יריעת גרסמן

בגאומטריה אלגברית, יריעת גרסמן (או גרסמניאן) היא יריעה אלגברית פרויקטיבית חלקה $\operatorname {Gr} (k,V)$, שהנקודות שלה נמצאות בהתאמה למרחבים מממד (אפיני) קבוע $k$ במרחב וקטורי $V$. לדוגמה, $\operatorname {Gr} (1,V)$ אינו אלא המרחב הפרויקטיבי ${\mathbb {P} }V$. אם $V$ מרחב מממד $n$, יריעת גרסמן, שמקובל לסמן אותה גם ב-${\mathbb {G} }^{n,k}$, משוכנת (על ידי שיכון פלוקר) במרחב הפרויקטיבי ${\mathbb {P} }^{{\binom {n}{k}}-1}$. יריעת גרסמן קרויה על-שם הרמן גרסמן.

יריעות גרסמן מופיעות באופן טבעי במחקר של יריעות חלקות, משום שאם $M$ היא היריעה מממד $k$ ומשוכנת במרחב האפיני ה-$n$ ממדי, אז המרחב המשיק בכל נקודה הוא תת-מרחב $k$ ממדי של ${\mathbb {R} }^{n}$, כך שהמרחב המשיק מגדיר העתקה רציפה מ-$M$ אל יריעת גרסמן $\operatorname {Gr} (k,n)$. את הרעיון הזה אפשר להכליל לאגד משיק כללי.

דוגמאות

הדואליות בין מרחבים מממד $k$ למרחבים מממד $n-k$ (שהיא הדואליות בין קבוצות משוואות למרחבי פתרונות), מראה ש-$\operatorname {Gr} (n-k,n)\cong \operatorname {Gr} (k,n)$.

כאמור, אם $k=1$, אז $\operatorname {Gr} (1,n)\cong {\mathbb {P} }^{n-1}$. בפרט, אם $k=1$ ו-$n=3$, היריעה מקודדת את הישרים דרך הראשית במרחב התלת־ממדי, ואינה אלא המישור הפרויקטיבי. הדוגמה הפשוטה ביותר שאינה מרחב פרויקטיבי, היא היריעה $\operatorname {Gr} (2,4)$ של המישורים דרך הראשית במרחב הארבעה ממדי.

תיאור כמרחב הומוגני

החבורה הליניארית הכללית $\operatorname {GL} _{n}(F)$ פועלת טרנזיטיבית על אוסף תת-המרחבים מממד $k$. המייצב של תת-מרחב הוא תת-החבורה הפרבולית של מטריצות הבלוקים $H_{k}=\left({\begin{array}{cc}*&*\\0&*\end{array}}\right)$ (עם בלוקים אלכסוניים בגודל $k\times k$ ו-$(n-k)\times (n-k)$), וכך מתקבלת הזהות $\operatorname {Gr} (k,F^{n})=\operatorname {GL} _{n}(F)/H_{k}$. בפרט, הממד של יריעת גרסמן הוא $k(n-k)$.

אם $F^{n}$ מצויד במכפלה פנימית (או ביתר כלליות בתבנית ריבועית אנאיזוטרופית), אז הפעולה על תת-קבוצות אורתוגונליות מספקת את הזהות $\operatorname {Gr} (k,F^{n})=O_{n}(F)/(O_{k}(F)\times O_{n-k}(F))$. המעבר לחבורת האיזומטריות המיוחדות $\operatorname {SO} _{n}$ מגדיר את יריעת גרסמן המכוונת $\operatorname {SO} _{n}(F)/(\operatorname {SO} _{k}(F)\times \operatorname {SO} _{n-k}(F))$, שהיא כיסוי כפול של יריעת גרסמן מאותם ממדים.

מעל המרוכבים, הצגה דומה באמצעות חבורת המטריצות האוניטריות שהיא חבורה קומפקטית, מראה שיריעת גרסמן (הממשית או המרוכבת) היא קומפקטית.

נוכחות המכפלה הפנימית הופכת את יריעת גרסמן למרחב מטרי, אם מגדירים $d(W,U)=\lVert P_{W}-P_{U}\rVert ,$, המרחק בין ההטלות של $W$ על $U$ ושל $U$ על $W$, לפי הנורמה האופרטורית.

קואורדינטות פלוקר

קואורדינטות פלוקר של יריעת גרסמן מתקבלות מבחירת בסיס למרחב ה-$n$ ממדי, על ידי מעבר על כל תת-הקבוצות בגודל $k$. הצגה בקואורדינטות אלה מספקת את השיכון $\operatorname {Gr} (k,F^{n})\subset {\mathbb {P} }^{{\binom {n}{k}}-1}F$, המוגדר על ידי משוואות ריבועיות. כך למשל, $\operatorname {Gr} (2,F^{4})\,\cong \,\{(y_{01}:y_{02}:y_{03}:y_{12}:y_{13}:y_{23})\in \operatorname {P} ^{5}F\,|\,y_{01}y_{23}-y_{02}y_{13}+y_{03}y_{12}=0\}$.

ראו גם

• דגל

קישורים חיצוניים

• יריעת גרסמן, באתר MathWorld (באנגלית)