חוג (מבנה אלגברי)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, חוג הוא מבנה אלגברי בעל שתי פעולות בינאריות, המקיימות מספר אקסיומות (שיפורטו להלן), המכלילות כמה תכונות בסיסיות של חוג המספרים השלמים ושל חוג המטריצות מעל שדה.

תורת החוגים, העוסקת במבנה של חוגים שונים, היא מן התחומים המרכזיים באלגברה.

הגדרה ומבנים יסודיים[עריכת קוד מקור | עריכה]

חוג הוא מבנה הכולל קבוצה \ R עם פעולות חיבור וכפל, המקיימות מספר תכונות:

  1. שתי הפעולות קיבוציות (אסוציאטיביות)
  2. פעולת החיבור חילופית (קומוטטיבית)
  3. קיים איבר יחידה ביחס לשתי הפעולות (ראה הסתייגות בסעיף הבא)
  4. קיים איבר נגדי לכל איבר ביחס לפעולת החיבור
  5. מתקיים חוק הפילוג (כלומר \ x\cdot (y+z) = x\cdot y+x\cdot z וכן (x+y) \cdot z = x \cdot z + y \cdot z)

אם פעולת הכפל גם היא חילופית, החוג נקרא "חוג חילופי". לדוגמה, חוג המספרים השלמים חילופי, אך חוג המטריצות אינו חילופי.

איבר יחידה[עריכת קוד מקור | עריכה]

מבנה אלגברי שבו מתקיימות כל האקסיומות, פרט לקיומו של איבר יחידה, נקרא "חוג בלי יחידה". לעתים, הטרמינולוגיה הפוכה, וחוג מציין מבנה המקיים את האקסיומות לעיל ללא איבר היחידה. באנגלית מקובל גם הסימון rng לציון חוג-בלי-יחידה (לעומת ring לציון חוג). ייתכן שבחוג-בלי-יחידה תהיה "יחידה-משמאל" (איבר e המקיים \ ex = x לכל x), ואף יחידות-משמאל רבות; או יחידה-מימין, ואף יחידות-מימין רבות; אבל אם יש גם יחידה-מימין וגם יחידה-משמאל, אז יש לחוג איבר יחידה אחד ויחיד.

הומומורפיזמים ואידאלים[עריכת קוד מקור | עריכה]

פונקציה \ f : A \rightarrow B מחוג לחוג היא "הומומורפיזם של חוגים", אם היא שומרת על החיבור והכפל ועל איבר היחידה. הגרעין של הומומורפיזם הוא אידאל של החוג A, ו"משפט האיזומורפיזם הראשון" קושר את החוגים שהומומורפיזם מגדיר באופן טבעי: \ A / \operatorname{Ker}(f) \cong \operatorname{Im}(f).

תת חוגים[עריכת קוד מקור | עריכה]

תת קבוצה של חוג \ S\subset R שהיא חוג בפני עצמה, ביחס לאותן פעולות וקבועים, נקראת "תת-חוג". למשל, חוג המספרים השלמים הוא תת-חוג של שדה המספרים הרציונליים (המהווה שדה שברים שלו). אפשר להגדיר גם תת-חוג-בלי-יחידה, שממנו אין דורשים להכיל איבר יחידה. לדוגמה, אוסף המספרים הזוגיים הוא תת-חוג-בלי-יחידה של חוג המספרים השלמים. לדוגמה, המרכז של חוג, הכולל על-פי ההגדרה את כל האיברים \ c\in R המקיימים \,c \cdot r = r\cdot c לכל \ r\in R, הוא תת-חוג קומוטטיבי של החוג (אם כי יכולים להיות לחוג תת-חוגים קומוטטיביים גדולים יותר).

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • חוג שיש בו איבר אחד בלבד נקרא "חוג האפס", או "החוג הטריוויאלי".
  • אוסף המספרים השלמים \mathbb{Z} הוא חוג קומוטטיבי (חילופי). זהו תחום שלמות אוקלידי.
  • חוג השלמים של גאוס מהווה אף הוא חוג קומוטטיבי עם יחידה.
  • כל שדה הוא חוג קומוטטיבי עם יחידה.

תורת המבנה[עריכת קוד מקור | עריכה]

תורת המבנה של החוגים האסוציאטיביים התפתחה באינטנסיביות במהלך המאה ה-20, עם קפיצות מדרגה בשנות ה-30 (פיתוח תורת הרדיקלים) ושנות ה-60 (משפטי גולדי). כיום מזוהים בספרות המקצועית מאות משפחות של חוגים, שביניהן אפשר למנות: חוגים ארטיניים, נתריים, ראשוניים, פרימיטיביים ופשוטים, תחומי שלמות, ועוד רבים אחרים.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]