ממוצע

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
בנייה גאומטרית של ממוצעים נפוצים (עבור 2 ערכים בלבד): עבור שני קטעים a ו-b, בונים חצי מעגל שקוטרו הוא הקטע הבנוי משני קטעים אלה.
  • הממוצע החשבוני של אורכי הקטעים a ו-b הוא אורכו של רדיוס המעגל (הקטע AO).
  • הממוצע ההנדסי הוא אורכו של האנך לקוטר ממפגש הקטעים a ו-b עד שפת המעגל (הקטע GH).
  • הממוצע ההרמוני הוא אורכו של היטל הקטע GH על היתר OH במשולש HGO (הקטע HD).
ממוצעים אלו נקראים בהכללה "הממוצעים הפיתגוריים".

בסטטיסטיקה, ממוצע הוא מספר שמחושב מתוך קבוצה סופית של מספרים, ומתאר את "מרכז" הקבוצה מבחינת גודל המספרים. מכיוון שאין מושג אחיד של מהו ה"מרכז" ומושגים שונים יעילים בהקשרים שונים, ישנן שיטות רבות לחשב ממוצע של n מספרים. השיטה הנפוצה ביותר, שאליה הכוונה כאשר אומרים "ממוצע", היא הממוצע החשבוני.

תכונות כלליות[עריכת קוד מקור | עריכה]

ישנן כמה תכונות שמתקיימות לכל הממוצעים:

  • הממוצע קטן ממש מהמספר הגדול ביותר וגדול ממש מהמספר הקטן ביותר (אלא אם כולם שווים, ואז גם הוא שווה להם).
  • מונוטוניות ורציפות: הממוצע צריך להיות פונקציה עולה ורציפה בכל אחד מהמשתנים. כלומר, אם מגדילים את אחד המספרים גם הממוצע גדל (ובלי "קפיצות").
  • סימטריות: אין חשיבות לסדר המספרים.
  • הומוגניות: הכפלת כל המספרים במספר מסוים, גוררת הכפלה של הממוצע באותו מספר.

ממוצע חשבוני (ממוצע אריתמטי)[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – ממוצע חשבוני

הממוצע החשבוני של קבוצת מספרים הוא ה"ממוצע" המקובל והנפוץ ביותר. הממוצע החשבוני  \bar{x} מוגדר כסכום המספרים המדוברים, המחולק במספרם n, כלומר:

 \bar{x} = {1 \over n} \sum_{i=1}^n{x_i} = \frac{x_1 + x_2 + \dotsb + x_n}{n}

הממוצע של קבוצת ערכים מאופיין בכך שסכום ריבועי המרחקים שלו מן הערכים בקבוצה הוא הקטן ביותר. הממוצע החשבוני של הערכים אינו משקף את אופן התפלגותם. דוגמה: לערכים {1,2,2,2,3,9}, הממוצע החשבוני הוא 3.17, אבל חמישה מתוך ששת הערכים קטנים ממנו. כדי לקבל מידע על ה"פיזור" של המספרים, משתמשים בסטיית תקן.

ממוצע הנדסי (ממוצע גאומטרי)[עריכת קוד מקור | עריכה]

ממוצע הנדסי של ערכים חיוביים הוא מכפלת הערכים, בחזקת המספר ההופכי למספר הערכים:

 \bar{x} = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n{x_i}} = (x_1 \cdot x_2 \dotsb x_n)^{1/n} = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \dotsb x_n}

לממוצע ההנדסי תכונה דומה לזו של הממוצע החשבוני: מכפלתה של קבוצת מספרים אינה משתנה אם מחליפים כל אחד מהמספרים במכפלה בממוצע ההנדסי של המספרים שבקבוצה.

ממוצע הרמוני[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – ממוצע הרמוני

ממוצע הרמוני של ערכים מוגדר בתור:

 \bar{x} = \frac{n}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}} = \frac{n}{{1 \over x_1} + {1 \over x_2} + \dotsb + {1 \over x_n}}

כאשר הערכים הנתונים חיוביים, הממוצע ההרמוני יכול להיות שווה לממוצעים החשבוני וההנדסי או נמוך מהם אך לא גבוה מהם.

