קרל פרידריך גאוס

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Disambig RTL.svg המונח "גאוס" מפנה לכאן. לערך העוסק ביחידת מידה לעוצמת שדה מגנטי, ראו גאוס (יחידת מידה).
קרל פרידריך גאוס
Carl Friedrich Gauss
1777 –‏ 1855
Carl Friedrich Gauss.jpg
נתונים נוספים
ענף מדעי אסטרונומיה, מתמטיקה, פיזיקה
נולד 30 באפריל 1777
נפטר 23 בפברואר 1855 (בגיל 77)
ארצות מגורים גרמניה
פרסים והנצחה

קיבל מדליית קופלי. הנצחה: גאוס, פרס גאוס ועוד רבים

הערות

תלמידים מפורסמים: פרידריך בסל, ריכרד דדקינד, ברנרד רימן

יוהאן קרל פרידריך גאוס (גרמנית: Carl Friedrich Gauß, , 30 באפריל 1777 - 23 בפברואר 1855) היה מתמטיקאי, פיזיקאי ואסטרונום גרמני, מגדולי המתמטיקאים של כל הזמנים. גאוס תרם רבות בתחומי האלגברה, תורת המספרים, אנליזה מתמטית, סטטיסטיקה, גאומטריה דיפרנציאלית, גאודזיה, תורת הכבידה, תורת החשמל והמגנטיות, אסטרונומיה, אופטיקה ועוד. המגנום אופוס שלו, "מחקרים אריתמטיים" (Disquisitiones Arithmeticae), נחשב ליצירה המכוננת של תורת המספרים המודרנית, ונודעה לה השפעה כבירה על התפתחות הדיסציפלינות המתמטיות הטהורות בשתי המאות שחלפו מאז פרסומה.

כשהוא מכונה לעתים קרובות בספרות המתמטית בכינוי "נסיך המתמטיקאים", או "גדול המתמטיקאים מאז ימי קדם", לגאוס הייתה השפעה יוצאת דופן בתחומים רבים של מתמטיקה ומדע, והוא זכור כאחד המתמטיקאים החשובים והמשפיעים ביותר בהיסטוריה.

ביוגרפיה[עריכת קוד מקור | עריכה]

שנים ראשונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

פסל של גאוס בעיר הולדתו, בראונשווייג

גאוס נולד בבראונשווייג שבסקסוניה התחתונה כבן יחיד למשפחת פועלים ענייה. אמו מעולם לא תיעדה את תאריך הלידה שלו, אולם זכרה שהוא נולד ביום רביעי, שמונה ימים לפני חג העלייה, שהוא עצמו מתרחש 39 ימים לפני חג הפסחא. גאוס פתר מאוחר יותר את חידת תאריך לידתו בקונטקסט של מציאת תאריך חג הפסחא, ופיתח שיטות לחשב את מועדי החג בעבר ובעתיד.

גאוס היה ילד פלא. גאוס עצמו סיפר כי עמד על סוד הפעולות האריתמטיות עוד בטרם ידע לדבר. קיימים סיפורים רבים על גאונותו כילד, רובם נחשבים לאגדות. אחד מהם, המובא בספרו של אריק טמפל בל, Men of Mathematics, מספר כי עוד בטרם מלאו לו 3 שנים, נתגלה להוריו כשרונו המתמטי הייחודי: אביו עסק בהכנת גיליון השכר השבועי של הפועלים שבהשגחתו וביצע במשך דקות ארוכות את החישובים המסובכים. כאשר סיים את החישוב, אמר לו בנו שנפלה טעות בחישוב, ונקב בתוצאה שחישב בראשו. סיפור מפורסם מבית הספר היסודי מספר כי מורהו של גאוס ביקש להעסיק את תלמידי הכיתה בתרגיל שלפתרונו הייתה דרושה שעה ארוכה. התרגיל היה לחבר את המספרים מ-1 עד 100, והנה לא עברו כמה שניות וגאוס, באותה עת בן 7 בלבד, הניח את לוח-היד שהיה נהוג באותם ימים, קרא "!Lieget se" ("הנה זה מונח", בניב המקומי) ונקב בתוצאה: 5,050. בדיעבד התברר כי הוא גילה את הטור החשבוני בלי להיות מודע לכך: הוא הבחין שסכום האיבר הראשון והאחרון זהה לסכום האיבר השני והלפני האחרון וכן הלאה (1 + 100, 2 + 99, ..., 50 + 51). כלומר כדי למצוא את הפתרון לתרגיל יש להכפיל 101 במספר הזוגות (שהוא מחצית מספר האיברים), וכך מתקבל הפתרון (5,050=101X50).

אביו של גאוס, שהיה חסר השכלה ואב קשוח, רצה כי בנו ימשיך בדרכו ויהיה לבנאי, ולכן התנגד להמשך לימודיו של בנו. אך אמו הכירה בגאונותו של בנה ותמכה בהמשך לימודיו. מורהו, ביטנר, הכיר אף הוא בגאונותו של גאוס והסב אל גאוס את תשומת לבו של הדוכס מבראונשווייג, קרל וילהלם פרדיננד. הדוכס אכן נתן את תמיכתו וחסותו בהמשך לימודיו התיכוניים והאוניברסיטאיים של גאוס.

תחילת דרכו[עריכת קוד מקור | עריכה]

גאוס קיבל מלגה מהדוכס ובשנים 1792 עד 1795 למד ב-Collegium Carolinum (כיום האוניברסיטה הטכנית בבראונשווייג (Technische Universität Braunschweig)). משם המשיך ללימודים גבוהים באוניברסיטת גטינגן שם למד עד 1798. בעודו באוניברסיטה, גילה גאוס מחדש באופן בלתי תלוי מספר מושגים ומשפטים חשובים: משפט הבינום המוכלל, הממוצע האריתמטי גאומטרי, ומשפט ההדדיות הריבועית. הפריצה שלו התרחשה ב-1796, כאשר הראה באמצעות הרעיון של הרחבת שדות שכל מצולע משוכלל שמספר צלעותיו הוא מספר פרמה (ועקב כך כל מכפלה של מספר פרמה בחזקה של 2) ניתן לבנייה בסרגל ובמחוגה. תגלית זו הייתה ההתקדמות המשמעותית הראשונה בנושא בניות בסרגל ובמחוגה מזה למעלה מ-2000 שנה - בעיות בנייה העסיקו מתמטיקאים עוד מאז ימי המתמטיקאים של יוון העתיקה, והייתה לה חשיבות רבה בהתפתחות האלגברה, הן בזכות הכנסת המישור המרוכב לשימוש, והן בזכות פתיחת שערים לתאוריות מתמטיות עמוקות כמו תורת גלואה. תגלית זו היוותה נקודת מפנה בחייו של גאוס מכיוון שהניעה אותו לבחור במתמטיקה כקריירה ולא בתחום אחר בו התעניין באותה תקופה: הבלשנות - כחובב בלשנות נלהב שלט גאוס בשפות רבות: גרמנית, יוונית, לטינית, צרפתית, אנגלית ודנית. גאוס היה גאה מאוד בתגליתו וביקש שייחרט על מצבתו מצולע משוכלל בן 17 צלעות.

1796 הייתה השנה הפרודוקטיבית ביותר עבור גאוס ותורת המספרים. ב-30 במרץ הוא גילה כי מצולע משוכלל בן 17 צלעות ניתן לבנייה בסרגל ומחוגה. הוא פיתח את האריתמטיקה המודולרית, כלי בעל יכולת הפשטה ניכרת בתיאור מניפולציות בתורת המספרים. ב-8 באפריל הוא היה הראשון שהוכיח את משפט ההדדיות הריבועית. משפט עמוק וכללי זה מאפשר למתמטיקאים לקבוע את הפתירות של כל משוואה ריבועית באריתמטיקה מודולרית. גאוס כינה אותו בשם "משפט הזהב", ועדות לחיבה שרחש לו היא שפרסם שש הוכחות שונות שלו במהלך חייו (שתיים נוספות פרי עטו פורסמו לאחר מותו). משפט המספרים הראשוניים, אשר שוער ב-31 במאי, נותן הבנה טובה כיצד מתפלגים המספרים הראשוניים בין המספרים הטבעיים. ב-10 ביולי גאוס גילה שכל מספר טבעי ניתן להצגה כסכום של 3 מספרים משולשים לכל היותר, והוא תיעד את התגלית בהערה מפורסמת ביומנו: "אאוריקה!, ∆ + ∆ + ∆ = num". ב-1 באוקטובר הוא פרסם תוצאה על מספר הפתרונות של פולינום בעל מקדמים השייכים לשדה סופי, אשר הוליכה להשערות וייל 150 שנה מאוחר יותר.

שנות הביניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

העמוד הראשי של מחקרים אריתמטיים

בעבודת הדוקטורט שלו משנת 1799 - "הוכחה חדשה לכך שכל פולינום במשתנה אחד ניתן לפרק כמכפלה של גורמים ממשיים מן המעלה הראשונה והשנייה", סיפק גאוס הוכחה מבריקה של המשפט היסודי של האלגברה, משפט חשוב ממנו נובע כי לכל פולינום ממעלה n יש בדיוק n שורשים מרוכבים. עבודת הדוקטורט שלו הכילה ביקורת וסקירה מקיפה של ניסיונות הוכחה קודמים של המשפט, שננקטו על ידי אוילר, לגראנז' וד'אלמבר, והיא הייתה העבודה הראשונה שהצביעה על הפגם הבסיסי בהוכחות קודמות של המשפט. ההוכחה שלו הכילה טיעון מקורי, טופולוגי במהותו, והגישה הכללית בה נקט בהוכחה הייתה מקורית. באופן אירוני, גם ההוכחה של גאוס לא הייתה שלמה והיה בה פער לוגי, בשל שימוש "מובלע" במשפט העקום של ז'ורדן (Jordan's curve theorem), והיא לא קבילה בסטנדרטים מודרניים. גאוס זיהה את החלל בהוכחתו ובמרוצת חייו סיפק עוד 3 הוכחות שונות של תוצאה זו; שתיים נוספות ב-1816 (האחת אלגברית באופייה והשנייה אנליטית), והאחרונה שבהן ב-1849 והיא נחשבת לדקדקנית ביותר מביניהן לפי הסטנדרטים של היום. מאמציו להוכיח את המשפט היסודי הסירו לחלוטין את הספקות לגבי תקפותם של המספרים המרוכבים.

ב-1801 גאוס פרסם את יצירת המופת הגדולה ביותר שלו: "מחקרים אריתמטיים" (Disquisitiones Arithmeticae) שאת כתיבתה השלים עוד ב-1798, אך החליט לפרסמה רק 3 שנים מאוחר יותר. ביצירה זו גאוס הציג לראשונה כלי חדש לתיאור בעיות בתורת המספרים - אריתמטיקה מודולרית, הוכיח לראשונה את משפט ההדדיות הריבועית, יצר את תורת התבניות הריבועיות, ויצר תאוריה של בנייה בסרגל ומחוגה (שעל פיה הוכיח כי המצולע המשוכלל בן 17 צלעות ניתן לבנייה). הניתוח שגאוס נתן בספרו לתורת התבניות הריבועיות היה מעמיק במיוחד והיה מלא ברעיונות ומושגים חדשים. האופן שבו ניתח גאוס בעיות בספר והקונספציה החדשה היוותה מקור השראה למתמטיקאים במשך דורות אחרי פרסום הספר. כך למשל, ניתוחו של גאוס את בעיית הבנייה בסרגל ומחוגה הכיל חלק מהאלמנטים הרעיוניים של תורת גלואה, והספר הזה היווה מקור השראה לגלואה.

באותה שנה, גילה האסטרונום האיטלקי ג'וזפה פיאצי את האסטרואיד[1] קרס. אולם פיאזי יכול לעקוב אחריו רק למשך מספר חודשים בלבד, וחלק מסלולו בו הצליח לצפות היווה רק 3 מעלות בשמי הלילה. לאחר מכן הוא נעלם באופן זמני מאחורי ההילה של השמש. מספר חודשים מאוחר יותר, כשקרס היה אמור להופיע שוב, פיאזי לא היה מסוגל לאתר מחדש את קרס: הכלים המתמטיים של התקופה לא היו מסוגלים לבצע חיזוי של מיקום האסטרואיד בעזרת מידע כל-כך זעום - 3 מעלות מהווים פחות מ-1% ממסלולו של האסטרואיד.

