קואורדינטות מוכללות

קואורדינטות מוכללות הן סט של פרמטרים המשמשים במכניקה אנליטית לתיאור מצבה של מערכת פיזיקלית.

בניגוד לקואורדינטות קרטזיות (כמו x, y, z), שמתארות מיקום במרחב באופן כללי, קואורדינטות מוכללות מותאמות באופן ספציפי למערכת הנתונה ולאילוצים הפועלים עליה. מטרתן היא לתאר את תצורת המערכת (ה"קונפיגורציה" שלה) באופן היעיל והפשוט ביותר, תוך שימוש במספר המינימלי של משתנים בלתי תלויים.^[1]

כדי להבין את המוטיבציה, נתבונן בדוגמה של מטוטלת:

במקום לתאר את מיקום משקולת המטוטלת באמצעות שתי קואורדינטות קרטזיות, x ו-y, אשר תלויות זו בזו באמצעות האילוץ של אורך המוט הקבוע ( $x^{2}+y^{2}=L^{2}$ ), ניתן לתאר את כל מצב המערכת באמצעות משתנה אחד בלבד: הזווית ( $\theta$ ) של המוט ביחס לאנך. זווית זו היא דוגמה לקואורדינטה מוכללת: היא מגדירה באופן חד-ערכי את מיקום המשקולת, והיא מפשטת באופן משמעותי את ניתוח הבעיה.

מספר הקואורדינטות המוכללות הבלתי-תלויות הנדרשות לתיאור מלא של המערכת שווה למספר דרגות החופש שלה. למשל, למטוטלת יש דרגת חופש אחת, ולכן מספיקה קואורדינטה מוכללת אחת (הזווית) כדי לתאר אותה.^[2]^[3]

הנגזרות לפי הזמן של הקואורדינטות המוכללות נקראות מהירויות מוכללות. השילוב בין הקואורדינטות המוכללות לבין התנעים המוכללים הצמודים להן מאפשר לתאר את המערכת במרחב מתמטי מופשט המכונה מרחב הפאזה. מרחב זה מספק תיאור שלם של המצב הדינמי של המערכת, שכן כל נקודה בו מייצגת לא רק את מיקום כל החלקיקים (הקואורדינטות), אלא גם את התנע שלהם. התיאור על ידי מרחב הפאזה הוא הכלי המרכזי בשימוש בגישה מתקדמת יותר מהמכניקה הקלאסית, המכונה מכניקה המילטונית. בניגוד למכניקה הניוטונית המתארת תנועה באמצעות כוחות ותאוצות, המכניקה ההמילטונית מתארת את התפתחות המערכת בזמן באמצעות פונקציה של האנרגיה הכוללת שלה (ההמילטוניאן).^[4]

דרגות חופש ואילוצים

במערכת פיזיקלית המורכבת מ- $N$ חלקיקים נקודתיים, ובה כל חלקיק רשאי לנוע במרחב בעל $d$ ממדים נדרשים $n=Nd$ פרמטרים כדי לתאר את מיקומם של כל החלקיקים במערכת. תיאור כזה יכול להתבצע לדוגמה במערכת צירים קרטזית בה מיקומו של החלקיק ה- $i$ מיוצג על ידי הווקטור ${\vec {r}}_{i}=(x_{i1},x_{i2},...,x_{id})$ ובסה"כ המערכת מתוארת באמצעות ה-n-יה הסדורה $\mathbf {r} =\{{\vec {r}}_{i}\}_{i=1}^{n}$ . עם זאת, $\mathbf {r}$ איננו הדרך היחידה לתאר את מיקום החלקיקים במערכת. באופן שקול, ניתן להשתמש ב-n-יה סדורה אחרת $\mathbf {q} =\left\{q_{i}\right\}_{i=1}^{m}$ (כאשר $m\geq n$ ) כאשר קיים קשר בין ה-n-יה החדשה לווקטורי המיקום של החלקיקים ${\vec {r}}_{i}={\vec {r}}_{i}(\mathbf {q} (t))$ . הסט $\mathbf {q}$ נקרא סט קואורדינטות מוכללות. לפעמים, נוח יותר לכתוב את משוואות התנועה באמצעות שימוש במספר קואורדינטות מוכללות גדול יותר ממספר דרגות החופש במערכת. במקרה כזה, בו מתבצע שימוש ב- $m>n$ קואורדינטות, יהיה ניתן לכתוב $m-n$ משוואות המגבילות את הקשרים בין הקואורדינטות המוכללות, ועדיין לתאר את המצבים האפשריים במערכת במלואם.

