מודל דביי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

מודל דביי פותח על ידי הפיזיקאי והכימאי פטר דביי בשנת 1912. המודל פותח על מנת להעריך את קיבול החום כתלות בטמפרטורה במוצקים. המודל מהווה תיקון למודל המוצק של איינשטיין בכך שהוא מצליח לקבל בטמפרטורות נמוכות כי קיבול החום פרופורציוני ל- ובנוסף לקבל כי עבור טמפרטורות גבוהות קיבול החום הוא כאשר הוא הטמפרטורה, הוא מספר המולוקולות במוצק ו- הוא קבוע בולצמן. עקב מספר הנחות פשטניות במודל מקבלים חוסר דיוק עבור טמפרטורות שאינן גבוהות או נמוכות מאוד.

גרף של קיבול החום כפונקציה של הטמפרטורה המשווה בין מודל המוצק של איינשטיין למודל דביי. בגרף ניתן לראות כי בגבול של טמפרטורות גבוהות שני המודלים מסכימים ואילו בטמפרטורות נמוכות הגרפים אינם מסכימים: במודל המוצק של איינשטיין ישנה התנהגות אקספוננציאלית של קיבול החום בטמפרטורות נמוכות ואילו במודל דביי קיבול הולך כמו הטמפרטורה בשלישית.
גרף של קיבול החום כפונקציה של הטמפרטורה המשווה בין מודל המוצק של איינשטיין למודל דביי.

פיתוח המודל[עריכת קוד מקור | עריכה]

הרעיון שעומד בבסיס הפיתוח של המודל הוא התייחסות לתנודות המולקולות שבמוצק כאל גלים עם אנרגיה מקוונטטת - פונונים. לגלים אלו יש שלוש דרגות חופש: שתי דרגות חופש של תנודות רוחביות ודרגת חופש אחת של תנודות אורכיות.[1]

האנרגיה שתורמים כלל הפונונים בעלי תדירות היא: כאשר הוא פונקציית האכלוס של פלאנק, המתאר את מספר הפונונים בעלי תדירות ו- . אם כן, האנרגיה הכוללת במוצק היא: כאשר s מייצג את המצבים המיקרוסקופיים השונים האפשריים במוצק.[2][1]

הנחות המודל:[2][1]

יחס נפיצה ליניארי: כאשר מניחים שמהירות הקול בחומר אינה תלויה אם מדובר בתנודות אורכיות או רוחביות, בקיטוב בכיוון התקדמות הגל או בגודל של וקטור הגל .

מספר המצבים האפשריים:[1][2]

עבור מוצק עם מולקולות יש מצבים אפשריים מאחר שלכל פונון יש שלוש דרגות חופש (שתיים של התנודות הרוחביות ואחת של תנודה אורכית).

מציאת תדירות הקטעון - תדירות דביי:[2]

תדירות הקיטעון היא התדירות המקסימלית האפשרית במוצק נתון. תדירות זו מתקבלת מתוך ההנחה שיש מספר סופי של תנודות אפשריות מאחר שלמוצק יש מימד סופי ולכן מספר סופי של מולקולות. ניתן לחשב ולמצוא את תדירות הקטעון באופן הבא:

מניחים כי תנאי השפה של הבעיה לא משפיעים הרבה על פתרון הבעיה ולכן ניתן להניח כי המוצק הוא קובייה בעל נפח ואורך כל אחת מצלעותיו כך ש- . פתרון משוואת הגלים עם תנאי שפה של קובייה תלת ממדית ( - פונקציית הגל צריכה להתאפס על צלעות הקוביה) נותנת את מספרי הגל כאשר n הוא מספר טבעי.

מספר המצבים האפשריים = כאשר הפקטור 3 נובע משלוש דרגות החופש שיש לתנודות בחומר.

מניחים כי ניתן לקרב את הסכום על לאינטגרל תלת ממדי על באופן הבא: . (האינטגרל הוא אינטגרל בקואורדינטות כדוריות כאשר התחום הרלוונטי הוא האזור בו x>0 ,y>0 ,z>0. כלומר, מתעניינים רק בשמינית מהמרחב ולכן החלוקה ב-8).

