ניפוח (גאומטריה אלגברית)

בגאומטריה אלגברית ניפוח (באנגלית blowing up^[1]) היא פעולה שאפשר לבצע על יריעה אלגברית (או על סכמה, באופן כללי יותר). הניפוח משנה את מבנה היריעה בצורה מבוקרת ומהווה כלי חשוב בגאומטריה אלגברית. הניפוח מאפשר לפשט יריעות אלגבריות ואובייקטים אלגבריים עליהן ועומד בבסיס תהליך התרת הסינגולריות. ניתן לחשוב על ניפוח בתור גרסה אלגברית, מופשטת, וכללית של מעבר לקואורדינטות קוטביות.

ניפוח של יריעה אלגברית $X$ לאורך תת-יריעה סגורה $Z$ היא בנייה מסוימת של יריעה $Bl_{Z}(X)$ ביחד עם העתקה נאותה $p:Bl_{Z}(X)\to X$ אשר מהווה איזומרפיזם מחוץ ל- $Z$ . באופן אינטואיטיבי הניפוח מחליף את $Z$ בפרויקטיביזציה של האגד הנורמלי ל- $Z$ .

ניפוח של מרחב אפיני לאורך נקודה[עריכת קוד מקור | עריכה]

הדוגמה הבסיסית ביותר לניפוח היא ניפוח של מרחב לאורך נקודה. בדוגמה זאת ניתן להגדיר את הניפוח באופן גאומטרי פשוט ומפורש. ניתן כאן את ההגדרה למקרה הזה.

נקבע שדה $k$ מעליו יהיו מוגדרים כל היריעות שנדון בהן. לצורך הפשטות נניח ש - $k$ סגור אלגברית. זה יאפשר לנו לזהות^{[דרושה הבהרה]} בין היריעות ובין קבוצת הנקודות שלהן. כל הדברים להלן תקפים גם עבור שדה כללי, עם ההתאמות הנדרשות.

בהינתן מרחב אפיני $V$ ונקודה $x\in V$ , הניפוח של $V$ לאורך $x$ הוא יריעה אלגברית $Bl_{x}(V)$ המהווה את אוסף הזוגות המורכבים מישר $L$ ב- $V$ שעובר דרך $x$ ומנקודה $y\in L$ . לפי ההגדרה $Bl_{x}(V)$ היא תת-קבוצה של המרחב של המכפלה $\mathbb {P} _{x}(V)\times V$ כאשר $\mathbb {P} _{x}(V)$ הוא המרחב הפרויקטיבי המהווה את אוסף הישרים ב- $V$ העוברים דרך $x$ . קל לראות ש- $Bl_{x}(V)\subset \mathbb {P} _{x}(V)\times V$ היא קבוצה סגורה בטופולוגיית זריצקי. הבחנה זאת נותנת מבנה של יריעה אלגברית (קווזי-פרויקטיבית) על $Bl_{x}(V)$ . כמו כן אנו מקבלים העתקת הטל $p:Bl_{x}(V)\to V$ .

הן היריעה $Bl_{x}(V)$ והן ההעתקה $p:Bl_{x}(V)\to V$ נקראות הניפוח של $V$ לאורך $x$ (או ב- $x$ ) הנקודה $x$ (כמו גם הקבוצה $\{x\}$ ) נקראת מרכז הניפוח.

ההעתקה $p:Bl_{x}(V)\to V$ היא בירציונלית (זאת אומרת שהיא מהווה איזומורפיזם לאחר שמצמצמים אותה לקבוצות פתוחות וצפופות במקור ובתווך) ונאותה. במילים אחרות היא מודיפיקציה. זה גם המצב עבור ניפוח במקרה הכללי.

קשר עם קואורדינטות פולריות וספיריות[עריכת קוד מקור | עריכה]

קואורדינטות פולריות הן דרך לתאר נקודה במישור באמצעות 2 מספרים $\phi ,r$ כאשר $\phi \in [0,2\pi ]$ היא זווית ו - $r\in [0,\infty )$ הוא מרחק הנקודה מהראשית. כך אנחנו מקבלים העתקה $q:[0,2\pi ]\times [0,\infty )\to \mathbb {R} ^{2}$ . העתקה זאת איננה חד-חד-ערכית, מכיוון שלחלק מהנקודות יש מספר יצוגים שונים בקואורדינטות פולריות.

