משתמש:Guy Adler/Lagrange tyuta

מכניקה לגרנאנז'יאנית היא ניסוח-מחדש של המכניקה הקלאסית המתבסס על עקרון הפעולה המינימלית. שימוש במכניקה לגראנז'יאנית אינו דורש מהמערכת שימור אנרגיה או תנע, והיא מספקת כלים באמצעותם ניתן לקבוע אם גדלים אלו נשמרים במערכת. תורה זו פותחה לראשונה בידי המתמטיקאי האיטלקי-צרפתי ז'וזף לואי לגראנז' בשנת 1788.

במכניקה לגראנז'יאנית ניתן להסיק את המסלול של מערכת חלקיקים באמצעות שימוש במשוואות לגראנז' מהסוג הראשון, אשר מתייחסות לאילוצים בצורה מפורשת בתור משוואות נוספות לעיתים תוך שימוש בכופלי לגראנז', או באמצעות משוואות לגראנז' מהסוג השני, אשר משלבות את האילוצים בצורה ישירה באמצעות בחירה מושכלת של קואורדינטות מוכללות (Generalized coordinates).

באמצעות הלמה היסודית של חשבון וריאציות ניתן להראות כי פתירה של משוואות אלו שקולה למציאת המסלול שבו הפעולה מינימלית. הפעולה היא גודל שמוגדר בתור האינטגרל של הלגראנז'יאן לפי הזמן.

מושגים

עקרון ד'אלמבר וכוחות מוכללים

עקרון ד'אלמבר מציג את הקונספט של עבודה מדומה המתבצעת כתוצאה מכוחות חיצוניים F_i ומכוחות אינרציאליים המופעלים על שלושת המימדים של מערכת מאיצה של n חלקיקים, אשר תנועתה עקבית עם האילוצים שלה.

מבחינה מתמטית, העבודה המדומה δW המתבצעת על חלקיק בעל מסה m_i לאורך העתק מדומה δr_i הינה:

$\sum _{i}(\mathbf {F} _{i}-m_{i}\mathbf {a} _{i})\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0,$

כאשר a_i מבטאים את תאוצתו של כל חלקיק i = 1, 2,...,n במערכת. באמצעות מעבר לקואורדינטות מוכללות, נקבל את המשוואה:

$\delta W=\sum _{j=1}^{m}\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {F} _{i}-m_{i}\mathbf {a} _{i})\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}=0.$

ביטוי זה מראה כי הכוחות המופעלים ניתנים לביטוי בתור כוחות מוכללים, Q_j. כאשר הם מחולקים ב-δq_j, אנחנו מקבים את ההגדרה של כוח מוכלל:

$Q_{j}={\frac {\delta W}{\delta q_{j}}}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}.$

אם הכוחות F_i הם כוחות משמרים, אזי קיים פוטנציאל סקלרי V שבו הגרדיאנט של V הינו הכוח:

$\mathbf {F} _{i}=-\nabla V\Rightarrow Q_{j}=-\sum _{i=1}^{n}\nabla V\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}=-{\frac {\partial V}{\partial q_{j}}}.$

משמעות הדבר היא שניתן לצמצם כוחות מוכללים לגרדיאנט של פוטנציאל המבוטא באמצעות קואורדינטות מוכללות. ניתן להבין זאת יותר בקלות אם מסתכלים על V בתור פונקציה של r_i, שהם בעצמם פונקציות של q_j, ואז גוזרים את V לפי q_j תוך שימוש בכלל השרשרת.

הלגראנז'יאן ועקרון הפעולה

האלמנט הבסיסי ביותר במכניקה לגראנז'יאנית הינו פונקציית הלגרנז'יאן, אשר מתארת את כל הדינמיקה של המערכת באמצעות ביטוי פשוט אחד. הפיזיקה של ניתוח המערכת מופשטת לבחירה של קבוצת קואורדינטות מוכללות, שתהיה הנוחה ביותר אד-הוק, וקביעת האנרגיה הקינטית והפוטנציאלית של רכיבי המערכת. הלגרנז'יאן מוגדר בתור:

$L=T-V\,$

כאשר T היא סך כל האנרגיה הקינטית, ו-V היא סך כל האנרגיה הפוטנציאלית של המערכת.

האלמנט היסודי השני הינו הפעולה ${\mathcal {S}}$, אשר מוגדרת בתור האינטגרל של הלגרנז'יאן לפי הזמן:

${\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L\,\mathrm {d} t.$

ביטוי זה מבטא את הדינמיקה של המערכת (????) ויש לו השלכות תיאורטיות עמוקות. מבחינה פורמלית, הפעולה היא פונקציונל ולא פונקציה, וערכה תלוי בערך של הלגרנז'יאן בכל זמן בין t₁ ל-t₂. המימדים של הם כמו אלו של תנע זוויתי (????).

בתורת השדות צריך להשתמש במקום בצפיפות של לגרנזי'אן (????):

${\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L\,\mathrm {d} t.$

ואז הפעולה נהיית אינטגרל במרחב ובזמן:

${\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\int _{V}{\mathcal {L}}\mathrm {d} ^{3}r\mathrm {d} t.$