גאוס, שהיה בן 23 באותו זמן, שמע על הבעיה והחליט לנסות ולחזות את מיקומו של האסטרואיד. לאחר 3 חודשי עבודה מאומצת, הצליח גאוס לחזות את התזמון ואת המקום בו יופיע האסטרואיד שוב - הוא חזה מיקום בו יופיע קרס מחדש בדצמבר 1801. ואכן, בהתאם לתחזית, שנה אחרי הפעם הראשונה בה נראה, הופיע קרס מחדש בזמן זה ומיקומו התאים. התחזית למיקום התבררה כמדויקת בדרגה של חצי-מעלה כאשר האסטרואיד נצפה על ידי הברון פרנץ פון זאך ב-31 בדצמבר 1801 בעיר גותה, ויממה מאוחר יותר על ידי היינריך אולברס בברמן. ההישג הביא לגאוס תהילה והכרה מיידית גדולה והוביל לכך שהוצעה לו משרה כפרופסור לאסטרונומיה וכמנהל מצפה הכוכבים של אוניברסיטת גטינגן. העובדה שהחיזוי היה כה מדויק, חרף מגבלות הכלים המתמטיים של התקופה, זעזעה את הקהילה המדעית באותה תקופה. זאך כתב כי "בלעדי העבודה האינטליגנטית והחישובים של גאוס ייתכן כי לעולם לא היינו מוצאים מחדש את קרס שוב". בשלב זה בחייו עדיין נתמך גאוס במלגה שניתנה לו מטעם הדוכס מבראונשווייג ולא נזקק לעבודה. אולם, עם מותו של הדוכס ב-1807 החליט לקבל את המשרה שהוצעה לו והחזיק בה עד יום מותו.

השיטה של גאוס הייתה כרוכה בקביעת חתך חרוטי במרחב בהינתן המוקד שלו (השמש), וחיתוך החרוט עם 3 ישרים נתונים (קווי ראייה מכדור הארץ, שהוא עצמו נע במסלול אליפטי, לקרס) ובהינתן הזמן שלוקח לקרס לעבור את הקשתות המותוות בין הישרים האלו (אשר מהם ניתן לחשב את אורך הקשתות באמצעות החוק השני של קפלר). בעיה זו מובילה למשוואה ממעלה שמינית, אשר פתרון אחד שלה, מסלול כדור הארץ, ידוע. הפתרון שמחפשים מופרד אז מ-6 האחרים בהתבסס על התנאים הפיזיקליים. בעבודה זו גאוס השתמש בשיטות אפרוקסימציה מעמיקות אשר הוא יצר במיוחד לצורך מטרה זו.

שיטה אחת כזו הייתה טרנספורם פוריה מהיר (Fast Fourier Transform). בעוד שיטה זו מיוחסת בדרך כלל למאמר משנת 1965 של המתמטיקאים קולי וטוקי, גאוס פיתח אותה כשיטת אינטרפולציה טריגונומטרית. המאמר שלו, Theoria Interpolationis Methodo Nova Tractata, פורסם רק לאחר מותו בכרך השלישי של אוסף העבודות שלו. עבודה זו אף חוזה את ההצגה הראשונה של ז'וזף פורייה על הנושא בשנת 1807.

התפלגויות נורמליות שונות בסטטיסטיקה

גילוי האסטרואיד קרס על ידי פיאצי הוביל את גאוס לעבודתו המונומנטלית על התאוריה של תנועת אסטרואידים המושפעים מגופים גדולים, אותה פרסם בשנת 1809 תחת השם "תאוריה של תנועת הגופים השמימיים בחתכי חרוט סביב השמש". בעבודה זו, הוא כה כיסה, איחד, וייעל את המתמטיקה של חיזוי המסלולים של המאה ה-18 עד כי עבודה זאת נחשבת אבן פינה בתולדות האסטרונומיה החישובית. החיבור הציג את קבוע הכבידה הגאוסי, והכיל יישום מעמיק וממצה של שיטת הריבועים הפחותים אותה המציא, שיטה אשר משתמשים בה כיום בכל ענפי המדעים המדויקים כדי להקטין למינימום את ההשפעה של שגיאות מדידה. באמצעות הגדרת ההתפלגות הנורמלית של שגיאות, גאוס הוכיח בחיבורו את שיטתו שלו (ראו גם: סטטיסטיקת גאוס-מרקוב). ההתפלגות הנורמלית, שנחשבת להתפלגות החשובה ביותר בסטטיסטיקה ומיושמת בכל תחומי המדע, נקראת מאז בשם "פעמון גאוס" או "גאוסיאן". שיטה זו תוארה קודם לכן על ידי לז'נדר ב-1805 אך גאוס טען כי הוא השתמש בה כבר ב-1795.

בין השנים 1812 ל-1818, בשנים הראשונות לאחר חזרתו לגטינגן, גאוס חווה פרץ נוסף של רעיונות יצירתיים בתחומים שונים במתמטיקה, ובעקבות זאת הפיק מספר רב של מאמרים בולטים. בין מאמריו הראויים לציון הם מאמרו משנת 1813 בו מצא לחלוטין באופן אנליטי את המשיכה שיוצר אליפסואיד בכל נקודה במרחב, מאמרו "חקירות כלליות חדשות על הטור האינסופי" - פתיחת העידן הריגורוזי של האנליזה המתמטית והדיון הסיסטמטי הראשון על טורים היפרגאומטריים וההצגה של הפונקציה ההיפרגאומטרית (הוא לא פרסם את המשוואה הדיפרנציאלית שמקיימת הפונקציה ההיפרגאומטרית; זו נמצאה בכתב יד לא מפורסם שלו לאחר מותו, יחד עם תכונות מעניינות נוספות של הפונקציה והטרנספורמציות שלה), מאמרו "שיטה חדשה לחישוב ערכי אינטגרלים על ידי קירוב" - חיבור על שיטה חדשה לאינטגרציה נומרית, מאמרו "קביעת הדיוק של תצפיות" - דיון באמדים סטטיסטיים, ולסיום מאמרו היוצא מגדר הרגיל באסטרונומיה תאורטית משנת 1818 בו הוכיח שהפרטורבציה המסלולית הנגרמת על ידי גוף מסיבי לגוף קטן שקולה לפרטורבציה אשר הייתה נגרמת על ידי טבעת מסה אליפטית שצפיפותה בכל נקודה פרופורציונלית למסת הכוכב ויחסית הפוך למהירותו באותה נקודה[2] (עבודתו על הפרטורבציות של פאלאס הובילה אותו למשפט יוצא דופן זה). במקביל עסק גאוס בשורה של בעיות סבוכות בפיזיקה מתמטית: במכניקה, באקוסטיקה ועוד.

ב-1818 החליט גאוס לנצל את יכולותיו החישוביות לשימוש מעשי והוביל סקר גאודזי של ממלכת הנובר, וקישר לסקרים דניים מקבילים. כדי לקדם את הסקר המציא גאוס את ההליוטרופ, מכשיר העושה שימוש במראה כדי להחזיר אור שמש על פני מרחקים גדולים במטרה לסמן ולמדוד מרחקים של עמדות. מחקריו בגאודזיה העמידו יסודות חדשים למדע הגיאודזיה, ותרמו לנושאים רבים: יישומים מתמטיים כגון התאוריה המתמטית של קווים גאודטיים על משטח עקום, תיאור הצורה של כדור הארץ (בין היתר טבע את המונח "גאואיד") והסבר לאי רגולציות שלה, הכנת מפות מדויקות יותר של אזורים שונים, שיטות אינטרפולציה טריגונומטרית ועוד.

הסקר של הנובר עורר בגאוס עניין בגאומטריה דיפרנציאלית, תחום במתמטיקה הדן במשטחים ועקומות. בין השאר, גאוס יצר את המושג של עקמומיות גאוס של משטחים, שהיא המושג המרכזי שגאוס הכניס לתחום. ב-1827, גאוס גילה וניסח משפט מתמטי חשוב ביותר בתחום זה (Theorema Egregium), המקשר בין הרעיון של עקמומיות משטח לגאומטריה של הצורות המתקיימות עליו, כלומר לזוויות ולמרחקים הנמדדים על פני המשטח ולהבדל בין תוצאות המדידות על פני המשטח לבין אלו הנקבעות בגאומטריה אוקלידית, והמשפט ביסס את החשיבות היסודית שיש לעקמומיות גאוס בגאומטריה דיפרנציאלית. הוא פרסם משפט זה ואת מכלול התאוריה שלו על משטחים עקומים בחיבורו מאותה שנה "חקירות כלליות על משטחים עקומים", שהינו יצירתו המרכזית בתחום זה. גאוס ניסח והוכיח גם את המשפט הידוע כמשפט גאוס-בונה, המקשר בין הגאומטריה של משטח לטופולוגיה, משפט בעל חשיבות בהנחת יסודות הטופולוגיה.

קרל פרידריך גאוס, 1828

ב-1820 החל מתמטיקאי הונגרי בשם יאנוש בויאי, בנו של פרקש בויאי שהיה חבר טוב של גאוס, ליצור את התאוריה שלו לגבי גאומטריה לא אוקלידית ופרסם תוצאות לגביה ב-1832. מאוחר יותר טען גאוס שהוא הגיע בעצמו לתוצאות שפרסם בויאי, ואלו היו תוצאות אליהן הגיע בעצמו לפניו אבל לא פרסמן מעולם; הוא כתב לפרקש בויאי: "לשבח עבודה זו יהיה זה למעשה לשבח את עצמי. שכן כל תכולת העבודה... מתלכד כמעט במדויק עם ההרהורים המתמטיים שלי עצמי אשר העסיקו אותי במהלך שלושים או שלושים וחמש השנים האחרונות". הוא אכן הגיע לתוצאות אלה, כפי שניתן ללמוד ממכתבו לטאורינוס בשנת 1824, אך סירב לפרסמן מחשש לזעם ההמונים ("מוג לב במקצת" כינה אותו בשל כך מדען המחשב אדסחר דייקסטרה[3]).

שנותיו האחרונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

אחרי 1828 החל להסתמן כיוון חדש בעבודתו של גאוס, והוא החל לחקור בעיקר בעיות בפיזיקה תאורטית. הפירות הראשונים שהניב מחקר זה היו מאמרו על מכניקה משנת 1829: "על ניסוח יסודי חדש של המכניקה", בו ניסח מחדש את המכניקה הקלאסית באמצעות עקרון חדש בחשבון וריאציות (Gauss's principle of least constraint), ומאמרו משנת 1830 על קפילריות: "עקרונות כלליים של תאוריית הצורה של נוזלים בשיווי משקל", בו דן בנוזלים במצב שיווי משקל ופתר את הבעיות המרכזיות בתחום. בתקופה זו החל גם להתעניין בקריסטלוגרפיה, והגיע למספר תוצאות חשובות; הוא הציע מערכת סימון קריסטלוגרפית שהייתה למעשה שקולה למערכת אינדקס מילר[4]. בהשראת מחקרו הקריסטלוגרפי, גאוס פתר את בעיית "אריזת הכדורים האופטימלית" - הוכחת השערת קפלר - במקרה של מארז סריגי (lattice) רגולרי (אי-האפשרות של אריזות לא רגולריות צפופות יותר לא הוכחה עד 1998).

ב-1831 החל גאוס בשיתוף פעולה עם הפיזיקאי וילהלם ובר. שיתוף פעולה זה היה פורה ביותר והוביל לידע חדש בתאוריה של חשמל ומגנטיות, כגון ייצוג של יחידה מגנטית במונחים של מסה, אורך וזמן, וכן גילוי חוקי קירכהוף. ובר וגאוס הגיעו לתגליות רבות בנוגע לחשמל סטטי, תרמי, וזה הנובע מחיכוך, אך לא פרסמו, בעיקר משום שמחקרם התמקד במגנטיות ארצית. גאוס עצמו ניסח את חוק גאוס באלקטרוסטטיקה (שמהווה מקרה פרטי של משפט גאוס באנליזה וקטורית), אחד החוקים הבסיסיים והחשובים ביותר בתחום זה, כמו גם את חוק גאוס במגנטיות. ב-1833, תכננו גאוס וובר את הטלגרף האלקטרומגנטי הראשון, באורך 3 קילומטר, שקישר בין מצפה הכוכבים אל מכון הפיזיקה בתוך אוניברסיטת גטינגן. גאוס וובר עמדו מיד על חשיבות המצאתם להתפתחות התעשייתית בעולם, וובר התנבא כי "הטלגרף יעשה לעולם את מה שמערכת העצבים עשתה לגוף האנושי". המעבדה של גאוס וובר הייתה אחראית על פיתוח מספר אמצעי מדידה בתחום האלקטרומגנטיות, ובין היתר הם המציאו את המגנטומטר הראשון. באמצעות המגנטומטר שהמציא מדד גאוס ב-1835 לראשונה את עוצמת השדה המגנטי של כדור הארץ. כמו כן פיקח גאוס על בנייתו של מתקן מגנטי במצפה הכוכבים, ויחד עם ובר ייסד את magnetischer Verein ("המועדון המגנטי") אשר תמך במדידות של השדה המגנטי של כדור הארץ באזורים שונים, והניב את ה-"אטלס המגנטי" הראשון של כדור הארץ. כחלק מניסוי זה פיתח גאוס שיטה למדידת העוצמה האופקית של שדה מגנטי, שיטה אשר נעשה בה שימוש רב במחצית השנייה של המאה ה-20 והיוותה למעשה את התאוריה המתמטית להפרדה בין המקור הפנימי (הגלעין והקרום) והחיצוני (מגנטוספירה) של השדה המגנטי של כדור הארץ. באחד ממאמריו על התאוריה המגנטית שלו, מאמר שתואר כ"אחד המאמרים החשובים של המאה", יישם גאוס את התאוריה המתמטית שלו והמידע הניסויי הרב שצבר על השדה המגנטי של כדור הארץ, וכך פילסה את עצמה תגלית עולמית כאשר גאוס יכול היה לנבא ואף, לראשונה בהיסטוריה, להצביע על המיקום המדויק של הקטבים המגנטיים של כדור הארץ, נושא שריתק ימאים מאז ימי קדם. מספר שנים קודם לכן, ב-1831, מגלה הארצות הבריטי ג'יימס קלארק רוס איתר לראשונה באופן מקורב את הקוטב המגנטי הצפוני. תוצאות חישוביו של גאוס הצביעו על אותו אזור גאוגרפי, וסטו כ-3 מעלות ו-30 דקות קשת מהמיקום האמיתי, מה שהוכיח את אמינות התאוריה.

