הבינום של ניוטון

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

המחשה גרפית לארבעת המקרים הראשונים של נוסחת הבינום של ניוטון

במתמטיקה, הבינום של ניוטון היא נוסחה לפיתוח חזקות של סכום של שני איברים.

על פי נוסחת הבינום, ניתן לפתח את החזקה \ (x+y)^n לסכום הכולל ביטויים מהצורה \ a\ x^b\ y^c, כאשר החזקות b ו- c הן מספרים שלמים לא שליליים המקיימים b+c=n, והמקדם a של כל ביטוי הוא מספר שלם חיובי ספציפי התלוי ב- b ו- c. לדוגמה:

(x+y)^4 \;=\; x^4 \,+\, 4 x^3y \,+\, 6 x^2 y^2 \,+\, 4 x y^3 \,+\, y^4.

המקדם a בביטוי \ a\ x^b\ y^c מכונה מקדם בינומי {n \choose b} או {n \choose c} (לשניהם יש אותו הערך).

נוסחת הבינום עבור חזקה שלמה[עריכת קוד מקור | עריכה]

על פי הבינום של ניוטון ניתן לפתח כל חזקה של x+y לסכום בצורה הזו:

(x+y)^n = {n \choose 0}x^n y^0 + {n \choose 1}x^{n-1}y^1 + {n \choose 2}x^{n-2}y^2 + \cdots + {n \choose n-1}x^1 y^{n-1} + {n \choose n}x^0 y^n

נוח להגדיר חזקת אפס כשווה ל-1 תמיד, משום ש: \ a^0=a^{n-n}=\frac{a^n}{a^n}=1.

בנוסף, המספר 1 הוא איבר יחידה ביחס לכפל כך ש: 1\cdot x = x\cdot 1 = x. כלומר, כל מספר כפול אחד שווה למספר עצמו ולכן גם מכפלה במספר כלשהו בחזקת אפס שווה למספר עצמו, כך ש: a^0\cdot x = x\cdot a^0 = x.

בהתאם לכך, נהוג לעתים לכתוב בנוסחת הבינום גם \binom{n}{0} x^n + \ldots במקום \binom{n}{0} x^n y^0 + \ldots, תוך השמטת הביטוי \ y^0 - שהרי כל מספר שיוכפל בו יהיה שווה לעצמו.

מכאן שניתן לכתוב את נוסחת הבינום גם בדרך זו:

(x+y)^n = {n \choose 0}x^n + {n \choose 1}x^{n-1}y^1 + {n \choose 2}x^{n-2}y^2 + \cdots + {n \choose n-1}x^1 y^{n-1} + {n \choose n} y^n

בעזרת סימן הסכום סיגמא גדולה (Σ), ניתן לסמן את נוסחת הבינום בדרך מקוצרת. כך שאם n מספר שלם, אז לכל x ו-y מתקיים:

(x+y)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{n-k}y^k = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{k}y^{n-k},

כאשר הביטוי האחרון נובע מקודמו, עקב הסימטריה בין x ל- y בביטוי הראשון.

מקדם הבינום[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – מקדמי הבינום
כל מספר במשולש פסקל מהווה את סכום שני המספרים שנמצאים מעליו

המקדמים של x^{n-k}y^k המופיעים בביטויים של נוסחת הבינום הם מספרים שלמים חיוביים המכונה מקדמי הבינום.

לכל  0 \le k \le n נגדיר:

{n \choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}

הסימן "!" מציין עצרת, שהיא מכפלת כל המספרים הטבעיים מ-1 ועד למספר נתון.

  • כלומר: \ n! = 1 \times 2 \times \cdots \times n
  • ובאופן דומה: \ k! = 1 \times 2 \times \cdots \times k , \ (n-k)! = 1 \times 2 \times \cdots \times (n-k)
  • כמו כן, \ 0!=1.

ניתן לכתוב את הנוסחה של מקדם הבינום גם כך:

{n \choose k} = \frac{n (n-1) (n-2) \cdots (n-(k-1))}{k!} = \frac{n (n-1) \cdots (n-k+1)}{k (k-1) \cdots 1} = \prod_{\ell=1}^k \frac{n-\ell+1}{\ell} = \prod_{\ell=0}^{k-1} \frac{n-\ell}{k - \ell}

למרות שנוסחת הבינום מורכבת משבר הערכים של המקדמים הבינומיים הם תמיד מספרים שלמים.

