טיוטה:קונטרולביליות ואובזרווביליות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

בתורת הבקרה, קונטרולביליות ואובזרווביליותאנגלית: controllability and observability) הם מאפיינים אפשריים של מערכת, ביחס למצבים האפשריים שלה. מערכת היא קונטרולבילית אם מכל מצב ניתן להגיע בזמן סופי כלשהו לכל מצב אחר; מערכת היא אובזרוובילית אם בכל רגע ניתן לשחזר את (ומכאן גם את המצב לאורך זמן), מתוך ידיעת הכניסה והיציאה עד לרגע – עבור כל צמד של כניסה ויציאה.

הערות: קונטרולביליות אינה תנאי הכרחי להגעה ממצב אחד למצב אחר, אלא שתכונת הקונטרולביליות רק מבטיחה שניתן להגיע מכל מצב לכל מצב. אותו דבר נכון גם לגבי אובזרווביליות: אם מערכת איננה אובזרוובילית אין הדבר אומר שלא ניתן לשחזר אף תנאי התחלה, אלא שתכונת האובזרווביליות מבטיחה שניתן מכל מצב לשחזר את תנאי ההתחלה.

מערכת ליניארית[עריכת קוד מקור | עריכה]

מבחן קונטרולביליות - מגדירים את מטריצת הקונטרולביליות של המערכת .

אם המטריצה מדרגה מלאה (n) אז המערכת קונטרולבילית.

מבחן אובזרווביליות - מגדירים את מטריצת האובזרווביליות של המערכת .

אם המטריצה מדרגה מלאה (n) אז המערכת אובזרוובילית.

דוגמאות:

נתונה מערכת הבאה

מבחן קונטרולביליות:

ניתן לראות שדרגת המטריצה היא 2, כלומר שמטריצת הקונטרולביליות הינה מדרגה מלאה והמערכת הינה קונטרולבילית.

מבחן אובזרווביליות:

ניתן לראות שדרגת המטריצה היא 2, כלומר שמטריצת אובזרווביליות הינה מדרגה מלאה והמערכת הינה אובזרוובילית.

מערכת לא ליניארית[עריכת קוד מקור | עריכה]

על מנת לבדוק קונטרולביליות ואובזרווביליות של מערכת לא-ליניארית דרוש להשתמש בסוגרי לִי (Lie brackets) ובנגזרת לִי (Lie Derivative) שיוגדרו להלן.

הערה: ההגדרה של שתי הפעולות הללו תינתן במתכונת מצומצמת יחסית.

נגזרת לי[עריכת קוד מקור | עריכה]

נניח שקיימת פונקציה סקאלרית ווקטור שדה המוגדר פעולת ה-Lie Derivative של ביחס ל- מביאה לביטוי הבא: . נניח שנתונים לנו שני וקטורי שדות המוגדרים כמקודם אזי:

דוגמה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נתונות המערכת הבאה:

מתקבל:

סוגרי לי[עריכת קוד מקור | עריכה]

נניח שנתונים שני וקטורי שדות המוגדרים ב-

פעולת ה-Lie Brackets יוצרת שדה חדש:

כמו כן ניתן להגדיר Lie Brackets מסדרים גבוהים יותר בדרך הבאה:

דוגמה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נתונים שני הווקטורים הבאים:

קונטרולביליות[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניתן להסתכל על המערכת הלא ליניארית בצורה הבאה:

, כאשר הם שדות וקטורים של הכניסות ו- נקרא שדה וקטורי של הסחף (drift).

נגדיר את מטריצה כ:

במקרה בו המערכת חסרת סחף (driftless) והדרגה של המטריצה היא מסדר n ניתן להגדיר את המערכת כקונטרולבילית.

דוגמאות:[עריכת קוד מקור | עריכה]

דוגמה 1[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניתן לפתח את משוואות התנועה הבאות עבור מודל דו ממדי של חד-אופן (unicycle)[1]

כאשר הינן קוארדינטות המתארות את קונפיגורציית הגוף במישור (מיקום ואורינטציה), ו הינן המהירות הקווית והסיבובית של המערכת בהתאמה.

כלומר שהמערכת היא :

מכאן נובע

אפשר לראות שווקטור השדה שנוצר באמצעות פעולת ה-Lie brackets אינו תלוי בשני ווקטורי הכניסות האחרות והמערכת הינה קונטרולבילית.

דוגמה 2[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניתן לפתח את משוואות התנועה הבאות עבור מודל דו ממדי של של רכב בעל היגוי בציר הקדמי והנעה בציר האחורי[2]

כאשר הינן קוארדינטות המיקום של הרכב במישור, הינה זווית האורינטציה של הרכב במישור ו הינה זווית ההיגוי.

הפרמטר מתאר את המרחק בין הציר האחורי לקדמי ), ו הינן מהירות הנסיעה וההיגוי של הרכב בהתאמה.

באותו אופן כמו בדוגמה הקודמת מפתחים את האיברים הבאים:

ניתן להראות שדרגת המטריצה הינה 4 פרט למקרים בהם (גלגל קדמי ניצב לציר התנועה של הרכב), כך שהרכב קונטרולבילי כל עוד זווית ההיגוי שונה מ . אם משתמשים בעובדה שניתן לשלוט במהלך הנסיעה על זווית ההיגוי באמצעות כניסת מהירות ההיגוי אזי ניתן להגיד שהמערכת קונטרולבילית.

דוגמה 3[עריכת קוד מקור | עריכה]

נתונה מערכת המשוואות הכוללת בתוכה את השדה וקטורי של הסחף (drift)

מכאן ש:

מן צד אחד אפשר לראות שדרגת המטריצה הינה 2, פרט למקרה בו בנוסף לכך בהבדל מן המערכות בדוגמאות הקודמות המערכת כאן הינה בעלת סחף ולכן המערכת אינה קונטרולבילית. ניתן לראות זאת גם באמצעות הביטוי, שאומר שהערך של הקוארדיננטה רק גדל ומכאן שהמערכת לא באמת קונטרולבילית.

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]