הפרדת משתנים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

הפרדת משתנים היא שיטה לפתרון משוואות דיפרנציאליות. בשיטה זו מבודדים באגף אחד את כל האיברים התלויים במשתנה וכך מקבלים משוואה קלה יותר לפתרון. לא כל משוואה דיפרנציאלית ניתן לפתור בעזרת הפרדת משתנים, אך משוואות פיזיקליות חשובות רבות (לדוגמה משוואת שרדינגר, משוואת הגלים, משוואת החום, משוואת הדיפוזיה ועוד), ניתנות לפתרון בדרך זו.

הפרדת משתנים במשוואה דיפרנציאלית רגילה[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם נתונה משוואה דיפרנציאלית רגילה בצורה

\frac{df(x)}{dx} = g(x) h(f(x))

אפשר לבצע הפרדת משתנים. נסמן y = f(x) ואז

\frac{dy}{dx} = g(x) h(y).

אם h(y) \ne 0 אפשר לחלק בו את שני האגפים ולקבל

\frac{1}{h(y)}\frac{dy}{dx} = g(x).

כעת נבצע לשני האגפים אינטגרציה לפי x ונקבל

\int \frac{1}{h(y)}\frac{dy}{dx} dx = \int g(x) dx

ובאמצעות חילוף משתנים, אגף שמאל נהפך ל-

\int \frac{1}{h(y)}\frac{dy}{dx} dx = \int \frac{1}{h(y)} dy.

באמצעות אינטגרציה על שני האגפים מקבלים:

\int \frac{1}{h(y)}dy + C_2 = \int g(x) dx + C_1.

הערה: אפשר להסתפק בקבוע אינטגרציה אחד, שכן C = C_1 - C_2.

הפרדת משתנים במשוואה דיפרנציאלית חלקית[עריכת קוד מקור | עריכה]

בהינתן משוואה דיפרנציאלית חלקית עבור הפונקציה \psi(\vec{x}, \vec{y}), ניתן "לנחש פתרון" שבו הפונקציה \psi ניתנת להצגה כמכפלה של שתי פונקציות \psi(\vec{x}, \vec{y})=f(\vec{x})\cdot g(\vec{y}). כעת, ניתן לקחת את כל הנגזרות ולעבור ל\frac{\partial \psi}{\partial x_i}=g\cdot \frac{\partial f}{\partial x_i} וכך בדומה לנגזרות לפי y_i. כעת, השאיפה שלנו היא להפעיל על המשוואה מניפולציות אלגבריות, עד שהיא מגיעה לצורה כזו: {\displaystyle h_x(f, \frac{\partial f}{\partial x_i}, \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j},\frac{\partial^3 f}{\partial x_i \partial x_j \partial x_k},\dots)=h_y(g, \frac{\partial g}{\partial y_i}, \frac{\partial^2 g}{\partial y_i \partial y_j},\frac{\partial^3 g}{\partial y_i \partial y_j \partial y_k},\dots)}. מדוע זה טוב לנו? מפני שהפונקציה באגף שמאל תלויה אך ורק בx, והפונקציה באגף ימין תלויה אך ורק בy. אם כך, אנחנו מקבלים שאגף שמאל לא יכול להיות תלוי בx - הרי שינוי של x בלבד ישפיע על אגף שמאל ולא על אגף ימין, אבל אז לא ייתכן שהם יישארו שווים. לכן שני האגפים שווים שניהם לקבוע שמכונה "קבוע ההפרדה". כעת, הפרדת המשתנים העבירה אותנו ממשוואה אחת ב"הרבה" נעלמים, לשתי משוואות עם פחות נעלמים בכל אחת. אם נמשיך לבצע הפרדות משתנים נגיע לבסוף למד"ר. עם זאת, נשים לב שהפרדת משתנים פוגעת במעט תמיד בכלליות הפתרונות - למשל, במשוואת שרדינגר, כל פונקציית גל חוקית מקיימת את המשוואה אבל הפרדת משתנים מצמצמת אותנו לפונקציות העצמיות של ההמילטוניאן כפול פונקציה זמנית. עם זאת, לעתים (כמו במשוואת שרדינגר) כל פתרון למשוואה ניתן להצגה כסכום של פתרונות המתקבלים מהפרדת המשתנים. במקרה זה לא הפסדנו הרבה.

דוגמאות לשימוש בהפרדת משתנים[עריכת קוד מקור | עריכה]

במשוואה דיפרציאלית רגילה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נתבונן במשוואה הבאה

\frac{dy}{dx}=y(1-y).

ניתן להעביר אגפים ולכתוב אותה כך:

\frac{dy}{y(1-y)}=dx.

כאן ביצענו הפרדת משתנים - אגף ימין תלוי במשתנה x ואילו אגף שמאל תלוי במשתנה y. השוויון ישמר אם נבצע אינטגרציה של אגף ימין לפי x ושל אגף שמאל לפי y.

\int\frac{dy}{y(1-y)}=\int dx

חישוב האינטגרל נותן

 \ \ln |y| -\ln |1-y|=x+C

כאשר C קבוע אינטגרציה. מכאן ניתן לחלץ את y ולקבל כי פתרון המשוואה הוא:

y=\frac{1}{1+Be^{-x}}..