כלומר: .

מיחס הנפיצה מקבלים את תדירות הקיטעון: .[1]

חישוב קיבול החום מתוך האנרגיה הכוללת:[2]

כפי שצוין בתחילת הפיתוח, האנגיה הכוללת ניתנת לחישוב באופן הבא: כאשר הסכום הומר מלהיות סכום על המצבים המיקרוסקופיים s ללהיות סכום על n.

מאחר שמתעניינים בחישוב קיבול החום ניתן להתעלם מהתרומה של האיבר לסכום מאחר שאיבר זה אינו תלוי בטמפרטורה.[1] בנוסף, מקרבים את הסכום על לאינטגרל באותו אופן שנעשה לחישוב תדירות הקיטעון ומקבלים: .

מחליפים את משתנה האינטגרציה למשתנה חסר ממדים (חסר יחידות) - , ומקבלים:

כאשר .

מהאנרגיה הכוללת ניתן לחשב את קיבול החום על ידי ביצוע נגזרת חלקית לפי הטמפרטורה: .

טמפרטורת דביי[2][עריכת קוד מקור | עריכה]

מהגודל מגדירים את טמפרטורת דביי: . לגודל זה יחידות טמפרטורה ולכן מגדיר סקלת טמפרטורה למערכת. ניתן להסתכל על טמפרטורות ביחס לטמפרטורת דביי, בהתאם ליחס זה נקבעת הפיזיקה של המערכת. כלומר עבור טמפרטורות נמוכות ביחס לטמפרטורת דביי המוצק יהיה במצב שונה בהשוואה לטמפרטורות גבוהות ביחס לטמפרטורת דביי. בין היתר, השוני בא לידי ביטוי בקיבול החום.

קיבול החום בגבול של טמפרטורות גבוהות[1][2][עריכת קוד מקור | עריכה]

עבור טמפרטורות גבוהות, כלומר: . במקרה זה בחישוב האנרגיה הכוללת ניתן להשתמש בטור טיילור של אקספוננט עד לסדר ראשון: , כך שמתקבל האינטגרל הבא:

.

מכאן שקיבול החום בטמפרטורות גבוהות הוא: .

תוצאה זו עולה בקנה אחד עם התוצאה שקיבל איינשטיין ועם מדידות שערכו במעבדה.

קיבול החום בגבול של טמפרטורות נמוכות[2][עריכת קוד מקור | עריכה]

עבור טמפרטורות נמוכות, כלומר: . במקרה זה בחישוב האנרגיה הכוללת ניתן לקרב את האינטגרל ללהיות אינטגרל מאפס עד אינסוף, כך ש- .

אם כן, האנרגיה הכוללת עבור טמפרטורות נמוכות היא .

מכאן שקיבול החום בטמפרטורות נמוכות הוא: .

תוצאה זו מראה כי עבור טמפרטורות נמוכות קיבול החום הולך כמו הטמפרטורה בשלישית, תוצאה שעולה בקנה אחד עם מדידות שנערכו במעבדה.

הצלחות המודל[1][עריכת קוד מקור | עריכה]

מצליח לקבל את קיבול החום הנמדד בטמפרטורות גבוהות - ובטמפרטורות נמוכות - .

הבעיות במודל[1][עריכת קוד מקור | עריכה]

  • השימוש ביחס נפיצה ליניארי: , עבור ערכים גדולים של . הבעיה היא כי עבור ערכים גבוהים של יחס הנפיצה אינו ליניארי.
  • המודל אניו מדויק עבור אף חומר.
  • מודל דביי לא מתאר טוב את קיבול החום במתכות. קיבול החום במתכות: . מודל דביי נותן הסבר לאיבר שהולך כמו , אך אינו מסביר את האיבר עם התלות הליניארית בטמפרטורה.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 02. Debye Model of Vibrations in Solids; Drude Theory of Electrons in Metals | University of Oxford Podcasts - Audio and Video Lectures, podcasts.ox.ac.uk
  2. ^ 1 2 3 4 5 6 7 8 Charles Kittel and Herbert Kroemer, Thermal Physics, New York: W. H. Freeman and Company, 1970