משוואת ריילי-פלסט

במכניקת הזורמים, משוואת ריילי-פלסט (לחלופין, משוואת בסנט-ריילי-פלסט) היא משוואה דיפרנציאלית רגילה לא לינארית, המתארת את הדינמיקה של בועה כדורית המצויה בזורם אי-דחיס:

$R{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}+{\frac {3}{2}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}+{\frac {4\nu _{L}}{R}}{\frac {dR}{dt}}+{\frac {2\sigma }{\rho _{L}R}}+{\frac {\Delta P(t)}{\rho _{L}}}=0$

כאשר:

$\rho _{L}$ היא צפיפות הנוזל,

$R(t)$ הוא רדיוס הבועה,

$\nu _{L}$ היא הצמיגות הנוזל,

$\sigma$ הוא מתח הפנים בממשק של הבועה והנוזל,

$\Delta P(t)=P_{\infty }(t)-P_{B}(t)$ הפרש הלחצים, כאשר $P_{B}(t)$ הוא הלחץ בתוך הבועה ו-$P_{\infty }(t)$ הוא הלחץ החיצוני "רחוק" מהבועה.

בהנחה ש-$P_{B}(t)$ ידוע ו- $P_{\infty }(t)$ נתון, משוואת ריילי-פלסט יכולה לשמש כדי למצוא את רדיוס הבועה המשתנה בזמן $R(t)$.

היסטוריה

בהזנחת מתח הפנים והצמיגות, המשוואה נגזרה לראשונה על ידי ויליאם הנרי בסנט בספרו על הידרודינמיקה

משוואת ריילי-פלסט מיושמת לעיתים קרובות למידול הקביטציה שנוצרת מאחורי מדחפי אוניות.

מ-1859 במסגרת פתרון בעיה שמנוסחת כדלהלן: "מסה אינסופית של זורם אי-דחיס והומוגני שלא פועלים עליו שום כוחות נמצא במנוחה, כשלפתע נפער חלל כדורי בתחום הזורם; נדרש למצוא את השינוי בלחץ בכל נקודה של המסה, ואת הזמן שייקח לחלל להתמלא לגמרי בזורם, בהינתן שהלחץ במרחק אינסופי נשאר קבוע". תוך שהוא מזניח את השינויים בלחץ בתוך הבועה, בסנט חזה שהזמן שייקח למלא את החלל הוא

${\begin{aligned}t&=a\left({\frac {6\rho }{p_{\infty }}}\right)^{1/2}\int _{0}^{1}{\frac {z^{4}\,dz}{\sqrt {1-z^{6}}}}\\&=a\left({\frac {\pi \rho }{6p_{\infty }}}\right)^{1/2}{\frac {\Gamma (5/6)}{\Gamma (4/3)}}\\&\approx 0.91468a\left({\frac {\rho }{p_{\infty }}}\right)^{1/2}\end{aligned}}$

כאשר חישוב האינטגרציה נעשה על ידי לורד ריילי ב-1917, שגזר את המשוואה ממאזן אנרגיה. ריילי זיהה גם שההנחה של לחץ קבוע בתוך החלל תהפוך לשגויה כאשר הרדיוס יקטן והראה, באמצעות חוק בויל, שאם רדיוס החלל קטן בפקטור של $4^{1/3}$, אז הלחץ בסמוך לשפת החלל הופך גדול יותר מהלחץ באינסוף. המשוואה יושמה לראשונה לבועות קביטציה נעות על ידי מילטון ספינוזה פלסט ב-1949 באמצעות הכללת אפקט של מתח פנים במשוואה.

פיתוח לפי שימור מסה ואנרגיה

לורד ריילי פיתח גרסה ראשונית של המשוואה על סמך שיקולים של שימור אנרגיה ומסה. נחזור שוב לבעיה כפי שתיאר אותה בסט: תהי בועה כדורית בעלת רדיוס משתנה בזמן $R(t)$ המצויה בתוך נוזל בעל צפיפות קבועה $\rho _{L}$. יהי $P_{\infty }$ הלחץ רחוק מהבועה.