דוגמה לבעיה שלפתרונה משמש ממוצע הרמוני: אדם נסע מתל אביב לחיפה במהירות של 90 קמ"ש, ואת הדרך חזרה עשה במהירות של 60 קמ"ש. מה הייתה מהירותו הממוצעת? ממוצע אריתמטי יוביל אותנו לתשובה 75 קמ"ש, אך תשובה זו שגויה. לשם הבהרת הבעיה, נניח שהמרחק בין שתי הערים הוא 90 ק"מ. את הדרך לשם עשה האיש בשעה, ואת הדרך חזרה עשה בשעה וחצי. בשעתיים וחצי עבר האיש מרחק של 180 ק"מ, ולכן מהירותו הממוצעת היא 72 קמ"ש. אל תוצאה זו יוביל אותנו הממוצע ההרמוני.

דוגמה נוספת היא חיבור נגדים במקביל. בהינתן מספר נגדים המחוברים במקביל, ההתנגדות השקולה שלהם היא הממוצע ההרמוני של ערכי התנגדויותיהם, חלקי מספר הנגדים.

ממוצע משוקלל[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – ממוצע משוקלל

ממוצע משוקלל הוא ממוצע חשבוני שבו לערכים שונים ניתנת חשיבות (משקל) שונה. בהינתן סדרה של ערכים \ x_1,\dots,x_n ומשקלים \ w_1,\dots,w_n הממוצע המשוקלל מוגדר כך:

\ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^n w_i\cdot x_i}{\sum_{i=1}^n w_i} = \frac{w_1\cdot x_1 + w_2\cdot x_2 + \dotsb + w_n\cdot x_n}{w_1 + w_2 + \dotsb + w_n}

הממוצע החשבוני הוא מקרה פרטי של הממוצע המשוקלל כאשר כל המשקלות שווים זה לזה.

אי שוויון הממוצעים[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – אי-שוויון הממוצעים

ידוע כי בהינתן סדרת מספרים חיוביים \ x_1,\dots,x_n, הממוצע החשבוני שלהם תמיד גדול או שווה לממוצע ההנדסי, והלה גדול או שווה לממוצע ההרמוני שלהם. כלומר:

 \frac{x_1 + x_2 + \dotsb + x_n}{n} \ge \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \dotsb x_n} \ge \frac{n}{{1 \over x_1} + {1 \over x_2} + \dotsb + {1 \over x_n}}

ממוצע של פונקציה[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערך הממוצע של פונקציה ממשית בקטע מהווה הכללה לממוצע החשבוני של קבוצת מספרים סופית. הערך מתקבל מהגבול של חישוב הממוצע על פני קבוצה הולכת וגדלה של ערכי הפונקציה. לפי משפט הערך הממוצע האינטגרלי הממוצע הוא:

 \overline{f} = \frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)\,dx

לפונקציות אי-שליליות, הערך הממוצע \ \overline{f} מקיים שהשטח מתחת למלבן שאורכו כאורך הקטע וגובהו \ \overline{f} שווה לשטח מתחת לגרף הפונקציה.

הערך הממוצע של השיפוע של פונקציה בקטע הוא שיפוע הישר מחבר את הערכים בקצות הקטע (ראו משפט הערך הממוצע של לגראנז'). אם נביט על הפונקציה f שאת הממוצע שלה מחפשים כנגזרת (קצב השינוי הרגעי) של הפונקציה הקדומה שלה F, הרי שהממוצע של f הוא ממוצע על כל קצבי השינוי הרגעיים של F, השווה לקצב השינוי הממוצע של F. קצב השינוי הממוצע של F שווה לשינוי ב-F (הנתון על ידי האינטגרל המסוים של F בקטע הרצוי) חלקי השינוי במשתנה x, ומכאן הגדרת הממוצע של פונקציה.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]