משתמש:חגי הלמן/פינת החידות

חידה פתוחה

חידה מס' 4 של קקון פתוחה!

חידה מס' 1

חידה מס' 1, מהתאריך 10 באפריל 2006: מצאו את כל הפתרונות במספרים שלמים של המשוואה הבאה:

$\ y^{2}=1!+2!+3!+...+x!$

הפותר: עשהאל.

הפתרון

(1,1) ו-(3,3) הם הפתרונות היחידים של המשוואה. כאשר בוחנים ערך גבוה מ-4 של $\ x$ מוסיפים לאגף הימני כפולה של 10. לכן, הספרה האחרונה של המספר באגף ימין (בבסיס עשרוני) לא משתנה ונשארת 3. 3 איננו שארית ריבועית בבסיס 10, ולכן המספר כולו לא יכול להיות מספר ריבועי.

הכללה: מעניין לבחון את המשוואה $\ y^{n}=1!+2!+3!+...+x!\ (n>2)$. גיליתי שגם למשוואה זו, שהיא כללית יותר, היא בעלת מספר סופי פתרונות. בפרט, אין לה פתרונות עבור $\ x>7$. ההוכחה לכך דומה: ברור שהוספת איברים מ-$\ 9!$ ומעלה לא משפיעה על ערך האגף הימני, מודולו 27. מתברר שמתקיים:

$\ 1!+2!+3!+...+8!=9\ (mod\ 27)$

$\ x>7\implies 1!+2!+3!+...+x!=27k+9=9(3k+1)$

כלומר, עבור $\ x>7$, האגף הימני הוא מכפלה של שני מספרים זרים שאחד מהם הוא 9. מאחר שמכפלה של שני מספרים זרים היא חזקה עם מעריך $\ n$ אם ורק אם שני המספרים הם חזקות כאלה, ביטוי זה לא יכול להיות חזקה מסדר גבוה מ-2 (ותודה לעשהאל על שיפור ההכללה).

 

חידה מס' 2

חידה מס' 2, מהתאריך 15 באפריל 2006:

במסיבה כלשהי, מבין כל רביעייה של חוגגים, יש חוגג אחד לפחות שמכיר את שלושת האחרים (ומספר המשתתפים במסיבה גדול מ-4). הוכיחו שנמצא במסיבה אדם שמכיר את כל האחרים (הערה: אם אדם א' מכיר את אדם ב', גם אדם ב' מכיר את אדם א').

הפותר: ערןב.

הפתרון

נניח בשלילה שזה לא מתקיים. כעת נבחר אדם (נסמנו א'). לפי ההנחה קיים אדם (נסמנו ב') ש-א' אינו מכיר (ועל כן גם ב' לא מכיר את א'). כעת נוסיף שני אנשים - ג' ו-ד'. על פי ההגדרה, אחד מהם, יהא זה ג', מכיר את שלושת האחרים. לכל אדם a בשאר המשתתפים במסיבה, אם נסתכל על הקבוצה (א ב ג a), חייב להתקיים ש-ג' מכיר את a, שכן אם לא, אז גם a לא מכיר את ג', והגדרה לא תתקיים (שכן א' ו-ב' אינם מכירים זה את זה, והם לא יכולים להיות זה שמכיר את שלושת האחרים). יוצא מכך ש-ג' מכיר את כל המשתתפים שכן הוא מכיר את א', ב' וכל משתתף a שאינו א' או ב', בסתירה להנחה שלנו, לכן ההנחה כן מתקיימת.

 

חידה מס' 3

חידה מס' 3, מהתאריך 20 באפריל 2006:

בחדר יושבים שלושה אנשים: אחד תמיד אומר אמת, אחד תמיד משקר, ואחד בלתי צפוי. עליך לגלות מיהו מי באמצעות שלוש שאלות, שהתשובה לכל אחת מהן היא "כן" או "לא", ושמופנית לאחד הנוכחים.

הפותר: איתי

הפתרון (ניסוח מקורי)

נניח שהאנשים הם B,A ו C.

נשאל את A האם המשפט " B צפוי אם ורק אם אני דובר אמת" נכון.

אם A עונה "כן", אזי בהכרח B צפוי. למה? כי אם A אינו צפוי, אזי זה ברור, ואם A דובר אמת, זה אומר ש B צפוי, ואם A שקרן, זה אומר שהמשפט אינו נכון, אבל A אינו דובר אמת, ולכן B צפוי. נשים לב שגם ההפך נכון, כלומר אם B צפוי, ו A שקרן או דובר אמת, אזי A יענה "כן".

לכן, אם A עונה "כן", אזי B צפוי. נשאל את B שאלה שתבדוק האם הוא דובר אמת או שקרן (למשל "האם הירח עשוי מגבינה?" או "האם אני דובר אמת אם אני דובר אמת?"). נותרה עוד שאלה, ונשתמש בה כדי לברר מי מהשניים האחרים הוא בלתי צפוי, על ידי כך שנשאל את B "האם A בלתי צפוי?" וננתח את התשובה בהתאם למצבו של B.

אם A ענה "לא", נשאל את C בדיוק את אותה שאלה. אם C ענה "כן", אזי בהכרח B צפוי (מאותן סיבות כמו קודם). כמו כן, גם C צפוי. למה? כי אחרת A שקרן או דובר אמת, ובשני המקרים הוא יענה "כן" אם B צפוי כפי שראינו, אבל הוא ענה "לא". לכן מספיק לברר אם B שקרן או דובר אמת, וסיימנו. (כי כבר ידוע ש A בלתי צפוי).

אם C ענה "לא", אזי בהכרח B בלתי צפוי. למה? כי אחרת B צפוי, ואז אחד מ A או C גם צפוי. לכן אותו אחד לבטח יענה "כן". זו סתירה. לכן נברר אם A הוא השקרן ונסיים.

 

חידה מס' 4

חידה מס' 4, מהתאריך 11 ביולי 2006:

מדובר בסוג של הגדרת היגיון, אבל צריך ידע מתימטי מסויים בשביל לפתור אותה. פתרון החידה הוא אחת הספרות מ-0 עד 9. החידה גם מרמזת על ערך ויקיפדי כלשהו, שמציאתו חיונית לפתרון מדוייק של החידה. בתוך אותו הערך, במשפט הראשון שבו מופיעה הספרה, נמצא גם קישור כחול לערך נוסף שהספרה קשורה אליו בקשר הדוק. החידה:

• לפחות 33% מלח.

תשובה מלאה בבקשה, תלונות בדף השיחה. קקון 05:18, 11 יולי 2006 (IDT)

רמז 1

• בין החולה לקרח קקון 12:42, 11 יולי 2006 (IDT)

רמז 2

• שום מייקל לואיס! קקון 15:40, 12 יולי 2006 (IDT)

רמז 3

• פחות מ-40% קקון 13:49, 13 יולי 2006 (IDT)

רמז 4

• לא מירי בן-ארי קקון 19:02, 17 יולי 2006 (IDT)

רמז 5

• המחסלים קקון 01:38, 19 יולי 2006 (IDT)

רמז 6

• לא רק חרא קקון 19:59, 19 יולי 2006 (IDT)