נשים לב שכאשר $r=1$ אנחנו מקבלים נקודה על מעגל היחידה $S^{1}$ . לכן ניתן לחשוב על קואורדינטות פולריות בשני שלבים. בשלב הראשון $\phi$ מיצגת נקודה על מעגל היחידה, ובשלב השני הזוג המורכב מנקודה זאת והמספר $r$ מיצג נקודה במישור. במילים אחרות אנחנו מציגים את $q$ כהרכבה $[0,2\pi ]\times [0,\infty )\to S^{1}\times [0,\infty )\to \mathbb {R} ^{2}$ . לצורך הקשר עם ניפוח נתמקד בחלק השני של ההרכבה $\pi :S^{1}\times [0,\infty )\to \mathbb {R} ^{2}$ .

העתקה זאת ניתנת להכללה למרחבים ממימד גבוה יותר: $\pi :S^{n-1}\times [0,\infty )\to \mathbb {R} ^{n}$ על ידי הנוסחה $p(x,r)=rx$ כאשר $S^{n-1}$ היא ספירת היחידה במרחב $\mathbb {R} ^{n}$ . להכללה זאת קוראים קואורדינטות ספיריות^[2]. ההעתקה $\pi :S^{n-1}\times [0,\infty )\to \mathbb {R} ^{n}$ דומה מאוד לניפוח. ליתר דיוק ניתן לכתוב אותה כהרכבה $S^{n-1}\times [0,\infty )\to Bl_{0}(\mathbb {R} ^{n}){\overset {p}{\to }}\mathbb {R} ^{n}$ כאשר ההעתקה הראשונה מתקבלת מההעתקה הטבעית $S^{n-1}\to \mathbb {P} ^{n-1}$ . במילים אחרות היריעה $Bl_{0}(\mathbb {R} ^{n})$ מתקבלת מהיריעה $S^{n-1}\times [0,\infty )$ על ידי הדבקת כל נקודה בספירה $S^{n-1}\times \{0\}\subset S^{n-1}\times [0,\infty )$ לנקודה הנגדית שלה.

יש מספר הבדלים בולטים בין הניפוח לקואורדינטות ספיריות:

הניפוח עובד מעל כל שדה, בעוד שקואורדינטות ספיריות תקפות רק מעל הממשיים.
קואורדינטות ספיריות מפורשות, הכוללות גם קוארדינטות זוויתיות על הספירה מבוססות על פונקציות טריגונומטריות שאינן אלגבריות, בעוד שניפוח הוא פעולה אלגברית לחלוטין.
היריעה $Bl_{0}(\mathbb {R} ^{n})$ היא יריעה חלקה ללא שפה, בעוד שהיריעה $S^{n-1}\times [0,\infty )$ היא יריעה עם שפה.
היריעה $Bl_{0}(\mathbb {R} ^{n})$ איננה אוריינטבילית, בעוד שהיריעה $S^{n-1}\times [0,\infty )$ אוריינטביליות.
לדוגמה, במקרה הדו-ממדי עיגול סביב $0$ במישור מתאים לטבעת מביוס ב $Bl_{0}(\mathbb {R} ^{2})$ , ולטבעת רגילה ( $S^{1}\times [0,1)$ ) ב- $S^{1}\times [0,\infty )$ .

למרות ההבדלים, קואורדינטות פולריות וספיריות, מספקות תמונה אינטואיטיבית טובה עבור ניפוח.

הקשר וטרמינולוגיה[עריכת קוד מקור | עריכה]

בהינתן יריעה אלגברית $X$ ותת-יריעה סגורה $Z\subset X$ הניפוח של $X$ לאורך $Z$ (או ב- $Z$ ) הוא יריעה (מסוימת) $Bl_{Z}(X)$ יחד עם העתקה $p_{(X,Z)}:Bl_{Z}(X)\to X$ . הן היריעה $Bl_{Z}(X)$ והן ההעתקה $p_{(X,Z)}$ נקראת הניפוח. היריעה $Z$ נקראת מרכז הניפוח. התמונה ההפוכה של מרכז הניפוח תחת העתקת הניפוח נקראת המחלק המיוחד. היא תמיד מחלק קרטייה ב- $Bl_{Z}(X)$ זאת אומרת תת-יריעה (או ליתר דיוק תת-סכמה) של $Bl_{Z}(X)$ המוגדרת מקומית על ידי משוואה אחת (שאינה מחלקת אפס).

אם $X$ אפינית אז ניתן להתאים ל- $Z$ את האידיאל $I(Z)$ של הפונקציות הרגולריות על $X$ שמתאפסות על $Z$ . לניפוח לאורך $Z$ קוראים גם הניפוח לאורך האידיאל $I(Z)$ . רק אידיאלים רדיקליים ניתן להציג בתור $I(Z)$ עבור איזשהו $Z$ . אולם ניתן לנפח יריעות אפיניות לאורך כל אידיאל של פונקציות רגולריות. באופן כללי יותר, אם $X$ לא אפינית, ניתן לנפח אותה לאורך כל אלומת אידיאלים ${\mathcal {I}}\subset O_{X}$ .

