מספר כמעט ראשוני

בתורת המספרים, מספר טבעי ייקרא מספר כמעט ראשוני (באנגלית: Almost prime) אם יש קבוע K גדול מ-1 כך שלמספר יש לכל היותר K גורמים ראשוניים. מספר כמעט ראשוני n יסומן P_r אם ורק אם מספר הגורמים הראשוניים של n, כאשר הם נספרים בהתאם לריבוי שלהם, הוא לכל היותר r. מספר טבעי ייקרא מספר k - כמעט ראשוני אם יש לו בדיוק k גורמים ראשוניים, כאשר הם נספרים בהתאם לריבוי שלהם. באופן יותר פורמלי, מספר טבעי n הוא מספר k - כמעט ראשוני אם ורק אם Ω(n) = k כאשר (Ω(n הוא המספר הכולל של גורמים בפירוק לגורמים ראשוניים:

$\Omega (n):=\sum a_{i}\qquad {\mbox{if}}\qquad n=\prod p_{i}^{a_{i}}.$

על כן מספר טבעי הוא מספר ראשוני אם ורק אם הוא מספר 1-כמעט ראשוני, וחצי-ראשוני אם ורק אם הוא מספר 2-כמעט ראשוני. אוסף כל המספרים ה-k-כמעט ראשוניים מסומן בדרך כלל P_k. המספר ה-k כמעט ראשוני הקטן ביותר הוא 2^k. המספרים ה-k כמעט ראשוניים הראשונים הם:

k	k-כמעט ראשוני	סדרת OEIS
1	2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, …	A000040
2	4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 22, …	A001358
3	8, 12, 18, 20, 27, 28, 30, …	A014612
4	16, 24, 36, 40, 54, 56, 60, …	A014613
5	32, 48, 72, 80, 108, 112, …	A014614
6	64, 96, 144, 160, 216, 224, …	A046306
7	128, 192, 288, 320, 432, 448, …	A046308
8	256, 384, 576, 640, 864, 896, …	A046310
9	512, 768, 1152, 1280, 1728, …	A046312
10	1024, 1536, 2304, 2560, …	A046314
11	2048, 3072, 4608, 5120, …	A069272
12	4096, 6144, 9216, 10240, …	A069273
13	8192, 12288, 18432, 20480, …	A069274
14	16384, 24576, 36864, 40960, …	A069275
15	32768, 49152, 73728, 81920, …	A069276
16	65536, 98304, 147456, …	A069277
17	131072, 196608, 294912, …	A069278
18	262144, 393216, 589824, …	A069279
19	524288, 786432, 1179648, …	A069280
20	1048576, 1572864, 2359296, …	A069281

המספר (π_k(n של מספרים טבעיים הקטנים או שווים ל-n שלהם לכל היותר k מחלקים ראשוניים (לא בהכרח זרים) הוא אסימפטוטי ל-:

$\pi _{k}(n)\sim \left({\frac {n}{\log n}}\right){\frac {(\log \log n)^{k-1}}{(k-1)!}},$

תוצאה ששוערה לראשונה על ידי גאוס ב-1797 והוכחה לראשונה על ידי אדמונד לנדאו ב-1901.

קישורים חיצוניים

• מספר כמעט ראשוני, באתר MathWorld (באנגלית)