נגזרת חלקית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בחשבון אינפיניטסימלי, נגזרת חלקית של פונקציה בכמה משתנים היא נגזרת של הפונקציה באחד ממשתניה, כאשר מתייחסים לשאר המשתנים כאל קבועים. סימן הנגזרת החלקית הוא האות d המעוגלת, המכונה לעתים "דוֹ".

סימונים מקובלים נוספים לנגזרת החלקית על פי הם וכן כאשר הוא אופרטור גזירה חלקית לפי המשתנה .

הגדרה פורמלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהא פונקציה ב משתנים. נסמן את הנגזרת החלקית של על פי בעזרת הסימון , והיא תוגדר כך:

.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. נביט בפונקציה . אם מסתכלים על הפונקציה בתור פונקציה של בלבד, כאשר קבוע, זוהי פונקציה של פולינום. לעומת זאת, כאשר מסתכלים עליה בתור פונקציה של ועל בתור קבוע, זוהי פונקציה מעריכית. על כן, הנגזרות החלקיות שלה הן: .
  2. נתבונן בפונקציה . לכאורה זוהי פונקציה במשתנה אחד, אך ניתן גם להתייחס אליה כפונקציה מרובת משתנים, כאשר היא קבועה לכל משתנה שאינו . על כן, הנגזרות החלקיות שלה הן: .

שימושים[עריכת קוד מקור | עריכה]

באנליזה וקטורית ובפיזיקה הנגזרת החלקית משמשת לאנליזה מתמטית של פונקציות המוגדרות מעל מרחב וקטורי, ומציאת תכונות שונות של אותן פונקציות. נגזרת חלקית משמשת לכתיבת משוואות דיפרנציאליות חלקיות. בדרך כלל הנגזרות החלקיות יצורפו לאופרטור דיפרנציאלי, כמו גרדיאנט, דיברגנץ או רוטור.

  • הגרדיאנט של פונקציה בנקודה מסוימת הוא וקטור הנגזרות החלקיות שלה באותה נקודה. הגרדיאנט בנקודה כלשהי יוגדר כך:
  • הדיברגנץ של פונקציה וקטורית (ב-Rn) הוא פונקציה (ב-R1) המודדת את קצב השינוי במאונך לצירים. במערכת צירים קרטזית הדיברגנץ הוא מכפלה פנימית בין אופרטור הגראדיאנט לפונקציה הווקטורית:
.
  • הרוטור הוא גודל דיפרנציאלי המודד את נטייתו של שדה וקטורי להסתובב סביב נקודה מסוימת. במערכת קרטזית:
.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]