מושג הניפוח קיים גם עבור סכמות: ניתן לנפח סכמה $X$ לאורך תת-סכמה סגורה $Z\subset X$ . הטרמינולוגיה והסימונים לניפוח סכמות זהים לאלה של יריעות. בשונה מיריעות, עבור סכמה $X$ , כל אלומת אידיאלים ${\mathcal {I}}\subset O_{X}$ היא אלומת הפונקציות הרגולריות המתאפסות על תת-סכמה סגורה $Z\subset X$ מתאימה, ולכן אין הבדל בכלליות בין ניפוח לאורך תת-סכמה סגורה וניפוח לאורך אלומת אידיאלים.

בדרך כלל מקובל לנפח תת-יריעות סגורות דלילות (זאת אומרת שהמשלים שלהן הוא תת-קבוצה פתוחה צפופה). במקרה בו היריעה $X$ היא בלתי פריקה הדבר שקול לכך ש - $Z\neq X$ . באופן פורמלי תנאי זה לא נדרש, אולם חלק מהתכונות הבסיסיות של ניפוח לא יתקימו ללא תנאי זה. למשל אם $Z$ איננה דלילה אז העתקת הניפוח לא תהיה על. לדוגמה הניפוח של $X$ לאורך עצמו הוא הקבוצה הריקה.

אפיון הניפוח על־ידי תכונות אוניברסליות[עריכת קוד מקור | עריכה]

במקום להגדיר את הניפוח באמצעות דוגמה מפורשת ניתן לאפיין את הניפוח על ידי תכונות. קל יהיה להוכיח שאיפיון זה מגדיר את הניפוח ביחידות (זאת אומרת שכל שתי בנייות של ניפוח שמקימות את התכונות צריכות להיות איזומורפיות ע"י איזומורפיזם טבעי). מכאן שלאחר איפיון הניפוח ע"י תכונות, משימת בנית הניפוח הופכת למשימת הוכחת המשפט שקיימת בנייה שמקיימת את התכונות הנדרשות.

ניתן לאפיין ניפוח כדרך אוניברסלית להפוך כל אידיאל למחלק קרטייה, זאת אומרת אלומת אידיאלים שמקומית נוצרת על ידי איבר אחד שאינו מחלק אפס. באופן פורמלי יותר, בהינתן יריעה $X$ ואלומת אידיאלים $I\subset O_{X}$ עליה, ניתן להגדיר את הניפוח של $X$ לאורך $I$ בתור יריעה $Bl_{I}(X)$ יחד עם העתקה $p_{(X,I)}:Bl_{I}(X)\to X$ המקיימת את התכונות הבאות:

המשיכה $p_{(X,I)}^{*}(I)$ היא אלומת אידיאלים על $Bl_{I}(X)$ הנוצרת מקומית על ידי איבר אחד שאינו מחלק אפס.
לכל העתקה $\pi :Y\to X$ כך שהמשיכה $\pi ^{*}(I)$ היא אלומת אידיאלים הנוצרת מקומית על ידי איבר אחד קיימת, ויחידה ההעתקה $\phi :Y\to Bl_{I}(X)$ כך שהדיאגרמה

{\begin{array}{ccc}Bl_{I}(X)&{\stackrel {\phi }{\longleftarrow }}&Y\\p_{(X,I)}\downarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,&&\swarrow \pi \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\X&&\end{array}}

קומוטטיבית.

במילים אחרות, הניפוח הוא אובייקט סופי בקטגוריית ההעתקות $\pi :Y\to X$ כך שהמשיכה $\pi ^{*}(I)$ היא מחלק קרטייה. משיקולים סטנדרטיים של תורת הקטגוריות נובע שהניפוח מאופין ביחידות על ידי תכונות אלה. קיום הניפוח הוא טענה מסובכת יותר. אפשר לראות בבניות להלן בתור הוכחות שונות לקייום הניפוח (במקרים פרטיים או באופן כללי).

אפיון הניפוח על ידי תכונות אוניברסליות עבור סכמות זהה למקרה של יריעה.

נשים לב שאיפיון הניפוח מתבצע עבור כל זוג $(X,Z)$ בניפרד והתכונות של הניפוח לא מערבות ניפוחים אחרים. לכן כשבונים את הניפוח, ניתן לעבוד על כל זוג בניפרד. כך גם כשמוכיחים שהבנייה מקיימת את התכונות.