גאוס על שטר של עשרה מארק גרמני

ב-1840 פרסם גאוס את חיבורו המשפיע Dioptrische Untersuchungen, שבו תיאר את האנליזה השיטתית הראשונה של היווצרות דמויות תחת הקירוב הפרקסיאלי (אופטיקה גאוסיאנית). בין התוצאות הרבות בחיבור, הוכיח גאוס כי מערכת אופטית ניתנת לאפיון באמצעות 6 הנקודות הקרדינליות שלה, גזר את נוסחת העדשות הגאוסיאנית, טיפל לראשונה באופן מתמטי בעדשות עבות, והראה שההדמיה של מערכות אופטיות סימטריות מסוימות ניתנת לביטוי כפיתוח לטור שבו האיבר הראשון מספק את ההתנהגות הסטיגמטית האידאלית והאיברים מסדרים גבוהים יותר מתארים את האברציות. גאוס פעל גם במישור הפרקטי של האופטיקה, חקר את הבעיה של בניית אופטיקה עם עיוותים מינימליים, ושיפר את התכנון של טלסקופים ומכשירים אופטיים אחרים. ה-Dioptrische היה בעל השפעה רבה על תלמידיו של גאוס שפנו לתחום האופטיקה, כמו ארנסט אבה ואחרים, והתוצאה של ההשפעה הזו הייתה זריקת מרץ להתפתחות התעשייה האופטית בגרמניה. בסיסי ככל שהוא נראה היום, חיבור זה עסק בנושאים רבים שלא הובנו היטב לפני פרסומו, לפחות לא באופן מתמטי מדויק, ומסיבה זו בדיוק היסטוריונים אחדים כינו לפעמים את החיבור "עבודתו המדעית החשובה ביותר".

אחרי 1840 פעילותו המדעית של גאוס הלכה והצטמצמה בהדרגה. הוא עסק בבעיות מתמטיות בעלות חשיבות משתנה; מספר פאזלים קומבינטוריים (ביניהם חידת שמונה המלכות), בעיות מתמטיות מרכזיות מסוימות ועוד. הוא המשיך לעסוק בבעיות בפיזיקה תאורטית ובפיזיקה ניסויית. הוא עדיין נותר פעיל מאוד באסטרונומיה תצפיתית; הוא המשיך לעשות תצפיות וחישובים אסטרונומיים, וכן נותר פעיל במחקרו על מגנטיות כדור הארץ. מחקריו המתמטיים והפיזיקליים עסקו בהתכנסות של טורים, מתמטיקה אקטוארית, בעיות מכניות הקשורות בסיבוב כדור הארץ (בהמשך למחקריהם של לגראנז', פלאנה, הנסן וקלאוזן), בשיפורים למטוטלת פוקו ועוד. בתקופה זו גאוס נפל לתחביב של לאסוף עיתונים וכל סוג שהוא של חדשות פיננסיות. הוא נודע כמשקיע חכם במיוחד, וממשלות רבות ברחבי אירופה הציעו לו להיות שר אוצר. הספקולציות הפיננסיות שלו עזרו לו להשיג הכנסה שנתית הגבוהה פי 200 מהמשכורת השנתית שלו. ב-1851, הוא ביסס בפעם האחרונה אוסף חדש של עקרונות מדעיים, הפעם במתמטיקה אקטוארית - בנוגע לתאוריות המתמטיות של ביטוחים וקרנות פנסיה.

ב-1854 גאוס באופן ראוי לציון בחר את הנושא להרצאה הכעת מפורסמת של תלמידו ברנהרד רימן - "על ההיפותזה העומדת ביסודות הגאומטריה". בדרך חזרה הביתה מהרצאתו של רימן, ובר דיווח שגאוס היה מלא בשבחים והתרגשות.

גאוס נפטר בשנת 1855 (כחודשיים לפני יום הולדתו ה-78), בגטינגן, שם אף נקבר. מוחו של גאוס לא נקבר עמו אלא נמסר למחקר מדעי; נמצא כי משקלו 1,492 גרם ושטחו הצֶרֶבְּרָלִי 219,588 סמ"ר. נמצאה גם רמת פיתולים גבוהה במיוחד, ממצא אשר בתחילת המאה ה-20 הוצע כהסבר לגאונות שלו.

לאחר מותו של גאוס נמצא בביתו יומן, שלימים הפך לאחד המסמכים החשובים בהיסטוריה של המתמטיקה. ביומן זה, אותו ניהל בין השנים 1796 ו-1814, רשם גאוס את תגליותיו בצורה מדויקת כשהוא מקפיד לרשום את תאריך הגילוי וההוכחה של כל אחת מהן. רובן נותרו לא מפורסמות. נמצא כי היומן מכיל 146 תוצאות, אשר חלק מהן התגלו והוכחו על ידי מתמטיקאים אחרים שנים רבות לאחר מכן, כמו למשל "המשפט היסודי של פונקציות של משתנה מרוכב" - משפט אינטגרל קושי, שנוסח בידי גאוס בטרם התגלה על ידי קושי ונקרא על שמו, וכן גילוי הקווטרניונים בטרם גילה אותם ויליאם רואן המילטון. יתרה מכך, בנכלאס שלו נמצאו תוצאות חלוציות מוקדמות רבות בטופולוגיה ותורת הקשרים (ככל הנראה גאוס הוא שסיפק את הגירוי הראשוני לתלמידיו רימן, מביוס, וליסטינג לעסוק בטופולוגיה).

השקפות דתיות[עריכת קוד מקור | עריכה]

גאוס היה לותרן פרוטסטנט, וחבר בכנסיית סנט אוונס שבגטינגן. עדות לאמונה העמוקה של גאוס ברלוונטיות האמונה באלוהים מגיעה מהתגובה שלו לאחר שפתר בעיה שטרדה את מנוחתו במשך זמן רב: "בסופו של דבר הצלחתי – לא על ידי מאמציי הגדולים, אלא בידי חסד האל". אחד הביוגרפים שלו G. Waldo Dunnington מתאר את ההשקפות הדתיות של גאוס במילים הבאות:

בעבורו מדע היה האמצעי לחשוף את הגרעין האלמותי של הנשמה האנושית. בימים בהם כושרו המתמטי עמד לו במלוא עוצמתו אמונתו שלו הביאה אותו ליצירתיות, ובאמצעות ההזדמנויות שהיא פתחה לו, הביאה לו תקווה ונחמה. לקראת סיום חייו היא הביאה לו ביטחון. האל של גאוס לא היה יציר-דמיון קר ומרוחק של המטאפיזיקה, ולא קריקטורה מעוותת של תאולוגיה ממורמרת. לאדם אינה מובטחת שלמות של ידע כזאת שתצדיק את עמדתו היהירה שחזונו המעורפל הוא האור המוחלט ושלא ייתכן שיימצא מישהו אחר שמדווח על האמת כמו שהוא עושה (הוא אחז בסובלנות דתית) . בעבור גאוס, לא מי שזועק את ה-"אני מאמין" שלו, אלא מי שחי אותו, ראוי להערכה הרבה ביותר. הוא האמין שחיים העוברים בצורה ראויה כאן על הארץ הם ההכנה הטובה ביותר, והיחידה, לגן עדן. דת אינה נחלת הספרות בלבד, אלא היא דרך חיים. ההתגלות של האל היא רציפה, ולא מוכלת בלוחות של אבן או בקלפים קדושים. ספר הינו חדור תובנה כאשר הוא מעביר עמו תובנה. הרעיון הבלתי מעורער של המשכיות אישית אחרי המוות, האמונה האיתנה בסדר אחרון של הדברים, ובאל נצחי, צודק, יודע - כל, וכל - יכול, היוותה את הבסיס לחייו הדתיים, שעמדו בהרמוניה מלאה עם מחקריו המדעיים.

Dunnington ממשיך ומציג את ההשקפות הדתיות של גאוס בכותבו:

התודעה הדתית של גאוס הייתה מבוססת על צמא בלתי ניתן לסיפוק לאמת ותחושה עמוקה של צדק בנוגע לקניין רוחני וחומרי. הוא דימה חיים רוחניים ביקום כולו כמערכת גדולה של חוקים המתנהלת לפי אמת נצחית, וממקור זה הוא שאב את הביטחון האיתן שהמוות אינו הסוף כלל וכלל.

גאוס הצהיר שהוא האמין אמונה איתנה בחיי העולם הבא, וראה רוחניות כמשהו החשוב באופן מהותי לבני אנוש. הוא צוטט פעם: "העולם יהיה חסר תכלית, והבריאה כולה אבסורד, ללא חיי אלמוות". אף על פי כן, Dunnington קובע שגאוס לא האמין בכל הדוגמות הנוצריות, ולא ניתן לפרש את האמונה שלו כשייכת למסורת הנוצרית. האמונה שלו הייתה קרובה יותר לאמונה הבודהיסטית מאשר לאמונה הנוצרית, שכן הוא הביע אמונה מסוימת בגלגול נשמות (בהתכתבות עם אולברס בנוגע לגאומטריה הלא אוקלידית הוא כתב: "...אולי בגלגול אחר נזכה לפלח במבטינו את טיבו של המרחב..." ) והאמין יותר במסע של למידה שעוברת הנשמה בעולם מאשר בגן עדן נצחי.

משפחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

גאוס נישא לראשונה ב-9 באוקטובר 1805 ליואנה אוסטהולף. לזוג נולדו 3 ילדים: יוזף (1806–1873), וילהלמינה (1808–1846) ולואי (1809–1810). אולם, אושר זה לא נמשך זמן רב ונקטע על ידי שרשרת של אירועים טרגיים: ב-1808 נפטר אביו של גאוס ושנה לאחר מכן נפטרה אשתו בלידת הבן לואי, אשר נפטר אף הוא זמן קצר לאחר מכן. אירועים אלו השפיעו קשות על גאוס והוא שקע בדיכאון עמוק. כשהוא מטפל בשני ילדים קטנים, החליט גאוס להנשא שנית כשנה לאחר מכן לאחת מחברותיה של אשתו, פרדריקה וילהלמינה וולדק (אשר כונתה מינה). נולדו להם 3 ילדים: אויגן (1811–1896), וילהלם (1813–1879) ותרזה (1816–1864). מינה סבלה ממחלות רבות ונפטרה ב-1831. בתו תרזה השתלטה על אחזקת הבית ודאגה לכל מחסורו של גאוס עד מותו. אימו של גאוס אף היא חיתה עמו בביתו מ-1817 עד מותה ב-1839.

גאוס התעמת עם ילדיו על רקע בחירת מקצועם: הוא לא העריך אותם כמתמטיקאים ולא רצה שיעסקו בתחום, מחשש שיכתימו את שם המשפחה. העימות הקשה ביותר היה עם בנו אויגן אשר גאוס בחר עבורו במקצוע המשפטים, אך אויגן העדיף להתרכז בלימודי שפות אותם לא הסכים אביו לממן. לבסוף היגרו שני בניו של גאוס, אויגן ווילהלם, למיזורי, ארצות הברית. מבין כל ילדיו הייתה וילהלמינה היחידה שנחשבה בעלת כשרון מתמטי קרוב לשל אביה.

