כלל לייבניץ

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

כלל לייבניץ (מכונה גם כלל המכפלה), שקרוי על שמו גוטפריד וילהלם לייבניץ, הוא כלל העוסק בגזירת מכפלות של פונקציות.

הכלל המקורי עוסק בנגזרת ראשונה של מכפלת פונקציות: לכל שתי פונקציות ו-.

מכלל לייבניץ הבסיסי אפשר לפתח את נוסחת האינטגרציה בחלקים:

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניתן להוכיח את כלל לייבניץ ישירות על ידי חישוב הנגזרת:

לפונקציות חיוביות, ניתן להוכיח את הכלל על ידי שימוש בכלל השרשרת ובתכונות של הלוגריתם הטבעי:
לכל שתי פונקציות חיוביות מתקיים .
אם נגזור את שני האגפים ונשתמש בכלל השרשרת נקבל:

הכללות[עריכת קוד מקור | עריכה]

גזירה חוזרת[עריכת קוד מקור | עריכה]

לייבניץ הכליל את הנוסחה לנגזרת ה-n-ית:

כאשר הוא המקדם הבינומי. הביטוי דומה מאוד לבינום של ניוטון:

הדמיון אינו מקרי, כי את שתי הנוסחאות מוכיחים בצורה זהה באמצעות אינדוקציה, ושתיהן נשענות על אותו רעיון קומבינטורי.

מכפלה של כמה פונקציות[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניתן להשתמש בכלל כדי לגזור מכפלה של כמה פונקציות. לדוגמה:

וכן
וכו'.

באופן כללי, אם הפונקציה היא הנגזרת היא:

.

אם אף אחת מהפונקציות לא שווה ל-0, אפשר לכתוב את זה גם כך:

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]