דעיכה מעריכית – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
משהו זמני |
מישהו יודע איך לקשר את זה ל"דעיכה מעריכית" ולאנגלית? ורפרנס לגרסה האנגלית כמקור? |
||
שורה 1: | שורה 1: | ||
[[Image:Plot-exponential-decay.svg|thumb|400px| |
|||
'''דעיכה מעריכית''' מתארת תהליך בו קצב השינוי של ערך עומד ביחס ישר לערכו בכל רגע. עבור ערך <math>A</math> המשתנה בזמן, כאשר מקדם היחס הוא <math>\lambda</math> חיובי כלשהו, ניתן לרשום זאת כ |
|||
ערך דועך מעריכית. קבועי דעיכה גדולים גורמים לערך לרדת משמעותית מהר יותר. אנו רואים כאן גרפים עם קבועי דעיכה של 25, 5, 1, 1/5 ו1/25.]] |
|||
קצב השינוי של ערך ה'''דועך מעריכית''' עומד ביחס ישר לערכו בכל רגע, |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
פתרון המשוואה ע"י [[הפרדת משתנים]] נותן |
|||
עבור הערך <math>A(t)</math> תלוי הזמן עם קבוע יחס חיובי <math>\lambda</math>. פתרון משוואה זו על ידי [[הפרדת משתנים]] נותן |
|||
⚫ | |||
:<math>A(t) = A(0) e^{-\lambda t}</math>. |
|||
==== דעיכת אוכלוסייה ==== |
|||
כאשר מדובר בקבוצת חלקיקים הדועכים מעריכית, לדוגמא מרמה אנרגטית גבוהה לרמת בסיס, אם נתבונן בחלקיק בודד (מדובר למעשה ב[[התפלגות פואסונית]]), צפיפות ההסתברות של אי דעיכה נתונה על ידי |
|||
⚫ | |||
===== זמן אופייני ===== |
===== זמן אופייני ===== |
||
זמן השהייה הממוצע של חלקיק ברמה עד לדעיכה אם כך נתון על ידי |
|||
כאשר מדובר בדעיכה בזמן, נהוג להגדיר זמן אופייני כ <math>\tau = 1/\lambda</math>. במונחים של זמן זה ניתן לתאר את הכמות על ידי |
|||
:<math> \langle t \rangle = \int_0^\infty t \cdot P(t)dt = \int_0^\infty t \cdot \lambda e^{-\lambda t}dt = \frac{1}{\lambda} \equiv \tau</math>, |
|||
כאן נעשה שימוש ב[[אינטגרציה בחלקים]], זמן ממומצע זה נקרא זמן אופייני ומסומן ב<math>\tau</math>. על בסיסו ניתן לכתוב את הפתרון למשוואת הדעיכה כך |
|||
:<math>A(t) = A(0) e^{-\frac{t}{\tau}}</math> |
:<math>A(t) = A(0) e^{-\frac{t}{\tau}}</math>. |
||
לאחר הזמן האופייני |
לאחר הזמן האופייני הערך יורד ל<math>e^{-1}</math> מערכו ההתחלתי. |
||
===== זמן מחצית חיים ===== |
===== [[זמן מחצית חיים]] ===== |
||
לאחר זמן זה, יורד הערך למחצית מערכו ההתחלתי. מתוך פתרון משוואת הדעיכה מתקבל כי |
|||
הזמן הנדרש לירידה למחצית מהערך המקורי ניתן על ידי |
|||
<math>t_{0.5} = \frac{ln 2}{\lambda} = \tau\ln 2</math>. |
גרסה מ־00:50, 26 בדצמבר 2012
קצב השינוי של ערך הדועך מעריכית עומד ביחס ישר לערכו בכל רגע,
עבור הערך תלוי הזמן עם קבוע יחס חיובי . פתרון משוואה זו על ידי הפרדת משתנים נותן
- .
דעיכת אוכלוסייה
כאשר מדובר בקבוצת חלקיקים הדועכים מעריכית, לדוגמא מרמה אנרגטית גבוהה לרמת בסיס, אם נתבונן בחלקיק בודד (מדובר למעשה בהתפלגות פואסונית), צפיפות ההסתברות של אי דעיכה נתונה על ידי
זמן אופייני
זמן השהייה הממוצע של חלקיק ברמה עד לדעיכה אם כך נתון על ידי
- ,
כאן נעשה שימוש באינטגרציה בחלקים, זמן ממומצע זה נקרא זמן אופייני ומסומן ב. על בסיסו ניתן לכתוב את הפתרון למשוואת הדעיכה כך
- .
לאחר הזמן האופייני הערך יורד ל מערכו ההתחלתי.
זמן מחצית חיים
לאחר זמן זה, יורד הערך למחצית מערכו ההתחלתי. מתוך פתרון משוואת הדעיכה מתקבל כי
.