משתמש:ליאור ג/ארגז החול/אומד נראות מקסימלי

נראות מקסימלית היא שיטה פופולרית בסטטיסטיקה להתאמת מודל סטטיסטי לנתונים, ולחישוב אומדן לפרמטרים המאפיינים את המודל. בהינתן מדגם מקרי מאוכלוסיה מסוימת, וסוג ההתפלגות שבה המדגם מתפלג, הנראות המקסימלית מאפשר לחשב את הפרמטרים של אותה ההתפלגות.

בשפה המתמטית מקובל לסמן את הנראות המקסימלית באותיות MLE, ראשי תיבות של Maximum Likelihood Estimation.

דוגמה להמחשה

ידוע לנו שהגבהים של הג'ירפות בגן החיות מתפלגים התפלגות נורמלית, אולם לא ידוע לנו מה הפרמטרים של ההתפלגות - כלומר התוחלת והשונות הם נעלמים. ברצוננו לחשבם, אולם אין באפשרותנו למדוד את גבהי כל הג'ירפות, מכיוון שמספרן הוא גדול. ובכל זאת, אם יש לנו מדגם מקרי $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ של n ג'ירפות, נוכל לאמוד את הפרמטרים $\ \mu$ ו-$\ {\sigma }^{2}$ (התוחלת והשונות) של ההתפלגות, באמצעות אומדי נראות מקסימליים:

עבור התוחלת:

${\hat {\mu }}={\overline {x}}\equiv {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i},\qquad$

ועבור השונות:

${\hat {\sigma }}^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}.$

כאשר ${\overline {x}}$ הוא ממוצע המדגם שלנו.

תכונות אומד נראות מקסימלי

• עקיבות: כאשר גודל המדגם שואף לאינסוף, האומד מתכנס לערכו האמיתי של הפרמטר. זוהי תכונה חשובה מאוד שמאפשרת לנו למעשה לאמוד את הפרמטר בכל רמת דיוק שנרצה.
• אינראינטיות פונקציונאלית: אם $\ {\hat {\theta }}$ הוא אומד נראות מקסימלית של פרמטר $\ \theta$, ו-$\ g(x)$ הינה פונקציה חד-חד-ערכית, אז $\ g({\hat {\theta }})$ הוא אומד נראות מקסימלית לפרמטר $\ g({\theta })$.