הישגיו[עריכת קוד מקור | עריכה]

אלגברה[עריכת קוד מקור | עריכה]

ההוכחה הטופולוגית החדשנית של גאוס התבססה על מושג ה-winding number של עקום סגור מסביב לנקודה מסוימת.

בעבודת הדוקטורט שלו משנת 1799, Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse (הוכחה חדשה לכך שכל פולינום במשתנה אחד ניתן לפרק כמכפלה של גורמים ממשיים מן המעלה הראשונה והשנייה) סיפק גאוס הוכחה מבריקה של המשפט היסודי של האלגברה, משפט ממנו נובע כי לכל פולינום ממעלה n יש בדיוק n שורשים מרוכבים. עבודת הדוקטורט שלו הכילה ביקורת וסקירה מקיפה של ניסיונות הוכחה קודמים של המשפט, שננקטו על ידי אוילר, לגראנז' וד'אלמבר, והיא הייתה העבודה הראשונה שהצביעה על הפגם הבסיסי בהוכחות קודמות של המשפט. ההוכחה שלו הכילה טיעון מקורי, טופולוגי במהותו, והגישה הכללית בה נקט בהוכחה הייתה מקורית. היא התבססה על שיקולים טופולוגיים ועל מושג ה-winding number. באופן אירוני, גם ההוכחה של גאוס לא הייתה שלמה והיה בה פער לוגי, שכן גאוס הניח בה מספר הנחות על ענפים של עקומים אלגבריים אשר למעשה עשו שימוש "מובלע" במשפט העקום של ז'ורדן (Jordan's curve theorem), והיא לא קבילה בסטנדרטים מודרניים. גאוס זיהה את החלל בהוכחתו ובמרוצת חייו סיפק עוד 3 הוכחות שונות של תוצאה זו; שתיים נוספות ב-1816 (האחת אלגברית באופייה והשנייה אנליטית), והאחרונה שבהן ב-1849, וזו נחשבת לדקדקנית ביותר מביניהן לפי הסטנדרטים של היום. מאמציו להוכיח את המשפט היסודי הסירו לחלוטין את הספקות לגבי תקפותם של המספרים המרוכבים.

את ההוכחה השנייה האלגברית שלו ניתן להבין לעומק רק תוך שימוש בהמשגה המאוחרת יותר של תורת גלואה; הרעיון המרכזי שלה הוא להיעזר בתכונות אלגבריות של הפונקציות הסימטריות כדי לגזור משוואה דיפרנציאלית הקושרת בין הפולינום ההתחלתי והדיסקרימיננטה שלו. בדרך זו מוכיחים את הקיום של שדה פיצול המוכל בשדה המספרים המרוכבים. ההוכחה השלישית האנליטית שלו מבוססת על הצבות מורכבות, ובעוד ההוכחה הרביעית והאחרונה שלו ראויה לציון מיוחד כי בפעם הראשונה הוא התייחס לפתרון משוואות פולינומיות עם מקדמים מרוכבים ולא רק מקדמים ממשיים.

גאוס עשה גם תרומה מסוימת לתאוריה של מבנים אלגבריים מתקדמים, וייתכן כי גילה בשנת 1818 את אלגברת הקווטרניונים, שהייתה האלגברה הלא קומטטיבית הראשונה שנתגלתה, אם כי ייחוס זכות הקדימות על גילוייה לגאוס ולא לויליאם רואן המילטון (אשר גילה אותה ב-1843) עדיין שנוי במחלוקת. גאוס הציג במאמר קצר "Mutationen des Raumes" את הסיבוב הכללי (של קו ישר דרך הראשית במרחב תלת-ממדי) בעזרת המטריצה האורתוגונלית:

כאשר a,b,c,d הם רביעיית מספרים שמקיימים , כך שבדרך זו בנה גאוס שיטה לייצוג אלגברי של גאומטריית סיבובים תלת-ממדית. בהמשך המאמר ציין גאוס כי ההרכבה של שתי פעולות סיבוב כאלו (הכפלת המטריצות) מיוצגת על ידי הביטוי: כאשר A,B,C,D הם ביטויים בילינאריים מסוימים באותיות האחרות. הביטוי להכפלה של שתי רביעיות מספרים שקול למעשה לכלל הכפל של הקווטרניונים. גאוס ציין בהמשך המאמר את תכונת האי-קומטטיביות של כפל קווטרניונים.

הייחוס של גילוי הקווטרניונים לגאוס שנוי במחלוקת כי לא ברור מה מידת החשיבות שייחס לממצאים אלה (הוא מעולם לא טען כי גילה את הקווטרניונים), ובוודאי הוא לא פיתח את הנושא והפיץ אותו באופן אפקטיבי כמו המילטון בספרו הארוך "יסודות הקווטרניונים" (1863).

תורת המספרים[עריכת קוד מקור | עריכה]

ה-Disquisitiones Arithmeticae של גאוס נחשב ליצירת מופת שכוננה את תורת המספרים המודרנית. ביצירה גאוס הנהיג לראשונה את הסימון ≡ לקונגרואנציות והציג באופן שיטתי תוצאות קודמות בתורת המספרים באמצעות אריתמטיקה מודולרית, הוכיח את חוק ההדדיות הריבועית, יצר את תורת התבניות הריבועיות (שבאמצעותה הוכיח, כתוצאה אחת מני רבות, שכל מספר טבעי ניתן להצגה כסכום של לכל היותר 3 מספרים משולשיים, ואף קבע את מספר הדרכים שמספר כלשהו ניתן להצגה כזאת), ניסח את בעיית מספר המחלקה (Class number problem) - השערה מרחיקת לכת שהייתה לה השפעה כבירה על התפתחות המתמטיקה ב-200 השנים הבאות, והציג את פתרון בעיית הבניה בסרגל ומחוגה של מצולעים משוכללים.

מספרים שלמים של גאוס כנקודות סריג במישור המרוכב

ה-Disquisitiones Arithmeticae היה נקודת ההתחלה בעבור מתמטיקאים במאה ה-19 שהתמחו בתורת המספרים. הוא שימש כמקור בלתי ניתן למיצוי של רעיונות מתמטיים, אשר חלקם הופיעו בו באופן מפורש ואילו חלקם הופיעו בו בצורה בוסרית, ובישרו את הופעתם של רעיונות מתמטיים מתקדמים. ההתעמקות בספר בידי מתמטיקאים שונים הובילה לתאוריות מתמטיות שונות כמו תורת גלואה על פתרון משוואות אלגבריות, תאוריית האידאלים של דדקינד, ויישומים מתמטיים שונים כמו סוגים של מבחני ראשוניות. כהדגמה של ההשפעה של מחקרים אריתמטיים על פיתוח תורת גלואה, נציין שגאוס הביא בספרו בנייה אלגברית מפורשת למצולע המשוכלל בעל ה-17 צלעות:

.

ההוכחה של גאוס נשענת על העובדה שניתנות לבנייה שקולה לניתנות לביטוי של הפונקציות הטריגונומטריות של הזווית היסודית בעזרת פעולות אריתמטיות והוצאות שורש ריבועי. עם זאת, הדרך המדויקת בה הגיע לתוצאה הזאת (שהוא תיאר בפרק השביעי של מחקרים אריתמטיים) מעידה על הבנה עמוקה של חבורת גלואה של הרחבות השדה הריבועיות, המקודדת את הקשרים המתמטיים הללו.

הפרק השביעי של מחקרים אריתמטיים כולל גם את אחת התוצאות המרחיקות לכת ביותר שלו; במאמר 358 הוא נתן חסם למספר הפתרונות הרציונליים לקונגרואנציה מסוימת ממעלה שלישית (בשפה מודרנית הוא מנה נקודות רציונליות על עקום אליפטי), במה שנודע כמקרה הלא-טריוויאלי הראשון של משפט הסה וייל, אשר ניתן לפרש אותו גם כמקרה הלא-טריוויאלי הראשון של השערת רימן מעל שדות סופיים. אנדרה וייל ציין כי תוצאה זו ביחד עם תוצאות נוספות בכתביו הלא מפורסמים של גאוס הובילה אותו לנסח את השערות וייל. גאוס הוכיח[5] גם את נוסחת מספר המחלקה (class number formula) הראשונה, בעבור שדות ריבועיים, זמן רב לפני פרסום הנוסחה בידי דיריכלה. בהקשר אחר, הוא הוכיח את המקרים n = 3 ו-n = 5 של המשפט האחרון של פרמה.

נקודות ראויות לציון אחרות בעבודתו של גאוס בתורת המספרים הם שני מאמריו על חוק ההדדיות מסדר רביעי (biquadratic reciprocity law), אשר הנהיגו את השימוש בחוג השלמים של גאוס (כולל השימוש בראשוניי גאוס) וטיפלו בתכונות האריתמטיות שלו, ולאחר מכן ביססו את חשיבותו לחקר חוקי הדדיות מסדרים גבוהים. תחת ההרחבה הזאת, מספרים שהם ראשוניים באריתמטיקה הרגילה כבר אינם כאלה יותר בחוג גאוס, שכן למשל: כך שהוא אינו ראשוני יותר בחוג זה. במאמר גאוס ניסח את חוק ההדדיות מסדר רביעי בצורה הבאה:

ניתן לפתור באופן סימולטני שתי קונגרואנציות מסדר רביעי במספרים ראשוניים גאוסיאניים (כלומר החוק מנוסח למספרים מרוכבים) ו- אם מתקיים:

כאשר הוא ריבוע הנורמה של המספר המרוכב. לאחר הניסוח של חוק ההדדיות מסדר רביעי, גאוס מוכיח במאמרו כמה מקרים פרטיים שלו. גם עבודתו על חוק ההדדיות מסדר שלישי (cubic reciprocity) ראויה לציון, ומיומנו עולה כי הוא גילה את החוק הכללי של הדדיות ממעלה שלישית בסביבות 1814, אולם בכל הנוגע להוכחה שלו הוא הוכיח אותו למקרים פרטיים, ולא ברור אם ההוכחה למקרה הכללי שנמצאה בכתביו היא מקורית שלו או מבוססת על ההוכחה של אייזנשטיין.

ההצגה של חוג השלמים הגאוסיאנים והטיפול המפורט בתכונות האריתמטיות שלו הציבה את הנושא בחזית המחקר על תורת המספרים וחוקי הדדיות, ובתוך מספר שנים שחלפו מאז פרסום המאמר הופיעו הוכחות שונות של חוקי ההדדיות מסדר שלישי ורביעי, שפורסמו על ידי אייזנשטיין, יעקובי, ודיריכלה. ראוי לציין כי הוא עשה שימוש רשמי ראשון בויזואליזציה של המספרים המרוכבים כנקודות במישור המרוכב רק ב-1831, במאמרים אלו (ככל הנראה גאוס השתמש בתיאור המספרים המרוכבים כנקודות במישור עוד לפני עבודת הדוקטורט שלו, אך פרסמו רק ב-1831).

גם להשערות שלו בנוגע לתורת המספרים הייתה השפעה רבה, אף שברוב המקרים הוא לא הניח יסודות מוצקים כיצד להוכיח אותן. ההשערה של גאוס את משפט המספרים הראשוניים היא דוגמה לאינטואיציה המתמטית היוצאת מגדר הרגיל שלו בנוגע לחוקים אסימפטוטיים הקשורים לתורת המספרים (גאוס השאיר אחריו טבלה של כל המספרים הראשוניים עד ל-3 מיליון). למעשה, הוא שיער יותר מכך; כתב לא מפורסם שלו תחת הכותרת "חוקים אסימפטוטיים של אריתמטיקה" מכיל כמה השערות שמכלילות את משפט המספרים הראשוניים; הוא שיער שבאופן אסימפטוטי, מספר המספרים שקטנים מ- להם 2 גורמים ראשוניים הוא: , וכן שיער השערה כללית לגבי מספר המספרים להם בדיוק k גורמים ראשוניים, אשר זכתה להוכחה ראשונה על ידי אדמונד לנדאו ב-1901. מאוחר יותר הוא עידן את ההשערה שלו על צפיפות המספרים הראשוניים וטען כי היא תדירות ההופעה של המספרים הראשוניים "בסביבות" המספר x ולאו דווקא התדירות הממוצעת בתוך קבוצת המספרים הטבעיים מ-1 עד x, מה שמוביל ישירות לקירוב של פונקציית האינטגרל הלוגריתמי (מכתב לאנקה, 1849). גאוס שיער השערות רבות נוספות בעל אופי דומה, אולם הכלים הריגורוזיים החזקים הדרושים כדי להוכיח טענות מסוג זה, נוצרו בעבודתו של דיריכלה, שנחשבת לראשיתה של תורת המספרים האנליטית, וכן בעבודתו של רימן.

