מכפלת ואליס

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

במתמטיקה, מכפלת ואליס לחישוב פאי, הנקראת על שם ג'ון ואליס שגילה אותה בשנת 1655, היא הנוסחה הבאה:

בשנת 2015 הפיזיקאי קארל ריצ'רד האיגן (Carl Richard Hagen ) הוכיח כי יש קשר בין מכפלת ואליס לחישוב מודל בוהר של אטום חמצן.

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

הוכחה על בסיס מכפלת אוילר לפונקציית סינוס[עריכת קוד מקור | עריכה]

נציב x =π/2:

הוכחה על בסיס אינטגרציה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נגדיר:

נבצע אינטגרציה בחלקים:

נשתמש במשוואה פונקציונלית הזו בדרך הבאה:

נחזור על התהליך ונראה כי:

נחזור על התהליך ונראה כי:

, (מהתוצאות הנ"ל)

ניתן לראות על פי כלל הסנדוויץ' כי:

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]