התמרת כוכב משולש היא שיטה מתמטית שנועדה לפשט את הניתוח של מעגלים חשמליים . השם התקבל מהצורה של תרשים המעגל אשר נראה כמו האות ואי (אנגלית: Yׂ) או האות היוונית דלתא (אות) (יוונית: Δ ). התאוריה שמאחורי שיטה זו פורסמה על ידי ארתור אדווין קינלי (אנגלית: Arthur Edwin Kennelly) בשנת 1899 [1] נעשה שימוש נרחב בשיטה זו בעיקר בניתוח מעגליי חשמל תלת פאזי .
המעגל החשמלי בתצורת Y ובתצורת Δ.
ההתמרה משמשת להקמת מעגל חשמלי שקול למעגל בעל שלושה מסופים. כאשר שלושה רכיבים מחוברים לאותו צומת ואף אחד מהם לא משמש כמקור אז הצומת מתבטל על ידי הפיכת העכבות . בשביל קבלת שקילות, העכבה החשמלית בין כל זוג מסופים חייבת להיות זהה לשני המעגלים (לפני ההתמרה ואחרי ההתמרה). הנוסחאות הנתונות כאן נכונות הן עבור עכבות מרוכבות והן עבור עכבות ממשיות.
נוסחאות עבור התמרה מתצורת Δ לתצורת Y [ עריכת קוד מקור | עריכה ]
הרעיון הכללי הוא לחשב את העכבה של מסוף מסוים בתצורת Y של המעגל תוך שימוש בעכבות הנתונות מתוך תצורת Δ, ולהפך. עבור עכבות
R
y
,
R
1
,
R
2
{\displaystyle Ry,R_{1},R_{2}}
עכבת מסוף y 0 היא:
R
y
=
R
1
R
2
∑
R
Δ
{\displaystyle R_{y}={\frac {R_{1}R_{2}}{\sum R_{\Delta }}}}
כאשר
∑
R
Δ
{\displaystyle {\sum R_{\Delta }}}
הוא סכום כל העכבות בתצורת Δ.
בצורה מפורשת:
R
1
=
R
b
R
c
R
a
+
R
b
+
R
c
R
2
=
R
a
R
c
R
a
+
R
b
+
R
c
R
3
=
R
a
R
b
R
a
+
R
b
+
R
c
{\displaystyle {\begin{aligned}R_{1}&={\frac {R_{b}R_{c}}{R_{a}+R_{b}+R_{c}}}\\R_{2}&={\frac {R_{a}R_{c}}{R_{a}+R_{b}+R_{c}}}\\R_{3}&={\frac {R_{a}R_{b}}{R_{a}+R_{b}+R_{c}}}\end{aligned}}}
הרעיון הכללי הוא לחשב את העכבה
R
Δ
{\displaystyle R_{\Delta }}
בתצורת Δ על ידי הנוסחה:
R
Δ
=
R
P
R
o
p
p
o
s
i
t
e
{\displaystyle R_{\Delta }={\frac {R_{P}}{R_{\mathrm {opposite} }}}}
כאשר
R
p
{\displaystyle Rp}
הוא סכום מכפלת כל זוג עכבות בתצורת Y, כלומר:
R
P
=
R
1
R
2
+
R
2
R
3
+
R
3
R
1
{\displaystyle R_{P}=R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}
.
R
o
p
p
o
s
i
t
e
{\displaystyle R_{\mathrm {opposite} }}
הוא העכבה בתצורת ה Y בחיבור לצומת אשר אליו העכבה אותה אנחנו מעוניינים לחשב אינה מתחברת.
