגי: חוג הוא קוהרנטי אם ורק אם כל מכפלה ישרה של מודולים שטוחים היא שטוחה. לפי קריטריון Chase, חוג R הוא קוהרנטי אם ורק אם כל מכפלה ישרה $R^{I}$ היא שטוחה.

כל חוג קומוטטיבי נתרי הוא קוהרנטי, אבל יש גם דוגמאות נוספות, כגון חוג הפולינומים באינסוף משתנים $k[x_{1},x_{2},\dots ]$ מעל שדה $k$.

חוג קומוטטיבי הוא קוהרנטי אם ורק אם החיתוך של כל שני אידיאלים נוצרים סופית הוא נוצר סופית ובנוסף המאפס של כל איבר הוא נוצר סופית. בחוג קומוטטיבי קוהרנטי, כל המנות $(a:b)=\{x\in R\mid xb\in Ra\}$ נוצרות סופית (תכונה זו נכונה גם בתחומי gcd). כל חוג תורשתי למחצה קומוטטיבי הוא קוהרנטי; למעשה החוגים התורשתיים למחצה הקומוטטיביים הם בדיוק החוגים הקוהרנטיים הקומוטטיביים, בעלי ממד גלובלי חלש = 1.

חוגים n-קוהרנטיים

מודול M הוא n-מ.ס. (finitely n-presented) אם יש סדרה מדויקת $F_{n}\rightarrow \cdots \rightarrow F_{0}\rightarrow M\rightarrow 0$ שבה כל F_i חופשי ונוצר סופית. המודולים ה-0-מ.ס. הם נוצרים סופית; המודולים ה-1-מ.ס. הם בעלי ייצוג סופי; ככל ש-n גדל המחלקה של מודולים n-מ.ס. קטנה.

חוג הוא n-קוהרנטי אם כל מודול n-מ.ס. הוא גם n+1-מ.ס. בפרט, מודול הוא קוהרנטי אם הוא 1-קוהרנטי, ונתרי אם הוא 0-קוהרנטי.