שימור מסה

אי דחיסות הנוזל גוררת שללא מעבר מסה בין הנוזל לבועה, שינוי בנפח של הבועה חייב להענות בשינוי זהה של נפח הנוזל. תחת סימטריה כדורית ניתן להסיק: $R^{2}dR=r^{2}dr$ ומכאן ניתן להסיק כי $u(r,t)={\Bigl (}{\frac {R}{r}}{\Bigr )}^{2}{\dot {R}}={\frac {R^{2}{\dot {R}}}{r^{2}}}$

שימור אנרגיה

משפט עבודה-אנרגיה קובע כי:

$W=\Delta E_{kin}$

סך האנרגיה הקינטית של הזורם:$E_{kin}={\frac {1}{2}}\int _{R}^{\infty }4\pi \rho _{L}r^{2}u^{2}(r,t)dr=\int _{R}^{\infty }2\pi \rho _{L}R^{4}{\Bigl (}{\frac {\frac {dR}{dt}}{r}}{\Bigr )}^{2}dr=2\pi \rho _{L}{\Bigl (}{\frac {dR}{dt}}{\Bigr )}^{2}R^{3}$

העבודה שנוצרת ע"י לחץ חיצוני $P_{\infty }(t)$ היא:

$W={\frac {4\pi }{3}}(R_{0}^{3}-R^{3})P_{\infty }(t)$

השוואת שני הגורמים נותרת

${\frac {2}{3}}(R_{0}^{3}-R^{3})P_{\infty }(t)=\rho _{L}{\Bigl (}{\frac {dR}{dt}}{\Bigr )}^{2}R^{3}$

מגזירה בזמן נקבל:

$R{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}+{\frac {3}{2}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}+{\frac {P_{\infty }(t)}{\rho _{L}}}=0$

פתרונות

פתרונות אנליטיים סגורים למשוואת ריילי-פלסט נמצאו הן עבור בועה ריקה ובועה מלאה בגז, והוכללו ל-N ממדים. המקרים שבהם מתח הפנים

אינטגרציה נומרית של משוואת ריילי-פלסט כולל איברי מתח הפנים והצמיגות במקרה של בועה הנתונה ללחץ חיצוני המשתנה באופן סינוסואידלי (למשל, כתוצאה מסיבוב הלהבים של מדחף אוניה). בעוד שהיא בתחילה במנוחה בלחץ אטמוספירי וברדיוס 50 מיקרומטר, עקב התנודות בלחץ הבועה גדלה והתדירות הטבעית שלה עוברת התרחבות, עד שלבסוף היא קורסת.

חשוב נחקרו לעומק גם כן.

בנוסף, בעבור המקרה המיוחד שבו ניתן להזניח את מתח הפנים והצמיגות, קירובים אנליטיים מסדר גבוה ידועים.

במקרה הסטטי, משוואת ריילי-פלסט מצטמצמת למשוואת יאנג-לפלס:

$P_{B}-P_{\infty }={\frac {2\sigma }{R}}$

בקירוב לינארי של תנודות קטנות ניתן לקבל ביטוי לתדירות העצמית של הבועה:

$\omega _{0}^{2}={\frac {1}{\rho R_{0}^{2}}}{\Bigl (}3\kappa {\bigl (}P_{0}-P_{V}{\bigr )}-2(3\kappa -1){\frac {\sigma }{R_{0}}}{\Bigr )}$

כאשר $R_{0}$ רדיוס המנוחה של הבועה, $P_{0}$ הלחץ ההידרוסטטי, $P_{V}$ לחץ האדים, $\rho$ צפיפות הנוזל, $\sigma$ מקדם מתח הפנים ו-$\kappa$ הוא הקבוע הפוליטרופי.