אסטרונומיה[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניסיונו הראשון של גאוס להיכנס לעולם האסטרונומיה היה כאשר ניסה לנסח תאוריה של תנועת הירח שתהיה יעילה יותר מהתאוריות הקודמות. המשוואות היסודיות שהוא גזר דומות לאלה של קלרו וד'אלמבר, ולאלה שנגזרו מאוחר יותר על ידי לפלס, פלאנה ואחרים. החיבור הזה שלו בנוגע לתאוריה הירחית נותר לא מפורסם במהלך חייו, ופורסם בכרך השביעי של הנכלאס שלו תחת הכותרת "Theorie der Bewegung des Mondes". במובן מסוים, הניסיון שלו בהתמודדות עם המורכבויות של תנועת הירח "הכין" אותו להישג שעתיד יהיה לתת לו תהילת עולם - חיזוי מסלולו של קרס וכתיבת ספרו על מכניקה שמיימית.

עבודתו של גאוס על אסטרונומיה חישובית - Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientum, עוסקת בקביעת מסלולם של גרמי שמיים (אסטרואידים, שביטים וכו') ממספר מינימלי של תצפיות גאוצנטריות. בספר גאוס מפתח את האלגוריתם היעיל הראשון לחיזוי מסלול של עצם שמיימי משלוש תצפיות, והוא מפורסם בשל האינטגרציה של שיטות מתמטיות שונות בו; שיטות סטטיסטיות (כולל ההצגה של "שיטת הריבועים הפחותים") לעידון איטרטיבי של המסלול המחושב, גאומטריות (בעיקר מטריגונומטריה כדורית) ואסטרונומיות שונות. עוד בטרם פרסום הספר, גאוס נעזר בשיטות דומות כדי לסייע באיתור כל שלושת האסטרואידים הבאים שנתגלו: פאלאס, יונו, ווסטה. ההצלחה החוזרת ונשנית הדגימה את יכולות השיטה שלו.

מאמרו מ-1813 על כוח המשיכה שיוצרים אליפסואידים הומוגניים רלוונטי גם הוא לאסטרונומיה ולתורת הכבידה, והוא היווה מרכיב חשוב גם בהתגבשות הרעיונות שלו על תורת הפוטנציאל.

הישג משמעותי לא פחות של גאוס באסטרונומיה היה עבודתו על חישוב מסלולו של פאלאס, שחולף בסמוך לצדק ולכן חווה פרטורבציות משמעותיות, כך שמסלולו רחוק מלהיות קפלרי (אליפטי). במאמרו מ-1818 על חישוב הפרטורבציות של פאלאס, גאוס פיתח כלי מתמטי שנקרא שיטת הטבעת האליפטית (elliptic ring method) המאפשר לחשב בסדר ראשון את הפרטורבציות הלא מחזוריות (פרטורבציות סקולריות) שצדק יוצר במסלולו של פאלאס. המאמר הזה ראוי לציון בנוסף גם בגלל שזהו המאמר היחיד שפורסם בחייו בו גאוס פרסם חלק מעבודתו על הממוצע האריתמטי גאומטרי. בכתביו הלא מפורסמים הוא המשיך את חישוב את מסלולו של פאלאס, וניתן למצוא בהם קטעים מתמטיים ארוכים המתארים את הטכניקות שפיתח. לקראת סוף המאה ה-19, האסטרונום האמריקני George William Hill "עיבד" את שיטתו המורכבת של גאוס כך שתתאים יותר לשימוש אסטרונומי.

אף על פי שגאוס עשה תרומות תאורטיות אחרות לאסטרונומיה, וחישב טבלאות אברציה ונוטציה (ב-1808), שאר עבודתו האסטרונומית של גאוס מייצג, לדעת בני זמנו, מה שהיה בעיקר "בזבוז" של כשרונו.

אנליזה מתמטית[עריכת קוד מקור | עריכה]

אחד הגילויים העצמאים הראשונים של גאוס היה מושג הממוצע האריתמטי-גאומטרי (AGM) של שני מספרים ממשיים חיוביים; המחקר השיטתי שערך על הממוצע הזה הוביל אותו לגלות עולם מתמטי אשר (במילותיו של גאוס עצמו) "כמות האמיתות שניתן לגלות בו גדול לאין שיעור מאשר זה שהפונקציות הרגילות אוצרות בחובן". הוא גילה את הקשר שלו לאינטגרלים אליפטיים בשנים 1798–1799, דרך הטרנספורמציה שגילה באופן עצמאי הנקראת טרנספורמציית לנדן (Landen transformation). אחד החיבורים המרכזיים שלו בקשר לזה הוא לקט של כתבים תחת הכותרת "Arithmetisch Geometrisches mittel". לקט זה ביחד עם מאמרים רבים נוספים, מכיל עושר אדיר של תגליות מתמטיות (שחלקן נתגלו על נילס הנריק אבל וקרל גוסטב יעקב יעקובי רק כרבע מאה מאוחר יותר), ורבות מן התוצאות במאמרים אלה הן בין התוצאות של גאוס בעלות ההשפעה מרחיקת הלכת ביותר על המתמטיקה במאה ה-19 ותחילת המאה ה-20. בין התוצאות במאמרים אלה: תוצאות חשובות על פונקציית הלמניסקטה, על הקשר בין אינטגרלים אליפטיים והממוצע האריתמטי גאומטרי, התגלית שפונקציות אליפטיות הן באופן טבעי פונקציות כפולות-מחזור (Doubly periodic elliptic functions) יחד עם חישוב המחזורים שלהם, שפע של תגליות על פונקציות תטא, ועוד. כמה קטעים מתמטיים בכתבים אלה מראים שגאוס הכיר היטב את היסודות של התאוריה שתושלם בסופו של דבר בעבודתם של פליקס קליין ו-Fricke על תבניות מודולריות. אין זה מקרי, שכן קליין ו-Fricke היו מעורבים מאוד בפרסום הכתבים של גאוס וחקרו את התוצאות של גאוס מקרוב.

גאוס בחייו פרסם כמעט מאום ממה שהשיג על תורת הפונקציות האליפטיות, אולם הוא כן פרסם מאמר שחשף מעט מהרעיונות שלו בנוגע לאובייקט מתמטי קשור - הפונקציה ההיפרגאומטרית. במאמר "Disquisitiones generales circa seriem infinitam" מ-1813, הוא סיפק את הטיפול השיטתי הראשון בפונקציה ההיפרגאומטרית הכללית, אותה הציג באמצעות זהות שקשרה בינם לשברים משולבים עם ערכים מרוכבים. בחיבור גאוס הראה שרבות מהפונקציות המיוחדות המוכרות באותה עת הן מקרה פרטי של הפונקציה ההיפרגאומטרית. מלבד התגליות שבחיבור (הוא כלל למשל, תוצאות על פונקציית גמא), הייתה לו חשיבות גם להתפתחות המתמטיקה הריגורוזית, שכן גאוס תיאר בו מעיין מודל לחקר התכנסות של טורים. בחלקו השני הלא מפורסם של המאמר, ה- "Determinatio serie nostrae per aequationem differentialem secundi ordinis", גאוס נקט בגישה שונה, ואפיין את הפונקציה ההיפרגאומטרית דרך המשוואה הדיפרנציאלית היסודית שהיא מקיימת:

.

מיד לאחר ההצגה של המשוואה הדיפרנציאלית, גאוס מפתח תכונות מיוחדות של הפונקציה כגון ערכיה בנקודות מיוחדות מסוימות וטרנספורמציות שונות שלה. לאחר שבחן את המבנה האנליטי המורכב של הפונקציה, גאוס מעלה לראשונה את בעיית המונודרומיה (monodromy) - ההתנהגות הרב-ערכית היוצאת דופן של הפונקציה ההיפרגאומטרית; כאשר ממשיכים אנליטית את הפונקציה לאורך מסלול סגור מסביב לאחת מנקודות הסינגולריות שלה, ערך הפונקציה משתנה כאשר חוזרים לנקודת ההתחלה. כלומר אין לפונקציה ההיפרגאומטרית ערך "אבסולוטי", אלא רק ערך יחסי התלוי בנקודת ההתחלה, וראיה להבנתו את הבעיה היא שהוא מביא את ההתנהגות של פונקציות טריוגונומטריות הפוכות כמקרה דומה. חלק זה נותן גם אינדיקציה מסוימת לגבי מידת ההבנה שהיה לגאוס את רעיון ההמשכה האנליטית, שכן גאוס בראשונה ניסה להתמודד[6] עם השאלה כיצד להמשיך אנליטית פונקציה מחוץ למעגל ההתכנסות שלה. תלמידו של גאוס, ברנרד רימן, המשיך את הגישה הזאת במאמרו המפורסם על הפונקציה ההיפרגאומטרית, אשר תיאר את ההתנהגות ה-"גלובלית" של הפונקציה דרך הבנייה של משטח רימן שלה וניתוח הקשירות הטופולוגית שלו.

תגלית נוספת שלו מנושא אחר לגמרי היא התפלגות Gauss-Kuzmin, שמופיעה בהערה 113 ביומנו. התגלית העמוקה הזאת מתארת את השכיחות האסימפטוטית של מספרים טבעיים בפיתוח לשבר משולב של משתנה מקרי המתפלג באופן אחיד בקטע (0,1). גאוס כתב ש-:

כאשר ו- מסמלת את פונקציית הרצפה. גאוס כתב כי יש לו הוכחה בהירה לעובדה הזאת, אולם רק בשנת 1928 הצליחו לבנות אותה מחדש. ההערה הזו מרשימה במיוחד לאור העובדה שהיא נכתבה יותר ממאה שנים לפני שכלים מודרניים "חזקים" כמו תורת המידה והתורה הארגודית נוצרו, וכיוון שגאוס לא הותיר הרבה מסמכים הנוגעים לחוק הזה, לא ברור כיצד הוא הגיע לתוצאה זו.

גאודזיה[עריכת קוד מקור | עריכה]

בעבודתו הגאודטית עסק גאוס בפיתוח טכניקות קרטוגרפיות שונות; באיור מוצגת מפה מישורית של הארץ האליפסואידית.
ההליוטרופ של גאוס (משנת 1822).

מתוך עבודתו על הסקר הגאודזי של הנובר צמחו מספר עבודות תאורטיות, שהבולטות שבהן כללו מאמר אחד מ-1828 בו סיכם את רעיונותיו על צורת כדור הארץ, המאמר "מדידת הפרש הגבהים בין אלטונה וגטינגן" (1828) שראוי לציון בזכות השימוש המיומן שנעשה בו ברגרסיה לינארית, והחשוב מכל הוא ספרו "מחקרים על היסודות של גאודזיה גבוהה" (1843 ו-1846) שפורסם בשני כרכים והתבסס על המיפוי הקונפורמי של האליפסואיד לספירה. שתי העבודות היו בעלות השפעה אדירה על התפתחות הגיאודזיה, הן מהצד התאורטי והן מהצד המעשי.

הכרך הראשון של ספרו על גאודזיה עוסק בבעיה הקרטוגרפית של בניית העתקות קונפורמיות של אליפסואיד לכדור, לנוחיות שימושם של גאודזיסטים. כיוון שגאוס כבר הראה שלא ניתן למפות אליפסואיד לכדור בלי עיוותים, השיטה שלו התבססה על מיפוי אזורים קטנים של האליפסואיד לאזורים כדוריים באופן כזה שהעיוות יהיה מינימלי, תוך התאמת הפרמטרים של ההעתקה מחדש בכל קו רוחב של האליפסואיד. הטכניקות בהן גאוס השתמש היו מאנליזה מרוכבת וטריגונומטריה ספירית. הכרך הראשון מסתיים במספר בעיות הקשורות במשולשים כדוריים. הכרך השני של ספרו מוקדש לפתרון של בעיות דומות אלא שהפעם הן מתייחסות למשולשים על אליפסואיד. בעזרת ערכים ממוצעים של קווי רוחב ואזימוט גאוס גזר שש נוסחאות אשר פותרות את הבעיה באופן מכני באמצעות שימוש בטבלאות נומריות שחישב בעצמו. הטכניקות שתיאר היו בשימוש נרחב על ידי גאודזיסטים עד סוף המאה ה-19. ספר זה ביחד עם כתבים אחרים שנמצאו בעזבונו, היווה את הבסיס להעתקת Gauss-Kruger שהתפתחה בשנת 1912, וזכתה למעמד איתן כבסיס לפיתוח כל הרשתות הטופוגרפיות המתחשבות בצורה האליפסואידית של כדור הארץ, ומשום כך אומצה במהלך המאה ה-20 ככלי מיפוי בסקלה גלובלית על ידי מדינות רבות.