ובצורה מפורשת:
R
a
=
R
1
R
2
+
R
2
R
3
+
R
3
R
1
R
1
R
b
=
R
1
R
2
+
R
2
R
3
+
R
3
R
1
R
2
R
c
=
R
1
R
2
+
R
2
R
3
+
R
3
R
1
R
3
{\displaystyle {\begin{aligned}R_{a}&={\frac {R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{1}}}\\R_{b}&={\frac {R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{2}}}\\R_{c}&={\frac {R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{3}}}\end{aligned}}}
ניתוח מעגל: שיטה לפתרון תצורת Δ על ידי המרה לתצורת Y [ עריכת קוד מקור | עריכה ]
מעגל שיש בו שילוב של שתי התצורות המדוברות צריך להיות מומר לתצורת Y. על ידי שינוי מתוצרת Δ לתצורת Y, ניתן לנתח כל אלמנט במעגל בנפרד. שיטה זו נועדה לפשט את ניתוח המעגל. (הערה: ההתנהגות ההרמונית של המעגל המקורי נשמרת). ההמרה מתצורת Δ לתצורת Y היא כך:
V
LL
=
3
V
LN
∠
30
I
LL
=
3
I
LN
∠
−
30
Z
Δ
/
3
=
Z
Y
S
3
Φ
=
|
S
3
Φ
|
=
3
V
LL
I
L
=
3
V
LN
I
L
{\displaystyle {\begin{aligned}V_{\text{LL}}={\sqrt {3}}V_{\text{LN}}\angle 30\\I_{\text{LL}}={\sqrt {3}}I_{\text{LN}}\angle -30\\Z_{\Delta }/3=Z_{\text{Y}}\\S_{3\Phi }=|S_{3\Phi }|={\sqrt {3}}V_{\text{LL}}I_{\text{L}}=3V_{\text{LN}}I_{\text{L}}\\\end{aligned}}}
רשת נגדים בין שני מסופים ניתנת לפישוט לנגד שווה ערך (ובאופן כללי יותר הדבר מתקיים גם לעכבות). שיטת חיבור נגדים בטור ושיטת חיבור נגדים במקביל הן כלים בסיסיים לפישוט רשת נגדים, אך עבור רשת הנגדים המתוארת בתמונה הן לא יספיקו. ניתן לעשות שימוש בהתמרת כוכב משולש על מנת לפשט את רשת הנגדים כמתואר בתמונה.
התמרה של רשת נגדים תוך שימוש בהתמרת כוכב משולש על מנת להיפטר מצומת D .
התמרת כוכב משולש ההפוכה (מתצורת Δ לתצורת Y) אשר מוסיפה צומת, נועדה גם כן על לפשט את המעגל.
שימוש בהתמרת כוכב משולש ההפוכה על מנת לפשט רשת נגדים.
תצורת Δ ותצורת Y עם שמות המשתנים שבהם משתמשים בהדגמה.
בכדי לקשר את {
R
a
,
R
b
,
R
c
{\displaystyle R_{a},R_{b},R_{c}}
} מתצורת Δ ל {
R
1
,
R
2
,
R
3
{\displaystyle R_{1},R_{2},R_{3}}
} מתצורת Y, משווים את העכבה בין שני צמתים בתצורת Δ לעכבה המתאימה בין שני צמתים בתצורת Y, חוזרים על התהליך עבור כל זוג צמתים. העכבה בין הצמתים נקבעת כאשר הצומת האחר לא מחובר למעגל ובמקומו יש קצר. העכבה בין N_1 ו N_2 כאשר N_3 מקוצר, בתצורת Δ:
R
Δ
(
N
1
,
N
2
)
=
R
c
∥
(
R
a
+
R
b
)
=
=
1
1
R
c
+
1
R
a
+
R
b
=
R
c
(
R
a
+
R
b
)
R
a
+
R
b
+
R
c