תכונות בסיסיות נוספות[עריכת קוד מקור | עריכה]

נאותות: העתקת הניפוח $p_{(X,Z)}:Bl_{Z}(X)\to X$ היא נאותה.
בירציונליות: הניפוח הוא איזומורפיזם מחוץ ל- $Z$ . ליתר דיוק ההעתקה $p|_{p^{-1}(X\smallsetminus Z)}:p^{-1}(X\smallsetminus Z)\to X\smallsetminus Z$ המושרית מהניפוח היא איזומורפיזם. אם $Z$ דלילה זה אומר שהניפוח הוא שקילות בירציונלית.
מודיפיקציה: העתקה נאותה שהיא גם שקילות בירציונלית נקראת מודיפיקציה. מכאן שאם $Z$ דלילה אז הניפוח הוא מודיפיקציה.
פונקטוריאליות: הניפוח הוא פונקטוריאלי בזוג $(X,I)$ במובן הבא: בהינתן העתקה של יריעות אלגבריות $\phi :X\to Y$ ואלומת אידיאלים $I\subset O_{Y}$ אז קיימת ויחידה העתקה $\psi :Bl_{\phi ^{*}(I)}(X)\to Bl_{I}(Y)$ כך שהדיאגרמה

{\begin{array}{ccc}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,Bl_{\phi ^{*}(I)}(X)&{\stackrel {\psi }{\longrightarrow }}&Bl_{I}(Y)\\p_{(X,\phi ^{*}(I))}\downarrow &&\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\downarrow p_{(Y,I)}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,X&{\stackrel {\phi }{\longrightarrow }}&Y\,\,\,\,\end{array}}

קמוטטיבית.

חלקות: אם $X$ ו - $Z$ חלקות אז כך גם $Bl_{Z}(X)$ .
המחלק המיוחד: אם $X$ ו - $Z$ חלקות אז המחלק המיוחד $p_{X,Z}^{-1}(Z)$ איזומורפי לפרויקטיויזציה של האגד הנורמלי ל- $Z$ ב- $X$ .
ניפוח לאורך מחלק קרטייה: אם $Z$ הוא מחלק קרטייה ב- $X$ אז הניפוח $p_{(X,Z)}:Bl_{Z}(X)\to X$ הוא איזומורפיזם.

ניפוח לאורך מרכז חלק או חיתוך מלא[עריכת קוד מקור | עריכה]

הגדרת הניפוח במקרה הכללי היא מעט אבסטרקטית ולא תמיד מפורשת. אולם במקרים פרטיים ניתן להגדיר את הניפוח בקלות יחסית ובאופן מפורש בדומה למקרה של ניפוח של מרחב אפיני לאורך נקודה.

ניפוח של מרחב אפיני לאורך תת מרחב[עריכת קוד מקור | עריכה]

בהינתן מרחב אפיני $X$ ותת-מרחב אפיני $Z$ ניתן לבחור משלים אפיני $L\subset X$ ל - $Z$ ולהציג את $X$ בתור המכפלה $Z\times L$ . זה מאפשר להגדיר את $Bl_{Z}(X)$ בתור $Z\times BL_{x}(L)$ כאשר $x$ היא נקודת החיתוך בין $Z$ ל- $L$ .

ניתן לתאר בנייה זאת עם פחות בחירות. נסמן $M:=X/Z$ וב - $y\in M$ את הנקודה המתאימה ל - $Z$ . נקבל העתקה $\pi :X\to M$ כך ש - $Z=\pi ^{-1}(y)$ . נגדיר את $Bl_{X}(Z)$ להיות מכפלת הסיבים $X\times _{M}Bl_{y}(M)$ .

ניפוח של יריעה חלקה לאורך מרכז מחתוך מלא[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם $X$ יריעה חלקה ו $Z\subset X$ תת-יריעת חיתוך מלא בתוכה (זאת אומרת תת יריעה שמוגדרת על-ידי מספר משוואות השווה להפרש הממדים $\dim(X)-\dim(Z)$ ), אז אפשר להגדיר את הניפוח של $X$ לאורך $Z\subset X$ באופן הבא: תהיה $\phi :X\to \mathbb {A} ^{k}$ העתקה המורכבת מהמשוואות המגדירות את $Z$ . זאת אומרת ש- $\phi$ מקיימת $Z=\phi ^{-1}(0)$ . נגדיר את הניפוח $Bl_{X}(Z)$ להיות מכפלת הסיבים $X\times _{\mathbb {A} ^{k}}Bl_{0}(\mathbb {A} ^{k})$ .

