כלל לייבניץ

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

כלל לייבניץ (מכונה גם כלל המכפלה), שקרוי על שמו גוטפריד וילהלם לייבניץ, הוא כלל העוסק בגזירת מכפלות של פונקציות.

הכלל המקורי עוסק בנגזרת ראשונה של מכפלת פונקציות: לכל שתי פונקציות ו-.

מכלל לייבניץ הבסיסי אפשר לפתח את נוסחת האינטגרציה בחלקים:

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניתן להוכיח את כלל לייבניץ ישירות על ידי חישוב הנגזרת:

לפונקציות חיוביות, ניתן להוכיח את הכלל על ידי שימוש בכלל השרשרת ובתכונות של הלוגריתם הטבעי:
לכל שתי פונקציות חיוביות מתקיים .
אם נגזור את שני האגפים ונשתמש בכלל השרשרת נקבל:

הכללות[עריכת קוד מקור | עריכה]

גזירה חוזרת[עריכת קוד מקור | עריכה]

לייבניץ הכליל את הנוסחה לנגזרת ה-n-ית:

כאשר הוא המקדם הבינומי. הביטוי דומה מאוד לבינום של ניוטון:

הדמיון אינו מקרי, כי את שתי הנוסחאות מוכיחים בצורה זהה באמצעות אינדוקציה, ושתיהן נשענות על אותו רעיון קומבינטורי.

מכפלה של כמה פונקציות[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניתן להשתמש בכלל כדי לגזור מכפלה של כמה פונקציות. לדוגמה:

וכן
וכו'.

באופן כללי, אם הפונקציה היא הנגזרת היא:

.

אם אף אחת מהפונקציות לא שווה ל-0, אפשר לכתוב את זה גם כך:

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]