במשוואה דיפרנציאלית חלקית[עריכת קוד מקור | עריכה]

נתבונן במשוואת הגלים

\ \frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi(x,t) = \frac{1}{v^2} \frac{\partial ^2}{\partial t^2} \psi(x,t)

נחפש פתרון מן הצורה \ \psi(x,t) = \phi (x) \chi (t) נציב זאת למשוואה ונקבל:

 \phi''(x)\chi(t) = \frac{1}{v^2} \phi(x) \chi''(t)

נחלק ב \ \psi(x,t) = \phi (x) \chi (t) ונקבל

 \frac{\phi''(x)}{\phi(x)} = \frac{1}{v^2} \frac{\chi''(t)}{\chi(t)}

במשוואה שקיבלנו, אגף ימין תלוי במשתנה t בלבד, ואילו אגף שמאל תלוי במשתנה x בלבד (כאן הגענו להפרדת משתנים). כיוון שהשוויון צריך להתקיים לכל x ו-t כל אגף חייב להיות שווה לקבוע שנסמנו ב-\, \lambda . קיבלנו במקום המשוואה הדיפרנציאלית החלקית ממנה התחלנו, שתי משוואות דיפרנציאליות רגילות:

 \frac{\phi''(x)}{\phi(x)} = \lambda
 \frac{1}{v^2} \frac{\chi''(t)}{\chi(t)} = \lambda

שאותן קל יותר לפתור (בדוגמה זו מדובר במשוואות אוסצילטור הרמוני שפתרונן ידוע).

דוגמה נוספת לשימוש: משוואת שרדינגר[עריכת קוד מקור | עריכה]

משוואת שרדינגר היא המשוואה היסודית במכניקת הקוונטים הלא-יחסותית. הנה פתרונה, באמצעות הפרדת משתנים: מנחשים פתרון מהצורה

\psi (t,\vec{r})=T(t)\cdot\Psi(r)

מציבים את הביטוי במשוואה התלויה בזמן ומקבלים

i \hbar \Psi\cdot\frac{\partial T}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}T\cdot\nabla^2\Psi+V(\vec{r})T\Psi

מחלקים ב\psi=T(t)\cdot\Psi(\vec{r}) ומקבלים

i\hbar\frac{1}{T(t)}\cdot\frac{\partial T}{\partial t}=\frac{1}{\Psi(\vec{r})}\cdot\frac{\hbar^2}{2m}\cdot\nabla^2\Psi+V(\vec(r))

אגף שמאל תלוי רק בזמן, ואגף ימין רק במרחב, והם שווים תמיד לכן קבועים. נקרע לקבוע ההפרדה E(שכן הוא מה שאנחנו תופסים כאנרגיה). המשוואה עבור הזמן תהיה(לאחר העברת אגפים)

\frac{\partial T}{\partial t}=-i\frac{E}{\hbar} T(t)
שפתרונה הוא האקספוננט המדומה T(t)=e^{-i\frac{E}{\hbar}t}. נשים לב רק שE הוא קבוע עבור פתרון ספציפי, אבל ישנה סדרה של פתרונות ולכן נהוג לסמן אותו כE_{n}.

כעת נותרנו עם הפונקציה  \psi (t,\vec{r}) = e^{-iEt/{\hbar}} \Psi (\vec{r}), ועבור \Psi מקבלים את משוואת שרדינגר הבלתי תלויה בזמן:

 E \Psi (\vec{r}) = \frac{- \hbar ^2}{2m} \nabla ^2 \Psi (\vec{r}) + V(\vec{r}) \Psi (\vec{r})

זוהי משוואת ערכים עצמיים שאפשר לפתור באמצעות תורת שטורם ליוביל. למעשה אנחנו מחפשים פונקציות \Psi_n כך ש

 \ H \Psi_n = E_n \Psi_n ,

כלומר: פעולת אופרטור ההמילטוניאן עליהן פשוט מחזירה את הפונקציה כפול האנרגיה שלה. אנרגיות אלה (שהן הערכים העצמיים של המד"ר) נקראות "האנרגיות העצמיות" ואילו הפונקציות המתאימות להן נקראות "המצבים העצמיים". נעיר שאת המצבים העצמיים נהוג לנרמל, כלומר - לכפול במקדם סקלרי כך ש  \lang \Psi_n | \Psi_n \rang = 1 . דרישת הנרמול נובעת מהפירוש ההסתברותי של מכניקת הקוונטים.

מאחר שזו משוואה לינארית, את הפתרון הכללי אפשר להציג כסופרפוזיציה של המצבים העצמיים, כלומר:

 \psi (t,\vec{r}) = \sum_{n}{ A_n \Psi_n (\vec{r}) e^{-\frac{i}{\hbar}E_n t}}

במקרה של משוואת שרדינגר, ניתן להשתמש בדרישה שעל ההמילטוניאן להיות הרמיטי, ולכן להסיק כי אכן, צירופים לינאריים כאלו מכסים את כל הפתרונות. נשים לב שההפרדה פה לא קידמה אותנו "עד הסוף" שכן נותרנו עדיין עם משוואה בשלושה ממדים - אך פעמים רבות ניתן להפריד בה משתנים שוב.