מרחב וקטורי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
(הופנה מהדף וקטור (אלגברה))
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

באלגברה ליניארית, מרחב וקטורי הוא מערכת מתמטית מעל שדה, שאבריה - הקרויים וקטורים - ניתנים לחיבור ולכפל בסקלר. לדוגמה, אוסף הפתרונות למערכת משוואות הומוגנית הוא מרחב וקטורי.

בהנחת אקסיומת הבחירה, לכל מרחב וקטורי יש בסיס. כל הבסיסים של אותו מרחב וקטורי הם בעלי אותו גודל, שהוא הממד של המרחב. הממד הוא המאפיין היחיד של מרחב וקטורי: כל שני מרחבים בעלי אותו ממד הם איזומורפיים זה לזה.

הגדרה פורמלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

חבורה אבלית ביחס לחיבור, היא מרחב וקטורי מעל השדה , אם מוגדרת פעולת כפל סקלרי , שמסמנים ב-, כך שמתקיימות האקסיומות

  1. לכל ב- מתקיים .
  2. אסוציאטיביות של כפל סקלרים בווקטור (חוק הקיבּוץ): לכל ולכל , מתקיים:
  3. דיסטריבוטיביות של סקלרים (חוק הפילוג לסקלרים): לכל ולכל , מתקיים:
  4. דיסטריבוטיביות של וקטורים (חוק הפילוג לווקטורים): לכל וכל מתקיים:

דרישת החילופיות של החיבור ב-V נובעת משאר האקסיומות (כפי שניתן לראות אם מפתחים את הביטוי , פעם אחת לפי דיסטריבוטיביות של סקלרים, ופעם שנייה לפי דיסטריבוטיביות של וקטורים). ובכל זאת נהוג לציינה לשם הנוחות.

סימונים[עריכת קוד מקור | עריכה]

לעיתים וקטורים מסומנים בסימון מיוחד כדי להבדילם מסקלרים, למשל וקטור יסומן באחת מהאפשרויות הבאות:

כאשר הסימון האחרון (עם האות המודגשת) נפוץ בספרי לימוד ואילו הסימון עם החץ נפוץ בהרצאות, בהן קשה לכתוב אותיות מודגשות על הלוח.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • המרחב של n-יות המורכבות מאיברים בשדה כלשהו, כאשר החיבור הוא לפי קואורדינטות (חיבור איבר-איבר) וכך גם הכפל בסקלר. בפרט: ו-. האיבר הנייטרלי לחיבור הוא .
  • מרחב הפונקציות הממשיות מעל שדה הממשיים.
    • מרחב הפולינומים מעל שדה F. תת-המרחבים של מרחב זה המכילים פולינומים ממעלה n ומטה.
  • מרחב המטריצות הממשיות (או המרוכבות) בגודל נתון מעל שדה הממשיים (או המרוכבים).
  • מרחב כל ההעתקות הליניאריות מעל מרחב וקטורי נתון.
  • אוסף כל תת-הקבוצות של קבוצה X כלשהי הוא מרחב וקטורי מעל השדה , כאשר פעולת החיבור היא פעולת ההפרש הסימטרי.

תלות ליניארית ופרישה[עריכת קוד מקור | עריכה]

קבוצה של ווקטורים היא תלויה ליניארית אם ניתן להציג ווקטור אחד מתוכה כצירוף ליניארי של האחרים. קבוצה לא תלויה ליניארית נקראת גם קבוצה בלתי תלויה ליניארית (או בקיצור בת"ל). פרוש (Span) של קבוצת ווקטורים הוא קבוצת כל הצירופים הליניאריים של הווקטורים בקבוצה. אומרים שקבוצת וקטורים פורשת את המרחב אם המרחב שווה לפרוש שלה.

בסיס וממד[עריכת קוד מקור | עריכה]

בסיס של מרחב וקטורי הוא קבוצה בלתי תלויה של וקטורים שפורשת אותו. ממד המרחב הוא מספר הווקטורים בבסיס. מכיוון שמספר זה איננו תלוי בבחירת הבסיס (כלומר שווה בכל הבסיסים במרחב), המושג מוגדר היטב. ממד יכול להיות סופי או אינסופי.

תת-מרחב וקטורי[עריכת קוד מקור | עריכה]

תת-מרחב של מרחב וקטורי כלשהו הוא תת-קבוצה שלו שמהווה בעצמה מרחב וקטורי. תת-מרחב חייב להיות מעל אותו שדה של המרחב הווקטורי והפעולות בו חייבות להיות אותן פעולות של המרחב הווקטורי. כדי לבדוק שתת-קבוצה של המרחב הווקטורי מעל השדה מהווה מרחב וקטורי, די לבדוק את הפרטים הבאים:

  1. אינה ריקה (מספיק לדעת ש-).
  2. סגורה ביחס לחיבור. כלומר - לכל מתקיים .
  3. סגורה ביחס לכפל בסקלר. כלומר - לכל ו- מתקיים .

יריעת גרסמן מקודדת את כל תת-המרחבים מממד נתון של V.

מבנים נוספים[עריכת קוד מקור | עריכה]

סוגים מסוימים של מרחבים וקטוריים הם בעלי חשיבות רבה בתחומים שונים במתמטיקה. כך למשל מרחב וקטורי עם נורמה מכונה "מרחב נורמי", ומרחב וקטורי עם מכפלה פנימית מכונה "מרחב מכפלה פנימית". מרחבים אלה נחקרים רבות בעיקר במסגרת אנליזה פונקציונלית ובפיזיקה.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]