מורפיזם פרויקטיבי

בגאומטריה אלגברית המושג מורפיזם פרויקטיבי הוא גרסה יחסית של המושג סכמה פרויקטיבית זאת אומרת תת-סכמה סגורה במרחב פרויקטיבי. כך מורפיזם פרויקטיבי מתאר משפחות של יריעות (סכמות) פרויקטיביות.

הגדרה פורמלית

מרחב פרויקטיבי אנחנו מגדירים $\mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{n}$ כספקטרום פרויקטיבי של החוג המדורג $\mathbb {Z} [x_{0},\ldots ,x_{n}]$. כמו כן, מרחב פרויקטיבי מעל $Y$ מוגדר על-ידי החלפת בסיס $\mathbb {P} _{Y}^{n}=\mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{n}\times Y$. זאת סכמה מצוידת במורפיזם קנוני (היטל) $\pi :\mathbb {P} _{Y}^{n}\to Y$.

הגדרה. מורפיזם סכמות $f:X\to Y$ נקרא פרויקטיבי עם ניתן להציגו כהרכבה $X{\stackrel {g}{\to }}\mathbb {P} _{Y}^{n}{\stackrel {\pi }{\to }}Y$ כאשר $g$ שיכון סגור.

דוגמאות ותכונות

• מורפיזם $X\to \operatorname {Spec} (k)$ פרויקטיבי כאשר $X$ סכמה פרויקטיבית.
• עבור סכמה קוואזי-פרויקטיבית $X$ ותת-סכמה סגורה $Z\subset X$ הניפוח $\pi :Bl_{Z}(X)\to X$ הוא מורפיזם פרויקטיבי.
• כל מורפיזם פרויקטיבי הוא נאות. בפרט, פנקטור התמונה הישרה וניגזרותיו שומרים על אלומות קוהרנטיות.

לקריאה נוספת

• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Springer-Verlag. ISBN 0-387-90244-9.