בסיס (אריתמטיקה)

במתמטיקה, בסיס (Radix) הוא תחום הספרות הנמצא ביסודה של שיטת ספירה המבוססת מיקומן של הספרות במספר (שיטת הפוזיציה).

רקע היסטורי

בשיטות ספירה קדומות, כגון ספרות עבריות, אין משמעות למיקומה של הספרה במספר. בספרות רומיות יש משמעות מצומצמת למיקום. דוגמה: הספרה I משמעותה תמיד 1, והספרה V משמעותה תמיד 5, אך המספר VI משמעותו 6 ואילו המספר IV משמעותו 4. הספרות הבבליות (בבסיס 60) הן שיטת הספירה הראשונה שבה ניתנה משמעות למיקום של הספרה במספר. אף ששיטת ספירה המבוססת על מיקום זקוקה לסימן מיוחד שייצג את 0, סימן כזה הוכנס לשימוש בספרות הבבליות רק בשלב מאוחר. עד אז הושאר רווח באמצע המספר כדי לציין אפס, וכאשר האפסים היו בתחילת המספר לרוב ניתן היה להבין זאת מההקשר. השימוש בערכי מיקום היה התפתחות חשובה מאוד מבחינה מתמטית, שכן שיטות שאינן משתמשות בערכי מיקום זקוקות לרוב לסימנים רבים כדי לייצג מספרים בגודל בינוני ומעלה (כך למשל, בשיטת הספרות העבריות יש 22 סימנים, ואילו בשיטת הספרות הרומיות גם מספרים בינוניים יחסית עלולים להיכתב על ידי סדרה ארוכה של סימנים). הבבלים התגברו על הצורך להשתמש בסימן שונה לכל אחת מ-60 הספרות הדרושות לשיטה על ידי כך שהשתמשו במערכת ספירה משנית, המבוססת על קיבוץ: היה להם סימן אחד עבור 1 וסימן אחד עבור 10, וכל אחד מהמספרים בין 1 ו-59 יוצג על ידי כתיבת המספר המתאים של הסימנים. השפעתה של שיטת הספירה הבבלית ניכרת בחלוקת השעה ל-60 דקות ובחלוקת הדקה ל-60 שניות.

ספרות הודיות-ערביות הן שיטת הספירה המקובלת בימינו, השיטה העשרונית (בבסיס 10), שבה ערכה של ספרה נקבע לפי מיקומה במספר. הספרות ההודיות-ערביות התפתחו מהספרות הברהאמיניות, כאשר הסימן לספרה 0 הומצא בהודו בסביבות המאה ה-6. הספרות ההודיות והשיטה העשרונית אומצו על ידי הערבים בסביבות המאה ה-8, בין השאר, בעקבות ספר שפרסם המתמטיקאי הפרסי מוחמד אבן מוסא אל-ח'ואריזמי בשנת 825. לאירופה הגיעו הספרות רק במאה ה-11, דרך אנדלוסיה, כאשר התיעוד הראשון לשימוש בהן נעשה על ידי המלומד ז'רבר (גרבר) מאורייאק, לימים האפיפיור סילבסטר השני, בשלהי המאה העשירית. דחיפה נוספת לשימוש באירופה בספרות אלה נתן פיבונאצ'י בספרו ספר החשבונייה (Liber abbaci), שפורסם בשנת 1202.

בשיטת הפוזיציה פעולות החשבון פשוטות במידה ניכרת מאשר בכל מערכת מספרים ישנה יותר. דבר זה הוביל להתפשטות מהירה של שיטת הפוזיציה כאשר היא הוצגה במערב אירופה.

לאחר המהפכה הצרפתית (1789–1799), קידמה ממשלת צרפת החדשה את הרחבת השיטה העשרונית. חלק מהמאמצים הללו למען השיטה העשרונית - כמו זמן עשרוני ולוח שנה עשרוני - לא צלחו. מאמצים צרפתיים אחרים למען השיטה העשרונית - עשרוניזציה של מטבעות ומדידת משקלים ומידות (מעבר לשיטה המטרית) - התפשטו באופן נרחב מצרפת כמעט לכל העולם.

