בסיס (אריתמטיקה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, בסיס (Radix) הוא תחום הספרות הנמצא ביסודה של שיטת ספירה מבוססת מיקום.

הבסיס המקובל לספירה הוא בסיס 10 (הבסיס העשרוני), המשתמש בספרות 0 עד 9. משערים שמקורו של בסיס זה במספר אצבעות הידיים ששימשו כדי להציג מספרים ולחשב אותם. העקרון בכל שיטת ספירה הוא שערכה של ספרה ברצף כלשהו של ספרות נקבע על פי המיקום שלה ברצף. לדוגמה, בבסיס העשרוני, אנו קוראים לספרה הראשונה משמאל לנקודה העשרונית ספרת האחדות, לשנייה ספרת העשרות, לשלישית ספרת המאות וכו'. בדומה, לספרה הראשונה מימין לנקודה העשרונית אנו קוראים ספרת העשיריות, לשנייה ספרת המאיות וכו'.

בבסיס העשרוני מוצג כל מספר, למעשה, כסכום של חזקות של 10. למשל, המספר 1,035.43 מוצג כך:

\!\,1\times 10^3+0\times 10^2+3\times 10^1+5\times 10^0+4\times 10^{-1}+3\times 10^{-2} = 1,035.43

אולם אין שום דבר "קדוש" במספר 10 דווקא - ניתן לבחור כל מספר טבעי (גדול מ-1) כבסיס לספירה. כך, למשל, בסיס 7 משתמש בספרות 0 עד 6, ומספרים בבסיס זה ניתנים לייצוג באמצעות חזקות של 7. משמעותו של המספר 1,035.437 (האינדקס 7 מציין שזהו מספר בבסיס 7) היא:

\!\,1\times 7^3+0\times 7^2+3\times 7^1+5\times 7^0+4\times 7^{-1}+3\times 7^{-2} = 1,035.43_7

העקרון בספירת מבסיס מסוים k, הוא שכל המספרים מוצגים באמצעות k ספרות שונות בלבד. לדוגמה, בבסיס 2 (בסיס בינארי) קיימות שתי ספרות - 0,1 שבאמצעותן ניתן לייצג כל מספר. במעבר מבסיס כללי K כלשהו לבסיס עשרוני, תיוצג המילה  \ a_n a_{n-1} a_{n-2} ... a_0 .a_{-1} a_{-2} ... a_m כך:

 \ a_n \times k^n+a_{n-1} \times k^{n-1}+a_{n-2} \times k^{n-2} + ... + a_0 \times k^0 + a_{-1} \times k^{-1}+ a_{-2} \times k^{-2}+ ... +a_{-m} \times k^{-m}.

באלקטרוניקה ספרתית ובפרט במחשבים משתמשים בדרך כלל בבסיס 2 (בסיס בינארי) בו יש משמעות לספרות 0 ו-1 בלבד, מכיוון שקל יותר לתכנן מעגלים בעלי שתי רמות לוגיות בלבד (המיצגות מתח נמוך ומתח גבוה, בהתאמה).

מכיוון שהיצוג הבינארי של מספרים הוא ארוך ואינו נוח לשימוש אנושי, ומאידך, ההמרה בינו ובין הבסיס העשרוני אינה נוחה, משתמשים מתכנתי מחשבים, בדרך כלל, בבסיס האוקטלי בן 8 הספרות (23) (0 עד 7) או בבסיס ההקסדצימלי בן 16 הספרות (24) (מיוצגות על ידי הספרות 0 עד 9 והאותיות A עד F).

הבבלים הקדמונים נהגו להשתמש בבסיס 60 (בסיס סקסגסימלי), ששרידים ממנו מופיעים בחלוקת השעה ל-60 דקות וחלוקת הדקה ל-60 שניות, וכן בחלוקת המעגל ל-360 (60×6) מעלות. כדי להימנע מהצורך בשימוש ב-60 ספרות שונות, הם השתמשו בנוסף בשיטת ספירה משנית, של שני סימנים - אחד לעשרות ואחד ליחידות.

מרבית תכונות המספרים הנחקרות במתמטיקה, כגון ראשוניות, אינן תלויות בבסיס שבו נכתב המספר. תוצאותיהן של ארבע פעולות החשבון אף הן אינן תלויות בבסיס שבו נכתב המספר. תכונות מסוימות, כגון היותו של המספר מספר קפרקר, מספר ליישרל או היותו של המספר שבר בעל הצגה סופית כשבר עשרוני, תלויות בבסיס שבו נכתב המספר (לתכונות כאלה לא מיוחסת חשיבות רבה, משום שאינן עוסקות במאפיין מהותי של המספר, אלא במאפיין התלוי בייצוג מסוים שלו).

התלות של צפיפות רישום המידע בבסיסה של שיטת ספירה[עריכת קוד מקור | עריכה]

הצפיפות הגדולה ביותר מושגת, כאשר משתמשים בשיטת ספירה מיקומית עם בסיס לא שלם השווה למספר e. מתוך שיטות הספירה עם בסיס שלם הצפיפות הגדולה ביותר מושגת בבסיס 3. הבסיסים 2 ו- 4 מחלקים בינם את המקום השני. לשאר הבסיסים יש צפיפות נמוכה יותר.

באופן כללי הנוסחה לצפיפות רישום המידע היא \ \ln b / b, כלומר לוגריתם טבעי של בסיס שיטת הספירה חלקי הבסיס עצמו.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]


ספרות

ספרות הודיות-ערביותספרות ערביותספרות ארמניותספרות בבליותספרות ברהאמיניותספרות אטרוסקיותספרות עבריותספרות חמרספרות יווניותספרות אטיקותספרות יפניותספרות מאיהספרות מצריותספרות סיניותספרות סוג'ואוספרות קוריאניותספרות קיריליותספרות רומיות

בסיסי ספירה

בסיס אונריבסיס בינאריבסיס אוקטליהשיטה העשרוניתבסיס דואודצימליבסיס הקסדצימליבסיס ויגסימליבסיס סקסגסימלי