משתמש:יחס הזהב/טיוטה7

מרחבים

• צירוף ליניארי הוא סכום של מספר סופי של וקטורים שכל אחד מהם מוכפל בסקלר. בגלל סגירותו של המרחב הווקטורי ביחס לחיבור וכפל בסקלר, הצירוף הליניארי אף הוא וקטור השייך לאותו מרחב וקטורי.
• קבוצה פורשת היא קבוצת וקטורים שבאמצעותם ניתן להציג כצירוף ליניארי כל וקטור במרחב הנפרש. בהתאם לכך, $\ S$ פורשת את $\ V$ אם ורק אם $\ V=Sp(S)$. יש לשים לב: $S\iff S=Sp(S)$ תת מרחב.
• בסיס - קבוצה פורשת בת"ל.
• מימד - מספר הווקטורים בבסיס.

מימדים

• \dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W)
• $\dim(\mathbb {F} ^{m\times n})=m\cdot n$
• $dim(\mathbb {F} _{n}[x])=n+1$

=== פעולות על תתי מרחבים

=

• $U\cup W$ תת מרחב אם ורק אם $U\subseteq W$ או $W\subseteq U$.
• $U\cap W$ תמיד תת מרחב.
• $U+W$ תמיד תת מרחב.
• $U+W$ הוא תת המרחב הקטן ביותר המכיל את $U$ ואת $W$.
• $U+W$ הוא סכום ישר אם החיתוך בניהם הוא מרחב האפס.
• $U\oplus W=V$ אם ורק אם $U+W=V$ וגם $U\cap W=\left\{0\right\}$.
• $Span(A)+Span(B)=Span(A\cup B)$ חשוב!
• $Span(V_{1},\cdots V_{n})$ הוא תמיד תת מרחב.
• $Span(V_{1},\cdots V_{n})$ הוא תת המרחב הקטן ביותר שמכיל את $Span(V_{1},\cdots V_{n})$.

מעבר בין Span למשוואות ולהפך

מטריצה ריבועית

• מטריצה הפיכה היא בהכרח ריבועית.
• מטריצת האפס לא הפיכה, מטריצת היחידה כן הפיכה.
• מטריצה סימטרית ומטריצה אנטי-סמיטרית חייבות להיות ריבועיות.

מערכת הומוגנית

• במערכת הומוגנית אם $u$ ו-$v$ הם פתרונות אז גם $u+v$ הוא פתרון.
• אם $u$ הוא פתרון אז לכל סקלר $\alpha$ גם $\alpha \cdot u$ הוא פתרון.
• רק במערכת משוואות הומוגנית אם יש יותר נעלמים ממשוואות אז יש אינסוף פתרונות. אם היא לא הומוגנית יכולה להיות סתירה.
• לכל משוואה הומוגנית יש לפחות פתרון אחד - הפתרון הטרוויאלי.
• מעל שדה אינסופי, אם למערכת הומוגנית יש פתרון לא טריוויאלי, אז יש לה אינסוף פתרונות.
• מעל שדה סופי בגודל $q$, מספר הפתרונות הוא תמיד חזקה של $q$.

טענה חמודה

• $S\Leftarrow 0\in S$ תלויה ליניארית.
• $span(\emptyset )=\{0\}$ - הבסיס למרחב האפס הוא קבוצה ריקה והמימד שלו הוא אפס.
• $V\subseteq W)$ וגם $V=W\Leftarrow (dim(V)=dim(W)$
• אם שניים מבין התנאים הבאים מתקיימים, השלישי מתקיים בהכרח (בחינם) ומתקיים ש $S$ היא בסיס ל $V$:

1. $S$ בת"ל
2. $span(S)=V$
3. $\#S=dim(V)$.

טיפים

טיפ: מבקשים דוגמה נגדית על מטריצה הפיכה, תן דוגמה נכונה עם מטריצה לא ריבועית, ואז בוודאי גם לא הפיכה.

טיפ: לפעמים עוזר למצוא דוגמאות נגדיות עם מטריצות בעלות שורות אפסים.