אילוצים הולונומים

ערך מורחב – אילוצים הולונומים

אילוץ הולונומי על מערכת פיזיקלית הוא משוואה מהצורה $f(\mathbf {r} ,t)=0$ . משוואה כזו מקשרת בין הקואורדינטות השונות של החלקיקים, כך שהן אינן בלתי תלויות. צורת האילוץ יכולה להשתנות עם הזמן, ואז הוא מופיע באופן מפורש במשוואת האילוץ. כל משוואה הולונומית מהווה אילוץ אחד. אם קיימים $C$ אילוצים הולונומיים בלתי תלויים, תהיינה $C$ משוואות אילוצים $\{f_{i}{\mathbf {(} r,t)}\}_{i=1}^{C}$ . במערכת של חלקיקים נקודתיים, מספר דרגות החופש של המערכת- $n$ הוא מספר הממדים- $d$ כפול מספר החלקיקים- $N$ פחות מספר האילוצים: $n=Nd-C$ .

במצב כזה, מספר הקואורדינטות הנדרשות לתיאור המערכת הוא לפחות $n$ והוא קטן יותר ממספר הקואורדינטות הנדרשות עבור התיאור באמצעות $\mathbf {r}$ , תיאור כזה יכול להתבצע על ידי שימוש בסט של קואורדינטות מוכללות המכיל בדיוק את מספר דרגות החופש $\mathbf {q} =\left\{q_{i}\right\}_{i=1}^{n}$ והקשרים ${\vec {r}}_{i}={\vec {r}}_{i}(\mathbf {q} (t),t)$ . לאחר שימוש בקואורדינטות מוכללות כאלו, אין צורך להשתמש במשוואות האילוצים, שכן הן מוכתבות על ידי הקשרים בין הקואורדינטות המוכללות לווקטורי המיקום.

גופים קשיחים

ערך מורחב – מכניקה של גוף קשיח

במכניקה קלאסית, גוף קשיח הוא אוסף נקודות עבורן המרחק בין כל זוג נקודות נשאר קבוע לאורך התנועה. אם נתאר את מיקומי כל הנקודות על הגוף לפי $\mathbf {r} =\{{\vec {r}}_{i}\}_{i=1}^{Nd}$ , ניתן לרשום ${\frac {N(N-1)}{2}}$ משוואות אילוצים מהצורה $\left|{\vec {r}}_{i}-{\vec {r}}_{j}\right|=r_{ij}$ . לכאורה, יכול להיווצר מצב בו מספר האילוצים גדול ממספר הנקודות, אולם במקרה זה, משוואות האילוצים תלויות אחת בשנייה. מספר דרגות החופש המתקבל עבור גוף קשיח, הוא $n=d+{\frac {d(d-1)}{2}}$ ואיננו תלוי במספר הנקודות על הגוף הקשיח. את הגוף הקשיח ניתן לתאר באמצעות מערכת של $n$ קואורדינטות מוכללות, לדוגמה בתלת־ממד ניתן להשתמש במיקום של מרכז המסה של הגוף (3 קואורדינטות) וב-3 זוויות אוילר כדי לתאר את האוריינטציה של הגוף במרחב.

גדלים פיזיקליים

מהירות

המהירויות המוכללות של המערכת מוגדרות לפי הנגזרת המלאה של הקואורדינטות המוכללות לפי הזמן ${\dot {q}}_{j}={\frac {dq_{j}}{dt}}$ . המהירות של חלקיק במערכת היא הנגזרת המלאה לפי הזמן של וקטור המיקום, והיא מתקשרת למהירויות המוכללות לפי הנוסחה ${\vec {v}}_{i}={\frac {d{\vec {r}}_{i}}{dt}}=\sum _{i=j}^{m}{\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{j}+{\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial t}}$ . בתיאור לעיל הנגזרות החלקיות ${\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial q_{j}}}$ הן פונקציות של הקואורדינטות המוכללות והזמן, ולא של המהירויות המוכללות. אם הקשרים לא תלויים ישירות בזמן אז הנגזרות החלקיות הן פונקציות של הקואורדינטות המוכללות בלבד.