ניתן לסדר את המקדמים הבינומיים כך שירכיבו יחדיו את משולש פסקל. זהו סידור של מספרים בצורת משולש, שקודקודו העליון מכיל את המספר 1 וכל מספר במשולש מהווה את סכום שני המספרים שנמצאים מעליו, כאשר המספרים שנמצאים על שוקי המשולש הם כולם 1.

ערכי מקדמי הבינום מקדמי הבינום
ניתן להרכיב את משולש פסקל ממקדמי הבינום של ניוטון, כך שכל מספר במשולש מהווה את סכום שני המספרים שנמצאים מעליו.

למקדמי הבינום שימושים רבים בקומבינטוריקה והסתברות. זאת משום שהמקדם הבינומי  \tbinom nk הוא מספר תת-הקבוצות בגודל k שניתן לבחור מתוך קבוצה בגודל n. כלומר, זהו מספר האפשרויות לבחור \ k איברים מתוך \ n, ללא חזרות וללא חשיבות לסדר.

דוגמאות לשימוש בנוסחת הבינום[עריכת קוד מקור | עריכה]

ייצוג גראפי למקרה השני של נוסחת הבינום של ניוטון: \ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2
ייצוג גראפי למקרה השלישי של נוסחת הבינום של ניוטון

המקרים הראשונים של הנוסחה הם:

  • \ (x+y)^1=x+y
  • \ (x+y)^2=x^2+2xy+y^2
  • \ (x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3
  • \ (x+y)^4=x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y^4
  • \ (x+y)^5 = x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + y^5
  • \ (x+y)^6 = x^6 + 6x^5y + 15x^4y^2 + 20x^3y^3 + 15x^2y^4 + 6xy^5 + y^6
  • \ (x+y)^7 = x^7 + 7x^6y + 21x^5y^2 + 35x^4y^3 + 35x^3y^4 + 21x^2y^5 + 7xy^6 + y^7

הוכחות[עריכת קוד מקור | עריכה]

הוכחה קומבינטורית[עריכת קוד מקור | עריכה]

דוגמה נוספת עבור \ (x+y)^3.

ראשית, נשים לב כי \ (x+y)^n=(x+y)\cdot(x+y)\cdot\dots\cdot(x+y). באגף ימין מופיעים \ n ביטויים המוכפלים זה בזה. התוצאה היא סכום של כל המכפלות האפשריות שבהן נבחר איבר אחד מכל אחד מהסוגריים. למשל, \ (x+y)^2=(x+y)\cdot(x+y)=x\cdot x+x\cdot y +y\cdot x+y\cdot y=x^2+2xy+y^2, כשבוחרים את האיבר \ x מהסוגריים הראשונים ו-\ x מהשניים, \ x מהסוגריים הראשונים ו-\ y מהשניים, וכן הלאה.

מכיוון שהסדר בהכפלת המשתנים אינו חשוב, הביטוי \ x^ky^j מופיע בכל פעם שבוחרים k פעמים ב-x ו-j פעמים ב-y, ובהכרח k+j=n. לקביעת k המקומות מתוך n שבהם נבחר דווקא x יש \ {n\choose k} אפשרויות, ולכן זהו המקדם של \ x^ky^{n-k}.

הוכחה באינדוקציה[עריכת קוד מקור | עריכה]

צריך להוכיח: (a+b)^n=\sum_{k=0}^n {n \choose k}a^kb^{n-k}

בדיקה עבור n=1 (ניתן לבדוק גם החל מ-n=0): (a+b)^1=\sum_{k=0}^1 {1 \choose k}a^kb^{1-k}.

\sum_{k=0}^1 {1 \choose k}a^kb^{1-k}={1 \choose 0}a^0b^1+{1 \choose 1}a^1b^0=b+a.

הנחת האינדוקציה: נניח נכונות עבור n=i : (a+b)^i=\sum_{k=0}^i {i \choose k}a^kb^{i-k}.

ונוכיח נכונות עבור n=i+1: (a+b)^{i+1}=\sum_{k=0}^{i+1} {i+1 \choose k}a^kb^{i+1-k}.