תוצר נוסף של מחקרו הגאודטי הוא מאמרו זוכה הפרס של האקדמיה הדנית למדעים שלו משנת 1823 - "פתרון כללי לבעיה של מיפוי משטח אחד על משטח אחר כך שהשניים יהיו דומים זה לזה בחלקיהם הקטנים ביותר" - שעסק בקרטוגרפיה, ובו עסק גאוס בפן המתמטי הטהור יותר של התורה של מיפויים קונפורמיים. במאמר הוא נעזר בהעתקות מרוכבות בין משטחים, כאשר הכלי האנליטי המרכזי שהוא עשה שימוש בו הוא משוואות קושי-רימן. המאמר הציג מספר כלים חזקים שרלוונטיים לבעיה, כמו למשל משוואת בלטרמי (Beltrami equation), שהינה משוואה דיפרנציאלית בה הוא עשה שימוש כדי להוכיח קיום מקומי של קואורדינטות איזותרמיות (isothermal coordinates) על משטח עם מטריקה אנליטית רימנית. מנקודת מבט היסטורית, ניתן למתוח קו ישיר בינו לעבודת הדוקטורט המהפכנית של רימן משנת 1851 (במאמר גאוס כמעט הציע את משפט ההעתקה של רימן, אך הוא עצר על סיפה של תובנה זו), אשר יצרה בסיס גאומטרי אוניברסלי לתורה של פונקציות מרוכבות בדמותם של משטחי רימן.

סטטיסטיקה[עריכת קוד מקור | עריכה]

הטיפול בתצפיות עם שגיאות העסיק את גאוס לראשונה בשנים 1794–1795. מאוחר יותר, עבודתו על בעיות אסטרונומיות אילצה את גאוס בעל כורחו להתעסק עם בעיות סטטיסטיות הקשורות במזעור השפעת שגיאות המדידה על תוצאות החיזוי של תהליכי חישוב אסטרונומיים. בספרו על אסטרונומיה מ-1809, גאוס תיאר לראשונה באופן מלא את ההתפלגות הנורמלית. גאוס בספרו תיאר את שיטת הריבועים הפחותים ושיטת אמידת נראות מרבית, שתיהן שיטות יסודיות ביותר המשמשות רבות בסטטיסטיקה, ועשה בהן שימוש על מנת לנתח נתוני מדידות אסטרונומיות שלעתים סתרו זו את זו. כדי לאמוד את השגיאה של המדידות, גאוס בחר להניח כי הממוצע האריתמטי הוא הערך שממזער את שגיאת המדידה. כלומר, המדידה שמרחקה מן הממוצע האריתמטי הוא המזערי, היא בהסתברות גבוהה הקרובה ביותר לערכים האמתיים. תחת הנחה זו הוא חישב ומצא כי ההתפלגות הנורמלית מתארת את שגיאת המדידה, וסיפק נוסחה של ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית.

מאוחר יותר, גאוס עשה שימוש בכלים הסטטיסטיים שפיתח במסגרת המדידות הגאודטיות שביצע, ואחת מתרומותיו לגאודזיה הניסויית היא זיהוי השגיאות השיטתיות העיקריות במדידת זוויות, כשלאחר מכן הוא הציע אמצעים להעלים את השפעתן. ענף הגאודזיה והמדידה של צורת כדור הארץ היה אזור נוח במיוחד ליישום הכלים החדשים של הסטטיסטיקה אותם פיתח, וזהו היה התחום אשר בו מצא גאוס את אחד היישומים הפוריים והעשירים ביותר של שיטת הריבועים הפחותים שלו, וכתוצאה הוא פרסם את חיבורו משנת 1823 "תאוריה של תחשיב התצפיות המושפע באופן מינימלי משגיאות" בו דן בקלקולוס התצפיות באופן מעמיק. בחיבור זה גאוס פרסם הצדקה חדשה ואיתנה יותר לשיטת הריבועים הפחותים; הוא הוכיח ששיטת הריבועים הפחותים מניבה את האומד חסר ההטיה הלינארי הטוב ביותר, במובן שהשונות שלו היא הנמוכה ביותר מבין כל האומדים הלינאריים חסרי ההטיה. תוצאה יסודית זאת, שנחשבת לאבן הפינה באנליזה המודרנית של רגרסיה, נודעה כמשפט גאוס-מרקוב (העבודה על משפט מרקוב וההוכחה שלו נעשתה מחדש באופן בלתי תלוי על ידי אנדריי מרקוב בשנת 1900, 100 שנה מאוחר יותר). בחיבור זה גאוס גם הציג והוכיח אי שוויון מטיפוס צ'בישב, כמו גם אי שוויון על מומנטים מסדר רביעי של שגיאות (Gauss-winkler inequallity).

במאמרו מ-1816 על הדיוק של אומדים סטטיסטיים, גאוס העריך את הדיוק של אומדים של הנעלמים של מערכת משוואות לינאריות, ושל פונקציות לינאריות של אלו. הוא גם פיתח תהליכים איטרטיביים (שתוארו על ידי דדקינד), והציג שיטות ריבועים פחותים רקורסיביות אשר נחקרו לראשונה לעומק רק לאחרונה.

את העיסוק של גאוס במתמטיקה אקטוארית ניתן לפרש כאחד היישומים של עבודתו בסטטיסטיקה. במשך מספר שנים הוא ניהל את קרנות הפנסיה של אלמנות הפרופסורים באוניברסיטת גטינגן, והתוצרים של פרויקט זה - מספר מאמרים שעוסקים בהיבטים שונים של מתמטיקה פיננסית, היוו הדגמה מופתית ליישום של תורת ההסתברות לאנליזה של בעיות כלכליות. גאוס נעזר בנתוני תמותה מפורטים כדי לבצע את החישובים שלו. אחת התוצאות שלו היא נוסחת התמותה של גאוס (Gauss´s Mortality Formula), מקרה פרטי של התפלגות Gompertz, המתארת את התפלגות תוחלת החיים של אוכלוסיות שונות.

יסודות הגאומטריה; גאומטריות לא אוקלידיות[עריכת קוד מקור | עריכה]

על אף טענותיו של גאוס, שאלת היקף הקרדיט הניתן לו על גילוי הגאומטריות הלא אוקלידיות נתונה למחלוקת בקרב היסטוריוני המתמטיקה. הוא היה הראשון להגיע לרעיון שניתן לוותר על אקסיומת המקבילים ולקבל בכך גאומטריות שונות בתכלית מהגאומטריה האוקלידית. הוא אכן חשף מספר תוצאות משמעותיות על הגאומטריה החדשה במכתביו; הבולטות ביותר שבהן הן במכתבו לגרלינג משנת 1819, בו נתן נוסחה לחישוב החסם על השטח המרבי של משולש בגאומטריה היפרבולית בעלת עקמומיות שלילית קבועה לפי גובהו של המשולש האידאלי המתאים (כש-C הוא הגובה של המשולש, שנקרא גם הקבוע של Schweikart), ומכתבו לשומאכר משנת 1831, שהתוצאה הבולטת שלו היא מתן נוסחה להיקף מעגל בגאומטריה היפרבולית . כתבים אחרים שלו מהתקופה מכילים את המשוואות של הפסאודוספירה (משטח אותו מכנה גאוס "הנגדי של הספירה") - הדוגמה הראשונה למשטח עם עקמומיות שלילית קבועה. בתגובה למכתב של יאנוש בולאי מ-1832 (שדרכו התוודע גאוס לראשונה להישגיו של בולאי), גאוס שלח בפעם הראשונה הוכחות ולא רק תוצאות, ובאופן ספציפי שלח הוכחה סינתטית חדשנית לטענה שהגרעון הזוויתי של משולש בגאומטריה היפרבולית פרופורציונלי לשטח שלו, המתבססת על פירוק משולש אסימפטוטי (דהיינו משולש שסכום זוויותיו אפס מעלות) למשולשים קטנים יותר. במכתב שלו גאוס טבע גם את המונחים "horosphere", "horocycle" ו-"equidistant curve".

אולם אלו היו תוצאות מבודדות בלבד, ועבודתו של גאוס בשנים 1832 - 1790 חסרה את הנפח והשיטתיות שבעבודתם של לובצ'בסקי ובולאי. הפיתוח השיטתי הראשון של תוצאותיו מופיע בכתב יד לא מפורסם שלו שכותרתו טריגונומטריה טרסצנדנטלית, שמתוארך לאחרי 1840, זמן קצר לאחר הפרסום של לובצ'בסקי. ייתכן כמובן שגאוס ידע על תוצאות אלו זמן רב קודם לכן, והחליט לרשמן באופן שיטתי רק לאחר הפרסומים של בולאי ולובצ'בסקי, אך נושא זה נתון לספקולציות בקרב היסטוריונים.

ראויה לציון גם העבודה שעשה על חישוב התכולה (נפח) של הטטראדר במרחב היפרבולי תלת-ממדי; עוד במכתבו מ-1832 ליאנוש בולאי גאוס המליץ לו לעסוק בבעיה של חישוב נפח הטטראדר בגאומטריה החדשה שפיתח, ובכתביו של גאוס נמצאו מספר הערות בנוגע לבעיה הזאת.

בקונטקסט של עבודתו בגאומטריה לא אוקלידית, מאוחר בחייו גאוס ניסח והוכיח את משפט ה-pentagramma mirificum שלו.

גאומטריה דיפרנציאלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

המשפט האלגנטי בגאומטריה היפרבולית; משולש על פני משטח בצורת אוכף. עקמומיות המשטח שלילית ולכן סכום הזוויות במשולש קטן מ-180 מעלות.

הסקר של הנובר עורר בגאוס עניין בגאומטריה דיפרנציאלית, תחום במתמטיקה הדן במשטחים ועקומות. בין השאר, גאוס יצר את המושג של עקמומיות גאוס של משטחים, שהיא המושג המרכזי שגאוס הכניס לתחום. ב-1827, גאוס גילה וניסח משפט מתמטי חשוב ביותר בתחום זה (Theorema Egregium), המקשר בין הרעיון של עקמומיות משטח לגאומטריה של הצורות המתקיימות עליו, כלומר לזוויות ולמרחקים הנמדדים על פני המשטח ולהבדל בין תוצאות המדידות על פני המשטח לבין אלו הנקבעות בגאומטריה אוקלידית, והמשפט ביסס את החשיבות היסודית שיש לעקמומיות גאוס בגאומטריה דיפרנציאלית. הוא פרסם משפט זה ואת מכלול התאוריה שלו על משטחים עקומים בחיבורו מאותה שנה Disquisitiones circa superticies curvas, שהינו יצירתו המרכזית בתחום זה.

תרומתו של חיבור זה לגאומטריה דיפרנציאלית הייתה מהפכנית משום שאפשרה בראשונה לחקור משטחים עקומים מנקודות מבט פנימית, כלומר מנקודת המבט של ישות דו-ממדית המקובעת לפני המשטח. למעט אולי אוילר ומונז', גאוס היה הראשון לחקור משטחים מנקודת מבט פנימית ולא מנקודת מבט קרטזית. חיבורו זה פותח בהצגה של כמה רעיונות מהפכניים שיהפכו להיות מרכזיים בתאוריה של הגאומטריה הפנימית של משטחים (intrinsic geometry) - הוא פותח ברעיון של קואורדינטות עקומות (Curvilinear coordinates) ובהצגת התבנית היסודית הראשונה והשנייה. הרעיונות האלו אפשרו לו להביע את הביטוי לאלמנט המרחק ds על משטח מנקודת מבט פנימית. הביטוי ל-ds, אלמנט האורך על משטח, הוא [7] מבחינה מהותית הצעד הראשון בפיתוח הגאומטריה הרימנית ותורת היחסות הכללית (שם הביטוי הוא לאלמנט מרחק "מרחב-זמני").

ממצאים אחרים שהציג והוכיח בחיבור הזה היו משפטי השוואה בין תכונות מטריות וזוויתיות של מצולעים במישור לאלו של מצולעים על משטח עקום, וביניהם משפט לז'נדר בטריגונומטריה ספירית. החיבור הכיל גם משפט חשוב מאוד נוסף, משפט הקובע שהמגרעת הזוויתית של משולש שווה לאינטגרל על עקמומיות המשטח בתחום המשולש (את המשפט החשיב גאוס לאחד המשפטים החשובים והאלגנטיים ביותר בגאומטריה של משטחים, והוא ייחס לו את השם "Theorema Elegantissimum"). מאוחר יותר, גאוס הכליל בכתבים לא מפורסמים חלק מהתוצאות שב-Disquisitions superticies כדי לכלול גם את המקרה של קווים שאינם גאודזות, וכך הגדיר את המושג מרחיק הלכת של עקמומיות גאודטית (נכלאס, כרך 8, עמודים 386 - 396). במסגרת זו ניסח והוכיח גאוס משפט הידוע כמשפט גאוס-בונה, המקשר בין הגאומטריה של משטח לטופולוגיה, משפט בעל חשיבות בהנחת יסודות הטופולוגיה.