{\displaystyle {\begin{aligned}R_{\Delta }(N_{1},N_{2})&=R_{c}\parallel (R_{a}+R_{b})=\\&={\frac {1}{{\frac {1}{R_{c}}}+{\frac {1}{R_{a}+R_{b}}}}}\\&={\frac {R_{c}(R_{a}+R_{b})}{R_{a}+R_{b}+R_{c}}}\end{aligned}}}
בכדי להקל על הרישום נקרא לסכום {
R
T
{\displaystyle R_{T}}
}, {
R
A
,
R
B
,
R
C
{\displaystyle R_{A},R_{B},R_{C}}
}:
R
T
=
R
a
+
R
b
+
R
c
{\displaystyle R_{T}=R_{a}+R_{b}+R_{c}}
לכן:
R
Δ
(
N
1
,
N
2
)
=
R
c
(
R
a
+
R
b
)
R
T
{\displaystyle R_{\Delta }(N_{1},N_{2})={\frac {R_{c}(R_{a}+R_{b})}{R_{T}}}}
העכבה המתאימה בין N_1 ו N_2 בתצורת Y, היא:
R
Y
(
N
1
,
N
2
)
=
R
1
+
R
2
{\displaystyle R_{Y}(N_{1},N_{2})=R_{1}+R_{2}}
נשווה בין העכבות שהתקבלו:
R
Y
(
N
1
,
N
2
)
=
R
Δ
(
N
1
,
N
2
)
{\displaystyle R_{Y}(N_{1},N_{2})=R_{\Delta }(N_{1},N_{2})}
לכן מתקבל:
R
1
+
R
2
=
R
c
(
R
a
+
R
b
)
R
T
{\displaystyle R_{1}+R_{2}={\frac {R_{c}(R_{a}+R_{b})}{R_{T}}}}
(1)
נחזור על התהליך עבור
R
(
N
2
,
N
3
)
{\displaystyle R(N_{2},N_{3})}
:
R
2
+
R
3
=
R
a
(
R
b
+
R
c
)
R
T
{\displaystyle R_{2}+R_{3}={\frac {R_{a}(R_{b}+R_{c})}{R_{T}}}}
(2)
נחזור על התהליך שוב עבור
R
(
N
1
,
N
3
)
{\displaystyle R(N_{1},N_{3})}
:
R
1
+
R
3
=
R
b
(
R
a
+
R
c
)
R
T
.
{\displaystyle R_{1}+R_{3}={\frac {R_{b}(R_{a}+R_{c})}{R_{T}}}.}
(3)
מכאן ניתן לקבוע את הערכים {
R
1
,
R
2
,
R
3
{\displaystyle R_{1},R_{2},R_{3}}
} על ידי צירוף לינארי.
למשל מחיבור משוואות (1) ו (3) וחיסור משוואה (2) נקבל:
R
1
+
R
2
+
R
1
+
R
3
−
R
2
−
R
3
=
R
c
(
R
a
+
R
b
)
R
T
+
R
b
(
R
a
+
R
c
)
R
T
−
R
a
(
R
b
+
R
c
)
R
T
{\displaystyle R_{1}+R_{2}+R_{1}+R_{3}-R_{2}-R_{3}={\frac {R_{c}(R_{a}+R_{b})}{R_{T}}}+{\frac {R_{b}(R_{a}+R_{c})}{R_{T}}}-{\frac {R_{a}(R_{b}+R_{c})}{R_{T}}}}
לכן:
R
1
=
R
b
R
c
R
T
.
{\displaystyle R_{1}={\frac {R_{b}R_{c}}{R_{T}}}.}
כאשר,
R
T
=
R
a
+
R
b
+
R
c
{\displaystyle R_{T}=R_{a}+R_{b}+R_{c}}
לכן מתקבל:
R
1
=
R
b
R
c
R
T
{\displaystyle R_{1}={\frac {R_{b}R_{c}}{R_{T}}}}
(4)
R
2
=
R
a
R
c
R
T
{\displaystyle R_{2}={\frac {R_{a}R_{c}}{R_{T}}}}
(5)
R
3
=
R
a
R
b
R
T
{\displaystyle R_{3}={\frac {R_{a}R_{b}}{R_{T}}}}
(6)
נקבע ש:
R
T
=
R
a
+
R
b
+
R
c
{\displaystyle R_{T}=R_{a}+R_{b}+R_{c}}
.
אנחנו יכולים לכתוב את נוסחאות המעבר מתצורת Y לתוצרת Δ כך:
R
T
=
R
a
+
R
b
+
R
c
{\displaystyle R_{T}=R_{a}+R_{b}+R_{c}}
.