ניתן להראות שבנייה זאת לא תלויה בבחירת $\phi :X\to \mathbb {A} ^{k}$ . דרך אחת להראות זאת היא להראות שהבנייה מקיימת את התכונות האוניברסליות שתוארו מעלה (ראו להלן). ניתן להראות זאת גם באופן ישיר, לשם כך יש לבנות איזומורפיזם בין הבנייות לכל 2 בחירות של $\phi$ ולהוכיח שעבור 3 בחירות כאלה האיזומורפיזמים שניבנו קומפטביליים.

ניפוח של יריעה חלקה לאורך מרכז מחתוך מלא מקומית[עריכת קוד מקור | עריכה]

בהינתן יריעה חלקה $X$ , תת-יריעה $Z\subset X$ נקראת מחיתוך מלא מקומית אם ניתן לכסות את $X$ על ידי קבוצות פתוחות $X_{i}$ כך ש: $X_{i}\cap Z\subset X_{i}$ היא תת-יריעת חיתוך מלא (או ריקה). מכיוון שהבנייה למעלה לא תלויה בחירות^{[דרושה הבהרה]}, ניתן להרחיב אותה לבנייה של ניפוח של יריעה חלקה $X$ לאורך מרכז $Z\subset X$ מחתוך מלא מקומית.

נשים לב שכל תת יריעה חלקה של יריעה חלקה היא תת-יריעת חיתוך מלא מקומית, לכן ההגדרה כאן מאפשרת לנפח יריעה חלקה לאורך תת-יריעה חלקה.

ניפוח של יריעה אפינית לאורך מרכז חלק[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם $X\subset \mathbb {A} ^{n}$ יריעה אפינית ו $Z\subset X$ יריעה חלקה ניתן להגדיר את הניפוח של $X$ לאורך $Z$ בתור הטרנספורם ההדוק של $X\subset \mathbb {A} ^{n}$ תחת ההעתקה

p_{(\mathbb {A} ^{n},Z)}:BL_{Z}(\mathbb {A} ^{n})\to \mathbb {A} ^{n}

במילים אחרות

Bl_{Z}(X):={\overline {p_{\mathbb {A} ^{n},Z}^{-1}(X\smallsetminus Z)}}

גם כאן ניתן להוכיח שהבנייה לא תלויה בבחירת השיכון

X\subset \mathbb {A} ^{n}

, בין אם באופן ישיר ובין אם על ידי בדיקת התכונות האוניברסליות.

ניפוח של יריעה כללית לאורך מרכז חלק[עריכת קוד מקור | עריכה]

מכיוון שניתן לכסות כל יריעה ע"י יריעות אפיניות, ניתן להגדיר ניפוח של יריעה כללית לאורך מרכז חלק באמצעות הגדרת הניפוח של יריעה אפינית לאורך מרכז חלק, באופן דומה למקרה המתואר מעלה.

הכלליות של ניפוח של יריעה כללית לאורך מרכז חלק היא כלליות רחבה למדי. אחד השימושים החשובים בניפוח - התרת סינגולריות - משתמש רק בכלליות זאת. לכן במקרים רבים מסתפקים בהגדרת הניפוח רק עבור מקרה זה, מכיוון שההגדרה במקרה זה היא אלמנטרית ומפורשת יותר.

ניפוח של יריעות אפיניות[עריכת קוד מקור | עריכה]

בנייה על־ידי הספקטרום הפרויקטיבי[עריכת קוד מקור | עריכה]

בנייה על־ידי מנה בפעולה של החבורה הכפלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

הוכחת התקימות התכונה האוניברסלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניפוח במקרה הכללי[עריכת קוד מקור | עריכה]

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

התרת סינגולריות[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניפוח ממושקל[עריכת קוד מקור | עריכה]

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

Kempf. Algebraic Varieties.
Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1978). Principles of Algebraic Geometry. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-32792-1.
Hartshorne, Robin (1977). Algebraic Geometry. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90244-9.

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

^ מתורגם לעיתים באופן שגוי/התולי כ"פיצוץ"
^ במקרה התלת ממדי מקובל לבחור על הסיפרה זוג קואורדינטות זויתיות, ולשלושת הקואורדינטות המתקבלות לקרוא קואורדינטות ספיריות

[1] מתורגם לעיתים באופן שגוי/התולי כ"פיצוץ"

[2] במקרה התלת ממדי מקובל לבחור על הסיפרה זוג קואורדינטות זויתיות, ולשלושת הקואורדינטות המתקבלות לקרוא קואורדינטות ספיריות

[1]

[2]