ה-Theorema Egregium[עריכת קוד מקור | עריכה]

ה-Theorema Egregium של גאוס הוא אולי גולת הכותרת של עבודתו בגאומטריה דיפרנציאלית. המשפט מראה שעל אף שההגדרה הראשונית של עקמומיות גאוס עושה שימוש ישיר באופן שבו המשטח משוכן במרחב, היא נשמרת כאשר מעקמים או מפתלים אותו. לכן המשפט מראה שעקמומיות גאוס היא תכונה פנימית של המשטח, וניתנת לחישוב על ידי ביצוע מדידות על גבי המשטח עצמו; למשל מדידת סכום זוויות של משולשים קטנים על המשטח. בכך שהמשפט הדגים כיצד תכונה תלת ממדית ניתנת לחישוב מנקודת מבט דו ממדית (מנקודת המבט של "מטייל" על המשטח), הוא סלל את הדרך למושג היריעה (manifold).

טופולוגיה[עריכת קוד מקור | עריכה]

האינטגרל של גאוס הוא אמצעי אנליטי לחישוב מספר הקישור, שהינו אינווריאנט מספרי שמייצג את דרגת השזירה של שני עקומים סגורים במרחב תלת-ממדי.

אחד ההיבטים הידועים פחות של עבודתו של גאוס הוא שהוא היה גם חלוץ מוקדם של ענף הטופולוגיה, או כפי שנקראה בזמנו, analysis sytus. ההוכחה הראשונה שלו את המשפט היסודי של האלגברה כללה טיעון טופולוגי במהותו. אחד המסמכים משנותיו המוקדמות ביותר מתאר רשימה של קשרים אותה הכין ב-1794, כאשר באותה שנה הוא המציא גם שיטת סימון מיוחדת לקשרים המקודדת בתוכה את התכונות של קשר נתון (Gauss code). מאוחר יותר הוביל גאוס את ענף הטופולוגיה המוקדם בשלוש הזדמנויות שונות, כאשר בכל אחת הוא הגה רעיונות שהפכו למרכזיים בתחום.

ב-1804, בהקשר של חקירותיו באסטרונומיה, עסק גאוס לכאורה בשאלה פרקטית - קביעת התחום השמיימי שבו שביטים ואסטרואידים עשויים להופיע - אותו הוא מכנה zodiacus. בפתרון הבעיה גאוס הצביע על 3 מקרים אפשריים: כאשר המרחק המינימלי של השביט גדול מהמרחק המקסימלי של כדור הארץ מהשמש, ההפך, והמקרה השלישי הוא כאשר מסלול כדור הארץ ומסלול השביט שזורים (linked) זה בזה. במקרים הראשון והשני גאוס מצא את ה-zodiacus, ואילו במקרה השלישי הוא כותב כי מסיבות טופולוגיות התחום השמיימי הוא הספירה כולה. בכך נתעוררה בפעם הראשונה בעיה טופולוגית במחקר אסטרונומי. מאוחר יותר, בהקשר של חקירותיו על גאומטריה דיפרנציאלית ויסודות הגאומטריה, גאוס גילה את משפט גאוס-בונה. לבסוף, גאוס הרים תרומה יוצאת מן הכלל לתורת הקשרים, כאשר ב-1833, בהקשר של חקירותיו באלקטרומגנטיות, הגדיר את מספר הקישור (linking number) ופיתח נוסחה לחשבו בעזרת אינטגרל כפול מתאים (Gauss's linking integral). הבעיה הספציפית אותה פתר עסקה בחישוב העבודה הדרושה כדי להזיז מונופול מגנטי בחוזק מסוים לאורך מסלול סגור בשדה המגנטי המופק על ידי לולאת זרם מסוימת, ובפתרונה הראה שערכה הוא למעשה אינווריאנט טופולוגי, מדד לדרגת השזירה של מסלול המונופול ולולאת הזרם. האינטגרל של גאוס מופיע רבות בפיזיקה מתקדמת, וזכה בעשורים האחרונים להכללה בעבודתו של מקסים קונטסביץ'.

מאוחר יותר, גאוס שב לענף הטופולוגיה מספר פעמים בשנותיו המאוחרות, ושיער השערה מסוימת על מילות גאוס (Gauss's words) שהוכחה לבסוף כמעט כמאה שנה מאוחר יותר, על ידי Julius v. Sz. Nagy. מחברותיו של גאוס מכילים מספר רישומים מעניינים, כמו למשל צמה (braid) עם תיאור המבוסס על קואורדינטות מרוכבות, או שזר (tangle) שפשרו עדיין לא מובן היטב. הערותיו ותוצאותיו בתחום קובצו ברשימה קצרה יחסית בכרך השמיני של הנכלאס שלו. השפעתו בשנותיו האחרונות הייתה בעיקר במתן גירוי ראשוני לתלמידיו לפתח את התחום, וראויה לציון העובדה שיוהאן בנדיקט ליסטינג הקדיש את ספרו על טופולוגיה לגאוס.

אנליזה נומרית[עריכת קוד מקור | עריכה]

בעבודתו היומיומית גאוס נעזר לעתים קרובות באלגוריתמים יעילים כדי לפשט את עבודתו. כיוון שלעתים קרובות הוא נעזר בעדות מספרית אמפירית כדי למצוא חוקיות מתמטית בתחומי המחקר שלו (כמו למשל במקרה של משפט המספרים הראשוניים וההכללות שלו), השימוש באלגוריתמים יעילים היה חשוב מאוד לו. בהקשר זה, גאוס עשה תרומות רבות לאנליזה נומרית והמציא אלגוריתמים מתמטיים רבים. ב-1814 הוא פרסם את מאמרו הארוך יחסית על אינטגרציה נומרית "שיטה חדשה לחישוב ערכי אינטגרלים על ידי קירוב", בו תיאר את שיטת התרבוע הגאוסיאנית (Gaussian quadrature). המאמר היווה השראה עבור חוקרים רבים בתחום להמשיך לפתח את הכלים של האינטגרציה הנומרית. בהקשר של חקירותיו על הממוצע האריתמטי גאומטרי, הוא המציא את אלגוריתם גאוס-לז'נדר, שיצר (יחד עם תרומות של חוקרים רבים אחרים) את הבסיס לכמה מהאלגוריתמים המהירים ביותר כיום לחישוב פאי.

בהקשר של עבודתו האסטרונומית, גאוס פיתח במאמרו "Theoria Interpolationis Methodo Nova Tractata" מ-1805 את הגרסה המוקדמת ביותר של ה-FFT (אלגוריתם ה-Fast Fourier Transform) - התמרת פורייה מהירה, שתואר כ-"אלגוריתם הנומרי החשוב ביותר של זמננו" . הוא נעזר באלגוריתם זה כדי לעשות אינטרפולציה בין מסלוליהם של פאלאס ויונו. הישגים אחרים שלו כוללים פיתוח אלגוריתם יעיל לחישוב לוגריתמים, המבוסס על הממוצע האריתמטי גאומטרי, שיחד עם עבודתו של Z. Leonelli יצר את הבסיס למה שנקרא LNS - או Logarithmic number system. עבודתו בתחום הוקרה בכך שקראו לטכניקות מסוימות לחישוב לוגריתמים בשם "Gaussian logarithms".

הישגים מתמטיים אחרים[עריכת קוד מקור | עריכה]

עבודתו של גאוס לא רק התניעה התפתחות של תאוריות מתמטיות גדולות, אלא שהוא היה גם המחבר של נישות רבות במתמטיקה, במיוחד בגאומטריה אלמנטרית ובאלגברה. בעיסוקו גם בתחומים אלה, עזר להפיץ הרעיונות המתמטיים החדשים של התקופה; באמצעות הדגמה כיצד הם "מאירים" ומקצרים את הדרך בפתרון בעיות מסוימות. בהקשר זה, גאוס השתמש במספרים מרוכבים במסגרת עבודתו על פרספקטיבה וגאומטריה פרויקטיבית - הוא ניסח והוכיח את המשפט היסודי של אקסונומטריה נורמלית (fundamental theorem of normal axonometry), העוסק בהטלות של גוף תלת ממדי על מישור, גם כן באמצעות שימוש במספרים מרוכבים (ראו פונקציות מרוכבות). הישגים אחרים שלו בגאומטריה אלמנטרית כוללים הצגת טכניקות משופרות לפתרון בעיות גאומטריות כמו בעיית אפולוניוס, הצגת נוסחת גאוס לחישוב שטח מחומשים, והגילוי של משפט Bodenmiller. הוא תרם גם לפרקטיקה של ניווט בעזרת כוכבים, והשתמש בטכניקות מטריגונומטריה ספירית כדי לפתור בעיות ניווטיות שונות. באלגברה, הוא עשה ב-1828 את ההתקדמות המשמעותית הראשונה על כלל הסימנים של דקארט.

פיזיקה[עריכת קוד מקור | עריכה]

אלקטרומגנטיות[עריכת קוד מקור | עריכה]

גאוס ניסח את חוק גאוס באלקטרוסטטיקה (שמהווה מקרה פרטי של משפט גאוס באנליזה וקטורית), אחד החוקים הבסיסיים והחשובים ביותר בתחום זה, כמו גם את חוק גאוס במגנטיות. ב-1833 הוא גילה את חוקי קירכהוף על מעגלים מסועפים, ומאוחר יותר ביסס את עקרון כמות החום המינימלית (principle of minimum heat), שגם הוא נתגלה באופן בלתי תלוי על ידי קירכהוף. בנוסף, גאוס נתן הוכחה מדויקת של הזהות של אפקטים חשמליים הנגרמים על ידי חיכוך לאלו שנגרמים על ידי זרמים גלוואניים וכוחות תרמואלקטריים.

מוקד העניין המרכזי של גאוס בחקר האלקטרומגנטיות היה חקר חוקי האינדוקציה (השראות), והוא גילה במחקריו תוצאות ניסוייות ותאורטיות רבות בתחום. אולם השיא של עבודתו של גאוס באלקטרומגנטיות עסק באלקטרודינמיקה, ובעוצמה של כוחות אלקטרודינמיים. גאוס היה מסוגל לרשום את המשוואות הכלליות המתארות את האינטראקציה האלקטרומגנטית בין מטענים נעים - חוק האלקטרודינמיקה שניסח מהווה הכללה של חוק קולון למטענים נעים. כפי שגאוס עצמו הבחין, משוואת האלקטרודינמיקה שנתן מפרה את חוק שימור האנרגיה בעבור תנועות כלליות (תנועות מואצות), והעיר נכונה כי הנוסחה צריכה לכלול גם את האפקט של איבוד אנרגיה (retardation) עקב קרינה אלקטרומגנטית. מאוחר יותר הכליל ובר את משוואות האלקטרודינמיקה של גאוס גם למקרה של מטענים מואצים, כדי לכלול את ההשפעה של קרינה אלקטרומגנטית הנוצרת על ידי מטען אחד על המטען השני, ותמונת גאוס - ובר של האלקטרודינמיקה עודנה התיאור השלם ביותר של האלקטרודינמיקה הקלאסית.

גאומגנטיות[עריכת קוד מקור | עריכה]

עבודתו של גאוס הובילה ליצירת האטלס המגנטי הראשון של כדור הארץ - מעיין מפה המכילה מידע על עוצמת השדה המגנטי והנטייה המגנטית בכל נקודה על כדור הארץ.

גאוס פיקח על בנייתו של מתקן מגנטי במצפה הכוכבים, ויחד עם ובר ייסד את magnetischer Verein ("המועדון המגנטי") אשר תמך במדידות של השדה המגנטי של כדור הארץ באזורים שונים, והניב את ה-"אטלס המגנטי" הראשון של כדור הארץ. גאוס נעזר בכלי המתמטי שהומצא כמה עשורים קודם לכן על ידי פייר סימון לפלס, ההרמוניות הספריות, כדי לייצג את השדה המגנטי של כדור הארץ. באמצעות שימוש בכלים המתמטיים של ההרמוניות הספריות ושיטת הריבועים הפחותים שלו, גאוס הצליח להוכיח כי מקור השדה המגנטי של כדור הארץ הוא פנימי, והתאוריה המתמטית שלו אפשרה להפריד בין המקור הפנימי (הגלעין והקרום) והחיצוני (מגנטוספירה) של השדה המגנטי של כדור הארץ, ולחשב איזה חלק של השדה נתרם על ידי הגלעין. גאוס אף הצליח להצביע על המיקום המדויק של הקטבים המגנטיים של כדור הארץ משיקולים תאורטיים.

