מספר ציקלי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
באופן ויזואלי מתקבלות מכפלותיו של מספר ציקלי (מעגלי) על ידי סידור ספרותיו במעגל וסיבוב המעגל

מספר ציקליבסיס נתון) הוא מספר שלם בן n ספרות באותו בסיס, שכל כפולה שלו במספר קטן מ-n מתקבלת על ידי העברת ספרות מראש המספר אל זנבו. למספרים ציקליים קשר לשברים עשרוניים מחזוריים.

המספר הציקלי הקטן ביותר (בבסיס B=10) הוא 142857; אכן, הכפולות של המספר הזה הן 285714, 428571, 571428, 714285 ו-857142, כולן סיבובים של המספר עצמו. מספרים ציקליים גדולים יותר, כמו המספר הציקלי 0588235294117647, פותחים בכמה אפסים מובילים.

יש נוסחה המאפשרת לכתוב את כל המספרים הציקליים. לכל מספר ראשוני p זר ל-10, יש למספר 10 סדר בחבורת אוילר של p. הסדר הזה הוא t החיובי הקטן ביותר כך ש- 10^t \equiv 1 \pmod{p}. לפי משפט אוילר, הסדר של 10 תמיד מחלק את p-1. אומרים ש-10 יוצר של חבורת אוילר (של p) אם הסדר שלו הוא הערך המקסימלי האפשרי, כלומר p-1.

מתברר שכל מספר ציקלי עשרוני הוא מהצורה  \frac{10^{p}-1}{p} (והכפולות של מספר זה) כאשר p ראשוני זר ל-10, שעבורו 10 הוא יוצר של חבורת אוילר מסדר p. המספרים הציקליים הראשונים מתקבלים עבור p=7,17,19,23,29,47,59,61. אם 10 אכן יוצר את חבורת אוילר של p, אז ההצגה העשרונית של  \frac{1}{p} היא מחזורית, עם מחזור באורך p-1 המהווה בעצמו מספר ציקלי. כך למשל  \frac{1}{7} = 0.142857142857....

אם 10 אינו יוצר של חבורת אוילר, כמו במקרה של p=13, שעבורו הסדר הוא 6 משום ש- 10^6-1 = 76923\cdot 13, מתקבל מספר "ציקלי למחצה": כל תמורה ציקלית של 076923 היא כפולה של המספר הזה, אבל לא כל כפולה היא תמורה ציקלית.