אנרגיה קינטית

במערכת קואורדינטות קרטזיות, האנרגיה הקינטית מקיימת $T={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}m_{i}{\vec {v}}_{i}^{2}$ והיא פונקציה של המסות והמהירויות בלבד, ולא של הקואורדינטות הקרטזיות. לעומת זאת, במערכת קואורדינטות מוכללת בה הקשרים לא תלויים ישירות בזמן מתקיים:

$T={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}m_{i}{\vec {v}}_{i}^{2}={\frac {1}{2}}\sum _{i}m_{i}\sum _{j,k}\left({\frac {d{\vec {r}}_{i}}{dq_{j}}}{\frac {d{\vec {r}}_{i}}{dq_{k}}}\right){\dot {q}}_{j}{\dot {q}}_{k}$

כך שהאנרגיה הקינטית היא פונקציה של המסות, הקואורדינטות המוכללות ופונקציה הומוגנית מסדר שני של המהירויות המוכללות. אם הקשרים בין הקואורדינטות תלויים בזמן אז האנרגיה הקינטית היא פונקציה כללית של המסות, הקואורדינטות המוכללות, המהירויות המוכללות והזמן.

תנעים מוכללים

הלגראנז'יאן של המערכת הפיזיקלית מוגדר על ידי $L=T-V$ ובמקרה הכללי הוא פונקציה של הקואורדינטות המוכללות, המהירויות המוכללות והזמן. הנגזרות החלקיות של הלגראנז'יאן לפי המהירויות המוכללות ${\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}$ הן התנעים המוכללים. משוואות אוילר-לגראנז' מקשרות בין הנגזרות לפי הזמן של התנעים המוכללים לנגזרות של הלארנז'יאן לפי המיקום ${\frac {dp_{i}}{dt}}={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}$ . ההמילטוניאן של המערכת הוא התמרת לז'נדר של הלגרנז'יאן ביחס למהירויות המוכללות, והיא פונקציה של הקואורדינטות המוכללות, התנעים המוכללים והזמן. הקואורדינטות המוכללות יחד עם התנעים המוכללים יוצרים סט של קואורדינטות קנוניות ביחס להמילטוניאן.

דוגמאות

מטוטלת מתמטית

ערך מורחב – מטוטלת מתמטית

מטוטלת מתמטית. הזווית $\theta$ היא דוגמה לקואורדינטה מוכללת.

מטוטלת מתמטית מורכבת ממסה $M$ הנעה במרחב דו-ממדי, המחוברת באמצעות כבל באורך $L$ , לנקודה שניתן לסמנה בראשית הצירים. בצורה זו, המטוטלת שהיא מערכת עם דרגת חופש אחת, מתוארת באמצעות שתי קואורדינטות. האילוץ לפיו הכבל באורך קבוע ניתן להיכתב באמצעות המשוואה $f(x,y)=x^{2}+y^{2}-L^{2}=0$ . ניתן להסתכל על הזווית בין המטוטלת לציר ה- $y$ . בתיאור זה, הקואורדינטות מקיימות $(x,y)=\mathbf {q} =\left(L\sin \theta ,-L\cos \theta \right)$ והמיקום של המטוטלת מתואר באמצעות קואורדינטה מוכללת יחידה - $\theta$ .

דסקה מתגלגלת במדרון

דסקה היא דוגמה לגוף קשיח דו־ממדי. תנועתה הכללית יכולה להיות מתוארת באמצעות שלוש קואורדינטות - $(x,y)$ הקואורדינטות הקרטזיות של מרכז הדסקה, ו- $\theta$ הזווית שקו מסוים על הדסקה מקיים עם ציר ה- $x$ . כשהדסקה מונחת על מדרון בעל שיפוע קבוע, היא מקיימת משוואת אילוץ מהצורה $f(x,y,\theta )={\frac {y}{x}}-\tan \alpha =0$ , וניתן לתאר את תנועת הדסקה באמצעות שתי קואורדינטות, לדוגמה - הזווית $\theta$ והמרחק $r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ שהדסקה עברה מנקודת תחילת התנועה, כאשר מתקיים $x=r\cos \alpha ;y=r\sin \alpha$ .