הוכחה: \ (a+b)^{i+1}=(a+b)^i(a+b) . נשתמש בהנחת האינדוקציה ונחליף את \ (a+b)^i ב- \sum_{k=0}^i {i \choose k}a^kb^{i-k}. אזי


\begin{align}
(a+b)\sum_{k=0}^i {i \choose k}a^kb^{i-k} & = a\sum_{k=0}^i {i \choose k}a^kb^{i-k}+b\sum_{k=0}^i {i \choose k}a^kb^{i-k}= \\
& =  \sum_{k=0}^i {i \choose k}a^{k+1}b^{i-k}+\sum_{k=0}^i {i \choose k}a^kb^{i-k+1} = \\
& =  \sum_{k=1}^{i+1} {i \choose k-1}a^kb^{i-k+1}+ \sum_{k=0}^i {i \choose k}a^kb^{i-k+1} = \\
& =  {i \choose i}a^{i+1}b^0+\sum_{k=1}^{i} {i \choose k-1}a^kb^{i-k+1}+{i \choose 0}a^0b^{i+1} + \sum_{k=1}^i {i \choose k}a^kb^{i-k+1} = \\
& =  a^{i+1}+b^{i+1}+\sum_{k=1}^i\left({i \choose k-1}+{i \choose k}\right)a^kb^{i-k+1} \\
& =  a^{i+1}+b^{i+1}+\sum_{k=1}^{i} {i+1 \choose k}a^kb^{i-k+1}=\sum_{k=0}^{i+1} {i+1 \choose k}a^kb^{i-k+1}
\end{align}

כאשר השתמשנו בזהות {i \choose k-1}+{i \choose k} = {i+1 \choose k} ממשולש פסקל. בכך הושלמה הוכחת צעד האינדוקציה.

מ.ש.ל.

גרסאות של נוסחת הבינום[עריכת קוד מקור | עריכה]

גרסה פשוטה של נוסחת הבינום מתקבלת על ידי הצבת המספר 1 במשתנה y, כך שהיא תכיל רק משתנה יחיד.

בגרסה זו הנוסחה תראה כך:

(1+x)^n = {n \choose 0}x^0 + {n \choose 1}x^1 + {n \choose 2}x^2 + \cdots + {n \choose {n-1}}x^{n-1} + {n \choose n}x^n,

או כך:

(1+x)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^k.

היסטוריה והתפתחות[עריכת קוד מקור | עריכה]

"משולש פסקל", המשמש להצגת מקדמי הבינום, בספרו של המתמטיקאי הסיני בן המאה ה-13, יאנג חווי

הנוסחה עבור חזקה שלמה הייתה ידועה זמן רב לפני ניוטון. בלז פסקל חקר אותה במהלך המאה ה-17, אך הייתה ידועה גם למתמטיקאים שקדמו לו, ובהם הסיני יאנג חווי בן המאה ה-13, הפרסי עומר כיאם בן המאה ה-11, וההודי פינגלה בן המאה ה-3. את הגרסה הכללית, שבה החזקה יכולה להיות מספר כלשהו, פיתח ניוטון בעזרת השיטות של החשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי שהמציא.

המקרה הכללי[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניוטון הראה שלכל r ממשי מתקיים \ (1+x)^r = \sum_{j=0}^\infty {r \choose j} x^{j}, כאשר \ {r \choose j} = \frac{r (r-1) \cdots (r-j+1)}{j !}. זהו טור אינסופי, המתכנס אל הערך הנכון לכל x, ותקף גם כאשר r מרוכב. אם r שלם, רק r+1 המקדמים הראשונים שונים מאפס, והטור הוא למעשה סכום סופי. את המקרה הכללי אפשר לחשב לפי (x+y)^r = x^r(1+\tfrac yx)^r.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

עבור r=1/2, מתקבלת הנוסחה השימושית:

\ (1+x) ^ \frac{1}{2} = \sqrt{1+x} = 1 + \frac{1}{2} x - \frac{1}{8} x^2 +\dots

עבור r=-1 מתקבל הטור הגאומטרי: \ (1+x)^{-1} = \frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + \dots

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

הוכחת הנוסחה נעשית באמצעות פיתוח טור טיילור עבור הפונקציה המרוכבת \ f(z) = (1+z)^r.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

גדי אלכסנדרוביץ', הבינום של ניוטון, באתר "לא מדויק"