מאפיינים

הבסיס המקובל לספירה הוא בסיס 10 (הבסיס העשרוני), המשתמש בספרות 0 עד 9. משערים שמקורו של בסיס זה במספר אצבעות הידיים ששימשו כדי להציג מספרים ולחשב אותם. העיקרון בכל שיטת ספירה הוא שערכה של ספרה ברצף כלשהו של ספרות נקבע על פי המיקום שלה ברצף. לדוגמה, בבסיס העשרוני, אנו קוראים לספרה הראשונה משמאל לנקודה העשרונית ספרת האחדות, לשנייה ספרת העשרות, לשלישית ספרת המאות וכו'. בדומה, לספרה הראשונה מימין לנקודה העשרונית אנו קוראים ספרת העשיריות, לשנייה ספרת המאיות וכו'.

בבסיס העשרוני מוצג כל מספר, למעשה, כסכום של חזקות של 10. למשל, המספר 1,035.43 מוצג כך:

$\!\,1\times 10^{3}+0\times 10^{2}+3\times 10^{1}+5\times 10^{0}+4\times 10^{-1}+3\times 10^{-2}=1,035.43$

אולם אין שום דבר ייחודי במספר 10 דווקא - ניתן לבחור כל מספר טבעי (גדול מ-1) כבסיס לספירה. כך, למשל, בסיס 7 משתמש בספרות 0 עד 6, ומספרים בבסיס זה ניתנים לייצוג באמצעות חזקות של 7. משמעותו של המספר 1,035.43₇ (האינדקס 7 מציין שזהו מספר בבסיס 7) היא:

$\!\,1\times 7^{3}+0\times 7^{2}+3\times 7^{1}+5\times 7^{0}+4\times 7^{-1}+3\times 7^{-2}=1,035.43_{7}$

העיקרון בספירה באמצעות בסיס מסוים k, הוא שכל המספרים מוצגים באמצעות k ספרות שונות בלבד. לדוגמה, בבסיס 2 (בסיס בינארי) קיימות שתי ספרות - 0,1 שבאמצעותן ניתן לייצג כל מספר. במעבר מבסיס כללי K כלשהו לבסיס עשרוני, תיוצג המילה $\ a_{n}a_{n-1}a_{n-2}...a_{0}.a_{-1}a_{-2}...a_{m}$ כך:

$\sum _{i=(m)}^{n}a_{i}\times k^{i}$.

באלקטרוניקה ספרתית ובפרט במחשבים משתמשים בדרך כלל בבסיס 2 (בסיס בינארי) בו יש משמעות לספרות 0 ו-1 בלבד, מכיוון שקל יותר לתכנן מעגלים בעלי שתי רמות לוגיות בלבד (המייצגות מתח נמוך ומתח גבוה, בהתאמה).

מכיוון שהיצוג הבינארי של מספרים הוא ארוך ואינו נוח לשימוש אנושי, ומאידך, ההמרה בינו ובין הבסיס העשרוני אינה נוחה, משתמשים מתכנתי מחשבים, בדרך כלל, בבסיס האוקטלי בן 8 הספרות (2³) (0 עד 7) או בבסיס ההקסדצימלי בן 16 הספרות (2⁴) (מיוצגות על ידי הספרות 0 עד 9 והאותיות A עד F).

הבבלים הקדמונים נהגו להשתמש בבסיס 60 (בסיס סקסגסימלי), ששרידים ממנו מופיעים בחלוקת השעה ל-60 דקות וחלוקת הדקה ל-60 שניות, וכן בחלוקת המעגל ל-360 (60×6) מעלות. כדי להימנע מהצורך בשימוש ב-60 ספרות שונות, הם השתמשו בנוסף בשיטת ספירה משנית, של שני סימנים - אחד לעשרות ואחד ליחידות.

מרבית תכונות המספרים הנחקרות במתמטיקה, כגון ראשוניות, אינן תלויות בבסיס שבו נכתב המספר. תוצאותיהן של ארבע פעולות החשבון אף הן אינן תלויות בבסיס שבו נכתב המספר. תכונות מסוימות, כגון היותו של המספר מספר קפרקר, מספר ליישרל או היותו של המספר שבר בעל הצגה סופית כשבר עשרוני, תלויות בבסיס שבו נכתב המספר (לתכונות כאלה לא מיוחסת חשיבות רבה, משום שאינן עוסקות במאפיין מהותי של המספר, אלא במאפיין התלוי בייצוג מסוים שלו).

המרה בין בסיסי מספרים נפוצים

עשרוני:	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
הקסדצימלי:	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10
אוקטלי:	0	1	2	3	4	5	6	7	10	11	12	13	14	15	16	17	20
בינארי:	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111	10000

קישורים חיצוניים

• בסיס, באתר MathWorld (באנגלית)