משתמש:דניאל ב./קבוע אפרי

קבוע אפרי הוא קבוע מתמטי המופיע בעיקר בתורת המספרים. הוא מוגדר כערך שמקבלת פונקציית זטא של רימן בנקודה 3:

$\ \zeta (3)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}}}=1+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+{\frac {1}{5^{3}}}+{\frac {1}{6^{3}}}+{\frac {1}{7^{3}}}+{\frac {1}{8^{3}}}+{\frac {1}{9^{3}}}+\cdots \,\!$

הערך של הקבוע בדיוק של 45 ספרות אחרי הנקודה העשרונית הוא:

$\ \zeta (3)=1.202056903159594285399738161511449990764986292\ldots$

קבוע אפרי הוא מספר אי-רציונלי, זהו תוכנו של משפט אפרי שהוכח על ידי רוז'ה אפרי בשנת 1978 (ומכאן גם שמו של הקבוע). משערים כי הוא גם מספר טרנסצנדנטי ונורמלי.

הצגות כטור

מלבד ההגדרה הסטנדרטית שלו, קבוע אפרי מתקבל כסכום של מספר טורים נוספים. אוילר גילה את ההצגה:

$\zeta (3)={\frac {\pi ^{2}}{7}}\left[1-4\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2k)}{(2k+1)(2k+2)2^{2k}}}\right]$

רמנוג'אן גילה כמה טורים המתכנסים לקבוע מהר במיוחד. למשל:

$\zeta (3)={\frac {7}{180}}\pi ^{3}-2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}-1)}}$