עבודתו בתחום הגאומגנטיות הובילה אותו לעסוק בתחום מתמטי טהור שיונק רבות מהפיזיקה אולם מהווה ענף מתמטי העומד בזכות עצמו - תורת הפוטנציאל (potential theory). במאמרו "Allgemeine Lehrsatze" משנת 1840, אשר סיים את פעילותו המחקרית בפיזיקה תאורטית, הוא סיפק את הטיפול השיטתי הראשון בתורת הפוטנציאל - תחום במתמטיקה העוסק בחקר פונקציות שמקיימות את משוואת לפלס (ונקראות פונקציות הרמוניות), אשר צמח מתוך בעיות פיזיקליות באלקטרוסטטיקה ותורת הכבידה והוכיח חשיבות עצומה בעבודותיו בפיזיקה של גאוס. גאוס הוא שטבע את המונח "פוטנציאל" (באופן בלתי תלוי בגרין, שניהם גזרו את השם מסכולסטיקה ימי ביניימית). במאמר, גאוס הראה שעל אף המקור הפיזיקלי השונה של תופעות שונות, התיאור המתמטי שלהם נשען על גוף זהה של משפטים מתמטיים, זיהה את הצורך במשפטי קיום כלליים בתחום, והציב סטנדרטים של ריגורוזיות שנותרו בלתי משופרים במשך יותר ממאה אחרי פרסומו. במאמר גאוס סיפק[8] הוכחה ריגורוזית ראשונה למשוואת פואסון המתארת את הפוטנציאל החשמלי גם במרחב שאינו ריק ממטענים (בניגוד למשוואת לפלס). המאמר סיפק בסיס ריגורוזי חדש לתורת הפוטנציאל, ופיתח את התחום משמעותית מעבר להתקדמויות שנעשו על ידי דמויות מפתח קודמות בתחום כגון ז'וזף לואי לגרנז', פייר סימון לפלס, סימאון דני פואסון וג'ורג' גרין (עבודתו של גרין הייתה מקבילה לזו של גאוס). הוא הציג כלים כלליים חדשים באנליזה וקטורית כמו משפט הדיברגנץ של גאוס, יחד עם משפטים מקוריים חשובים לאפיון פונקציות הרמוניות כגון משפט הערך הממוצע של גאוס ועקרון המקסימום. אחד העקרונות החשובים שגאוס זיהה במאמר הוא עקרון דיריכלה, עקרון היוריסטי חשוב שגאוס לא נתן לו הוכחה (הצדקה לעקרון ניתנה רק במאה ה-20), אבל שהפך לעקרון מנחה בעבודות רבות מאוחרות יותר בתורת הפוטנציאל.

מכניקה[עריכת קוד מקור | עריכה]

גאוס עשה גם תרומות אחדות לבעיות ממכניקה קלאסית. ב-1803, גאוס היה נתון בתחרות עם לפלס בנוגע לחישוב הסטייה האופקית של גוף המופל ממגדל בגובה h, בעיה שלפתרון שלה יש יישומים למשל, בבליסטיקה. שניהם עסקו בבעיה בקונטקסט של הוכחה לסיבוב כדור הארץ (proof of earth rotation). גאוס ולפלס שניהם הגיעו לאותה נוסחה להסטה האופקית, במה שהפך לאנליזה התלת-ממדית הראשונה של תנועה ממערכת ייחוס מסתובבת, שראויה לציון כי היא נעשתה כ-30 שנה לפני עבודתו של גספאר גוסטב קוריוליס בתחום. הנוסחה שלהם היא:

כאשר היא המהירות הזוויתית של סיבוב כדור הארץ ו- הוא קו הרוחב. הנוסחה אפשרה לשניהם לחזות סטייה אופקית של 8.8mm עבור הפלה ממגדל בגובה של 90 מטר בקו הרוחב בו נעשה הניסוי, כאשר הערך שנמדד בפועל היה 8.5mm. בהמשך חייו עסק גאוס בבעיות מכניות נוספות הקשורות בסיבוב כדור הארץ.

גאוס עשה גם תרומה תאורטית למכניקה קלאסית באמצעות עקרון האילוץ המינימלי (Gauss's principle of least constraint) שלו, שאפשר לתת ניסוח וריאציוני חדש של המכניקה הקלאסית. העקרון דומה ברוחו לעקרון המילטון על פעולה מינימלית, שהופיע מאוחר יותר. גאוס כתב כי את ההשראה לנסח את העקרון הוא קיבל מבעיות של קפילריות דינמית, דהיינו הדינמיקה של יריעות קפילריות (בעלות מתח פנים). אף כי גאוס בחייו לא עסק בבעיות קפילריות דינמיות (אלא רק בבעיות סטטיות; בחיבורו על נימיות), ניתן ליישם את העקרון שלו לבעיות כאלו. לעקרון יש שימושים בניסוחים מסוימים של מכניקה אנליטית, ובמספר תחומים טכנולוגיים.

קפילריות[עריכת קוד מקור | עריכה]

בחיבורו החשוב על קפילריות מ-1831 "Principia generalia theoriae figurae fluidorum in statu aequilibrii", גאוס עסק בבעיית שיווי המשקל של נוזלים מנקודת מבט שונה משל קודמיו תומאס יאנג ופייר סימון לפלס. אף כי רוב התוצאות בחיבור הן למעשה לא חדשות אלא אודות ליאנג ולפלס, הוא העניק לתחום בסיס מדעי "איתן" יותר וחופשי מהיפותזות. החיבור מפורסם בשל הביקורת שלו כלפי השיטות של יאנג ולפלס, שביססו את פיתוחיהם על היפותזות לא מבוססות על אופי כוחות המשיכה הבין-מולקולריים של הנוזל, ובפרט על גזירת משוואת יאנג-לפלס. בחיבור הוא נקט בגישה "אנרגטית", הגדיר את כוחות הקוהזיה והאדהזיה (בין נוזל למוצק) כאנרגיה לשטח, וגזר את משוואת יאנג לפלס ואת הנוסחה לזווית ההרטבה (wetting angle) מנקודת מבט וריאציונית, באופן שפתח צוהר ליישומים תאורטיים מתקדמים יותר; למשל הוא הצביע על כך שמשוואת יאנג לפלס משקפת את העובדה שמשטח היציבות הוא משטח מינימלי (minimal surface) בעל עקמומיות ממוצעת (mean curvature) קבועה.

כיוון שפתרון הבעיות בחיבור מבוסס על קבלת מינימום לאנרגיה של המערכת אודות למתח הפנים, האדהזיה והכבידה, הוא מעניין מאוד גם מבחינה מתמטית, שכן הוא הציג את הפתרון הראשון לבעיה וריאציונית המערבת אינטגרלים כפולים, תנאי שפה וגבולות משתנים; מבחינה מעשית הבעיה בחיבור כרוכה בהבאה למינימום של הביטוי הבא לאנרגיה:

גאוס חוקר בחיבור מזווית מתמטית גם את תצורות פני הנוזל המתקבלות בכלי קיבול בעלי צורה מורכבת ולא פשוטה.

אישיות[עריכת קוד מקור | עריכה]

גאוס היה דתי אדוק ואדם שמרן. הוא תמך במונרכיה והתנגד לנפוליאון. כמו כן היה פרפקציוניסט נלהב ומסור לעבודתו. לפי אייזק אסימוב, גאוס הופרע פעם באמצע תהליך פתרון בעיה וסופר לו שאשתו גססה. נטען כי תשובתו של גאוס הייתה: "תגיד לה לחכות רגע עד שאסיים". אנקדוטה זו נידונה בקצרה בביוגרפיה של גאוס שנכתבה על ידי וולדו דונינגטון: "Gauss, Titan of Science", ובה נטען כי זהו סיפור מפוקפק.

המוטו האישי של גאוס היה "pauca sed matura" - מעט, אך בשל. בהתאם לכך הוא התמיד בסירובו לפרסם עבודות אותן לא החשיב למושלמות ומעל לכל ביקורת, והעדיף ללטש עבודות גמורות שוב ושוב. מחקר של יומניו הפרטיים חושף כי למעשה הוא גילה מושגים ומשפטים מתמטיים רבים שנים ואף עשורים לפני שנתגלו באופן בלתי תלוי על ידי אחרים. היסטוריון המתמטיקה הידוע אריק טמפל בל העריך שאם גאוס היה מפרסם את כל תגליותיו בזמנו, המתמטיקה הייתה מתקדמת בלמעלה מ-50 שנה.

גאוס היה ידוע ביכולתו המדהימה לחישוב בעל פה. כאשר נשאל איך הצליח לחזות את מסלולו של קרס בכזו דייקנות הוא ענה: "השתמשתי בלוגריתמים". השואל רצה לדעת איך הוא מסוגל לשלוף במהירות כל כך הרבה מספרים גדולים מהסתכלות בטבלאות, גאוס ענה: "להסתכל בהם? אני פשוט מחשב אותם בראש".

יחסיו של גאוס עם מתמטיקאים אחרים היו נתונים לביקורת: לעתים נדירות, אם בכלל, שיתף פעולה עם מתמטיקאים אחרים ונחשב למרוחק ומסוגר על ידי רבים. נאמר עליו שהוא נכח אך ורק בכינוס מדעי אחד, שהתקיים בברלין ב-1828. גאוס סירב בדרך כלל להציג את האינטואיציה שמאחורי ההוכחות שלו, שהיו לעתים קרובות אלגנטיות מאוד. גישה זו מוסברת במלואה אך בקצרה על ידי גאוס עצמו ביצירתו "Disquisitiones Arithmeticae", בה הוא מכריז כי על הדרך לפתרון הבעיה להיות תמציתית. כמו כן נטען כי גאוס לא תמך במתמטיקאים הצעירים שהמשיכו בעקבותיו. אף על פי שלימד מספר תלמידים, היה ידוע בשנאתו להוראה. למרות זאת, כמה מתלמידיו נעשו למתמטיקאים רבי השפעה, ביניהם ריכרד דדקינד, ברנרד רימן ופרידריך בסל. גאוס אף ניהל חליפת מכתבים ארוכת שנים עם סופי ז'רמן והמליץ עליה לשם קבלת תואר כבוד מאוניברסיטת גטינגן.

כתחביבים עסק גאוס ותרם לקריסטלוגרפיה (ואף פרסם חיבור על נושא זה), ביוסטטיסטיקה, מדע אקטוארי וכן התעניין במינרלוגיה ובוטניקה. תחום עניין מעט יוצא דופן מבחינת פועלו של גאוס, הוא חקר האפשרות של קיום צורות חיים נבונות מחוץ לכדור הארץ. הוא היה הראשון שהעלה רעיון להעביר מסר אופטי ליצורים חוצניים (על תקשורת רדיו לא דובר אז, שכן היה זה הרבה לפני גילוי גלי הרדיו): לנטוע במדבר סהרה שטח מוריק בן מאות קמ"ר בצורה של תרשים משפט פיתגורס, ואם יבחינו בו יצורים חוצניים, יבינו כי לא נוצר במקרה אלא על ידי יצורים תבוניים אחרים וייצרו קשר עם בני האדם באופן כלשהו.

הנצחת שמו[עריכת קוד מקור | עריכה]

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • Gauss, Carl Friedrich (1965). Disquisitiones Arithmeticae, tr. Arthur A. Clarke, Yale University Press. ISBN 0-300-09473-6.
  • Dunnington, G. Waldo. (June 2003). Carl Friedrich Gauss: Titan of Science. The Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-547-X.
  • Hall, T. (1970). Carl Friedrich Gauss: A Biography. Cambridge, MA: MIT Press. ISBN 0-262-08040-0.
  • Asimov, I. (1972). Biographical Encyclopedia of Science and Technology; the Lives and Achievements of 1195 Great Scientists from Ancient Times to the Present, Chronologically Arranged.. New York: Doubleday.
  • Simmons, J. (1996). The Giant Book of Scientists: The 100 Greatest Minds of All Time. Sydney: The Book Company.

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ באוגוסט 2006 הוחלט לשנות את סיווגו של קרס לכוכב לכת ננסי
  2. ^ קישור לאתר שמכיל אילוסטרציה של המשפט מופיע פה, בפרק: Preliminary Report, סעיף: Sufficient Harmony[1]
  3. ^ On the cruelty of really teaching computing science
  4. ^ Carl Friedrich Gauss: Titan of Science [2]
  5. ^ [3]
  6. ^ Linear Differential Equations and Group Theory from Riemann to Poincare [4]
  7. ^ GAUSS AS A GEOMETER[5]
  8. ^ Mathematical Thought From Ancient to Modern Times [6]