מפרק אוניברסלי

מפרק אוניברסלי, הנקרא גם מפרק קרדן, הוא התקן מכני המחבר שני מוטות קשיחים באופן המאפשר לאחד לנוע בכל כיוון ביחס לשני. השימוש העיקרי במפרק אוניברסלי הוא בהעברת תנועה סיבובית מציר סיבוב אחד לציר סיבוב שני, הנמצא בזווית לראשון. המפרק האוניברסלי מורכב משני חלקים בצורת האות U אשר נמצאים בזווית 90 מעלות זה לזה, ומחוברים בציר בצורת צלב.

היסטוריה

איור 1 - דיאגרמה הממחישה את המשתנים המתארים את מצב המפרק האוניברסלי.

איור 2 - מהירות הציר המונע $\omega _{2}$ כפונקציה של זווית הציר המניע $\gamma _{1}$ , עבור זוויות כפוף $\beta$ שונות.

איור 3 - זווית הציר המונע $\gamma _{2}$ כפונקציה של זווית הציר המניע $\gamma _{1}$ , עבור זוויות כפוף $\beta$ שונות.

את המבנה הבסיסי של המפרק האוניברסלי ניתן למצוא בעיצובם של גימבלים, שהיו בשימוש מאז ימי קדם. המתמטיקאי האיטלקי ג'ירולמו קרדאנו היה הראשון שהציע, בשנת 1545, את השימוש במפרק לשם העברת כוח הינע, אם כי לא ידוע אם בנה התקן כזה. באירופה מקובל לקרוא למפרק האוניברסלי מפרק קרדן על שמו.

מאוחר יותר, הממציא השוודי כריסטופר פולהם (Christopher Polhem) המציא מחדש את המפרק, ולכן בשוודית הוא נקרא "פולהמסקנוט".

התקן זה תואר לאחר מכן בספר Technica curiosa sive mirabilia artis משנת 1664, על ידי גאספאר שוט (Gaspar Schott), שקרא לו "פאראדוקסום" (Paradoxum).

מעט אחר כך, בין השנים 1667 ו-1675, ניתח את המפרק רוברט הוק ומצא כי מהירות הסיבוב שלו אינה אחידה.^[1] אולם הוק מצא כי תכונה זו שימושית על מנת לעקוב אחר תנועתו של הצל בשעוני שמש. בספרו של הוק Helioscopes משנת 1676, מופיע המונח "מפרק אוניברסלי" בפעם הראשונה.^[2] עקב כך נודע התקן זה בשם "מפרק-הוק" (Hooke-Joint) במדינות הדוברות אנגלית. הוק גם מצא פתרון לבעיית מהירות הסיבוב הלא אחידה של המפרק האוניברסלי: שני מפרקים בזה אחר זה, בזווית 90 מעלות זה לזה, המחוברים בשני קצותיו של ציר ביניים, התקן אשר כיום ידוע בשם מפרק מהירות קבועה (Constant-velocity joint).

במאה ה-18 נעשה שימוש במונח מפרק אוניברסלי.^[3] במאה ה-19 כבר ניתן למצוא תיאורים רבים של המפרק האוניברסלי, בשימושים מגוונים כגון מכונות תעשייתיות,^[4] התקני שליטה בטלסקופים,^[5] מערכות הנעה ברכבות^[6] ועוד.

משוואות התנועה

מפרק קרדן סובל מבעיה אחת עיקרית: כאשר ציר אחד, הציר המניע, מסתובב במהירות קבועה, מסתובב הציר המונע במהירות משתנה, דבר הגורם לוויברציות ושחיקה. השינוי במהירות הסיבוב של הציר המונע, תלוי בזווית בין הציר המניע והמונע. ניתן לתאר את מצב המפרק באמצעות שלושה משתנים:

$\gamma _{1}$ - זווית הסיבוב של ציר 1
$\gamma _{2}$ - זווית הסיבוב של ציר 2
$\beta$ - הזווית בין ציר 1 לציר 2, כאשר אפס משמעו צירים מקבילים או מפרק ישר לחלוטין.

משתנים אלה מתוארים באיור 1 משמאל. המישור האדום הוא משטח הסיבוב של ציר 1 בעוד המישור הכחול הוא משטח הסיבוב של ציר 2. ציר 1 מחובר לצלב בנקודות האדומות, בעוד ציר 2 מחובר לצלב בנקודות הכחולות. הזוויות $\gamma _{1}$ ו - $\gamma _{2}$ הן הסטייה הזוויתית של נקודות החיבור לצלב (הווקטורים ${\hat {x}}_{1}$ ו - ${\hat {x}}_{2}$ ) מנקודת ההתחלה על ציר x ו-y בהתאמה. מכיוון שהזווית בין הווקטורים ${\hat {x}}_{1}$ ו - ${\hat {x}}_{2}$ היא תמיד 90 מעלות, ניתן להראות שהיחס בין הזווית $\gamma _{1}$ והזווית $\gamma _{2}$ הוא:

$\ \tan \gamma _{1}=\cos \beta \tan \gamma _{2}$

כאשר הפתרון עבור $\gamma _{2}$ הוא:

$\gamma _{2}=\tan ^{-1}[\tan \gamma _{1}/\cos \beta ]\,$

הזוויות $\gamma _{1}$ ו - $\gamma _{2}$ בציר סובב משתנות כתלות בזמן. גזירה של המשוואה הקודמת ביחס לזמן מניבה את היחס בין המהירות הסיבובית של ציר 1, $\ \omega _{1}=d\gamma _{1}/dt$ , למהירות הסיבובית של ציר 2, $\ \omega _{2}=d\gamma _{2}/dt$ :

$\omega _{2}={\frac {\omega _{1}\cos \beta }{1-\sin ^{2}\beta \cos ^{2}\gamma _{1}}}$

כפי שניתן לראות באיור 2 ו-3 משמאל המהירות של הציר המונע אינה קבועה אלא מחזורית במחזור כפול ממחזור הסיבוב של הציר המניע. כאשר הצירים מקבילים, $\beta =0$ , עוצמת הרעידות היא אפס. ככל שזווית הכיפוף $\beta$ גדלה, עוצמת הרעידות גדלה.

ציר קרדן כפול

התקן הידוע בשם ציר קרדן כפול מתגבר חלקית על בעיית הסיבוב הקופצני של המפרק האוניברסלי. בהתקן זה מחוברים שני מפרקים אוניברסליים לציר ביניים, כאשר המפרק השני מסובב ב-90 מעלות ביחס לראשון. במבנה זה, מהירות הסיבוב של הציר המניע תהיה זהה לזו של הציר המונע, כל עוד הזווית בין הציר המניע לציר הביניים זהה לזווית בין הציר המונע לציר הביניים.

התקן זה נמצא בשימוש בכלי רכב בעלי הנעה אחורית, שם הוא מחבר בין המנוע לדיפרנציאל, וידוע בשם גל הינע.

עם זאת, גם כאשר הציר המונע והציר המניע סובבים באותה מהירות, אם הזווית ביניהם גדולה מאפס, עדיין פועלים על הצירים מומנטים מחזוריים, וזאת מכיוון שציר הביניים סובב במהירות משתנה, כפי שמומחש באיור 2 ו-3. תופעה זו גורמת לוויברציות ועומסי שחיקה על המכלולים המכניים.

מפרק קרדן כפול

מפרק קרדן כפול דומה לציר קרדן כפול, אלא שבו מקוצר ציר הביניים עד כמה שאפשר, עד אשר שני המפרקים האוניברסליים מחוברים "גב אל גב", כאשר המפרק השני מסובב ב-90 מעלות ביחס לראשון. מפרק זה הוא מפרק מהירות קבועה, כל עוד נמצא חלק הביניים בזווית זהה לשני הצירים, כפי שתואר לעיל.

ראו גם

מפרק מהירות קבועה

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא מפרק אוניברסלי בוויקישיתוף

מפרק אוניברסלי, באתר http://www.tpub.com

הערות שוליים

^ Mills, Allan, "Robert Hooke's 'universal joint' and its application to sundials and the sundial-clock", Notes & Records of the Royal Society, 2007, accessed online 2010-06-16
^ "universal, a. (adv.) and n.", para.13, Oxford English Dictionary Online, accessed 2010-06-16
^ Review of Ferdinand Berthoud's Treatise on Marine Clocks, Appendix Art. VIII, The Monthly Review or Literary Journal, Vol. L, 1774; see footnote, page 565.
^ Edmund P. Morewood, Improvement in Coating Iron and Copper, U.S. Patent 3,746, Sept. 17, 1844.
^ G. B. Airy, Account of the Northumberland Equatoreal and Dome Attached to the Cambridge Observatory, Cambridge University Press, 1844; pages 14, 17, 20, 23, 33 and plates VI, VII, IX, XI, XV, XVII.
^ Ephraim Shay, Locomotive-Engine, U.S. Patent 242,992, June 14, 1881.

[1] Mills, Allan, "Robert Hooke's 'universal joint' and its application to sundials and the sundial-clock", Notes & Records of the Royal Society, 2007, accessed online 2010-06-16

[2] "universal, a. (adv.) and n.", para.13, Oxford English Dictionary Online, accessed 2010-06-16

[3] Review of Ferdinand Berthoud's Treatise on Marine Clocks, Appendix Art. VIII, The Monthly Review or Literary Journal, Vol. L, 1774; see footnote, page 565.

[4] Edmund P. Morewood, Improvement in Coating Iron and Copper, U.S. Patent 3,746, Sept. 17, 1844.

[5] G. B. Airy, Account of the Northumberland Equatoreal and Dome Attached to the Cambridge Observatory, Cambridge University Press, 1844; pages 14, 17, 20, 23, 33 and plates VI, VII, IX, XI, XV, XVII.

[6] Ephraim Shay, Locomotive-Engine, U.S. Patent 242,992, June 14, 1881.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]