ומתצורת Δ לתצורת Y כך:
R
1
=
R
b
R
c
R
T
{\displaystyle R_{1}={\frac {R_{b}R_{c}}{R_{T}}}}
(1)
R
2
=
R
a
R
c
R
T
{\displaystyle R_{2}={\frac {R_{a}R_{c}}{R_{T}}}}
(2)
R
3
=
R
a
R
b
R
T
{\displaystyle R_{3}={\frac {R_{a}R_{b}}{R_{T}}}}
(3)
מהכפלת כל זוג משוואות, מתקבל:
R
1
R
2
=
R
a
R
b
R
c
2
R
T
2
{\displaystyle R_{1}R_{2}={\frac {R_{a}R_{b}R_{c}^{2}}{R_{T}^{2}}}}
(4)
R
1
R
3
=
R
a
R
b
2
R
c
R
T
2
{\displaystyle R_{1}R_{3}={\frac {R_{a}R_{b}^{2}R_{c}}{R_{T}^{2}}}}
(5)
R
2
R
3
=
R
a
2
R
b
R
c
R
T
2
{\displaystyle R_{2}R_{3}={\frac {R_{a}^{2}R_{b}R_{c}}{R_{T}^{2}}}}
(6)
נסכום את המשוואות שהתקבלו:
R
1
R
2
+
R
1
R
3
+
R
2
R
3
=
R
a
R
b
R
c
2
+
R
a
R
b
2
R
c
+
R
a
2
R
b
R
c
R
T
2
{\displaystyle R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}={\frac {R_{a}R_{b}R_{c}^{2}+R_{a}R_{b}^{2}R_{c}+R_{a}^{2}R_{b}R_{c}}{R_{T}^{2}}}}
(7)
נוציא גורם משותף במונה {
R
a
R
b
R
c
{\displaystyle R_{a}R_{b}R_{c}}
}:
R
1
R
2
+
R
1
R
3
+
R
2
R
3
=
(
R
a
R
b
R
c
)
(
R
a
+
R
b
+
R
c
)
R
T
2
{\displaystyle R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}={\frac {(R_{a}R_{b}R_{c})(R_{a}+R_{b}+R_{c})}{R_{T}^{2}}}}
R
1
R
2
+
R
1
R
3
+
R
2
R
3
=
R
a
R
b
R
c
R
T
{\displaystyle R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}={\frac {R_{a}R_{b}R_{c}}{R_{T}}}}
(8)
נחלק את משוואה (8) במשוואות (1),(2) ו (3) בנפרד.
חלוקה במשוואה (1):
R
1
R
2
+
R
1
R
3
+
R
2
R
3
R
1
=
R
a
R
b
R
c
R
T
R
T
R
b
R
c
{\displaystyle {\frac {R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}}{R_{1}}}={\frac {R_{a}R_{b}R_{c}}{R_{T}}}{\frac {R_{T}}{R_{b}R_{c}}}}
R
1
R
2
+
R
1
R
3
+
R
2
R
3
R
1
=
R
a
{\displaystyle {\frac {R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}}{R_{1}}}=R_{a}}
(9)
חלוקה במשוואה (2):
R
1
R
2
+
R
1
R
3
+
R
2
R
3
R
2
=
R
a
R
b
R
c
R
T
R
T
R
a
R
c
{\displaystyle {\frac {R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}}{R_{2}}}={\frac {R_{a}R_{b}R_{c}}{R_{T}}}{\frac {R_{T}}{R_{a}R_{c}}}}
R
1
R
2
+
R
1
R
3
+
R
2
R
3
R
2
=
R
b
{\displaystyle {\frac {R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}}{R_{2}}}=R_{b}}
(10)
חלוקה במשוואה (3):
R
1
R
2
+
R
1
R
3
+
R
2
R
3
R
3
=
R
a
R
b
R
c
R
T
R
T
R
a
R
b
{\displaystyle {\frac {R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}}{R_{3}}}={\frac {R_{a}R_{b}R_{c}}{R_{T}}}{\frac {R_{T}}{R_{a}R_{b}}}}
R
1
R
2
+
R
1
R
3
+
R
2
R
3
R
3
=
R
c
,
{\displaystyle {\frac {R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}}{R_{3}}}=R_{c},}
(11)
משוואות (9), (10) ו (11) שהתקבלו מקשרות בין תצורת Y לתצורת Δ.
^ A.E. Kennelly, "Equivalence of triangles and three-pointed stars in conducting networks", Electrical World and Engineer , vol. 34, pp. 413–414, 1899.
William Stevenson, Elements of Power System Analysis 3rd ed., McGraw Hill, New York, 1975, ISBN 0-07-061285-4
[[Category:ייצור חשמל]]