משתמש:Yehuger/טיוטה

כל חלקיק מסיבי ניתן לתיאור במערכת המנוחה שלו באמצעות ה4-תנע שלו $(m,0,0,0)$. ברור שסיבובים של המרחב, שמתוארים על ידי חבורת הסיבוב $SO(3)$ לא ישפיעו על המצב של החלקיק. ההצגות האוניטריות הסופיות של החבורה הזו מתוארות על ידי הערך של הספין. מרחב בעל ספין $S$ יהיה מרחב בעל $2S+1$ ממדים. ניתן להראות שכל טרנספורמציית לורנץ יכולה להיות מפורקת לטרנספורמציית סיבוב שמתוארת על ידי $SO(3)$ ולבוסט יחסותי ששומר על התנע. כלומר כל חלקיק מסיבי מתואר על ידי המסה והספין שלו, כדי לתאר

כל חלקיק חסר מסה יכול להיות מתואר באמצעות 4-תנע שמיושר לציר z - $(m,0,0,m)$. במקרה זה ברור שסיבוב מסביב לציר z לא ישפיע על המצב של החלקיק, סיבובים אלו מתוארים על ידי $SO(2)$ שההצגות שלה מתוארות על ידי המספרים הקוונטים $\pm n/2$. ערך התנע הזוויתי בכיוון שבו החלקיק מתקדם. חלקיקים עם ספין למעלה (ערך חיובי) וחלקיקים עם ספין למטה (ערך שלילי) לא יכולים להיות מועברים אחד לשני באמצעות טרנספורמציית לורנץ.

משוואת ליפמן-שווינגר

משוואת ליפמן-שווינגר היא משוואה לתיאור תהליכי פיזור במכניקה קוונטית. המשוואה מתארת פיזור של חלקיקים קוונטיים מפוטנציאל כללי, ויכולה לשמש לתיאור פיזורים של מולקולות, אטומים, נייטרונים, אלקטרונים או פוטונים בגבול הלא יחסותי. המשוואה מוצאת את פונקציית הגל אחרי הפיזור ויכולה לשמש לחישוב חתך הפעולה של הפיזור. היא פותחה ב-1950 על ידי ברנרד ליפמן וג'ולאין שווינגר וקרויה על שמם.

בצורה הכללית ביותר, ובשימוש בסימון דיראק משוואת ליפמן-שווינגר היא $|\psi ^{\pm }\rangle =|\varphi \rangle +{\frac {1}{E-H_{0}\pm i\epsilon }}V|\psi ^{\pm }\rangle$. כאשר $H_{0}$ הוא ההמילטוניאן החופשי של החלקיק שלא מבצע אינטראקציה, $V$ הוא הפוטנציאל של האינטראקציה, $|\psi \rangle$ הוא מצב עצמי של ההמילטוניאן הכללי $H=H_{0}+V$ עם ערך עצמי $E$ (האנרגיה של החלקיק) ו-$|\varphi \rangle$ הוא מצב עצמי של ההמילטוניאן החופשי עם אנרגיה $E$. המשוואה מזהה את המצב $|\psi ^{+}\rangle$ עם מצב אסימפטוטי סופי של הליך הפיזור, ובכך מאפשרת לחשב את מטריצת הפיזור.

רקע

בתהליך פיזור, שניים (או יותר) חלקיקים מתחילים במצב שבו הם מרוחקים אחד מהשני והאינטראקציה ביניהם חלשה, במהלך הפיזור הם מתקרבים אחד לשני והאינטראקציה מתחזקת, ובסיומו הם מתרחקים שוב אחד מהשני, ושוב ניתן להזניח את האינטראקציה. הפוטנציאל קובע את האינטראקציה בין החלקיקים, ומשפיע על פונקציית הגל של החלקיקים גם בשלב שבו הם מרוחקים אחד מהשני. בפרשנות הקלאסית של מכניקת הקוונטים, גם אם המצב לפני שהחלקיקים יתקרבו ידוע, אין דרך לנבא את המצב לאחר הפיזור, אלא רק למצוא את הסיכוי לקבלת מצב סופי מסוים.

רבים מהתהליכים הבסיסיים בפיזיקה הם תהליכי פיזור. לדוגמה ניסוי רתפורד שגילה את מבנה האטום הוא ניסוי פיזור של חלקיקי אלפא מאטומי זהב, אפקט קומפטון הוא פיזור של פוטונים מאלקטרונים. לכן תיאור של תהליכי פיזור הוא חלק משמעותי מהניתוח של כל תיאוריה קוונטית.

לאחר הצגת משוואת שרדינגר, הציג מקס בורן את קירוב בורן לתיאור תהליכי הפיזור. קירוב בורן מתחיל במציאת הפתרון למצב החופשי של המערכת. את המצב החופשי מתקנים באמצעות חישוב של השפעת הפוטנציאל עליו. את המצב המתוקן הזה ניתן לתקן באמצעות חישוב של השפעת הפוטנציאל על המצב המתוקן ובכך מתקבל תיקון מסדר גבוה יותר. התהליך הזה יכול להימשך שוב ושוב, כשבמרבית בעיות הפיזור כל שלב נותן תיקון קטן יותר והטור מתכנס.

בניגוד לקירוב בורן, משוואת ליפמן-שווינגר מתארת במדויק את תהליך הפיזור במסגרת המכניקה הקוונטית. מחשבת את פונקציית הגל של המערכת בתחילת ובסוף הפיזור, ובכך מאפשרת לקבל את הסיכויים הללו.

פיתוח המשוואה ומשמעותה

פיתוח לא תלוי בזמן

המשוואה מתייחסת לתהליכי פיזור, שהם תהליכים בהם ספקטרום האנרגיה רציף. נסתכל במצב בעל אנרגיה $E$. ונסמן את המצב החופשי, בו אין פוטנציאל, בעל האנרגיה הזו ב-$|\varphi \rangle$ כך שמתקיים $H_{0}|\varphi \rangle =E|\varphi \rangle$. כעת נסתכל במצב עם אותה אנרגיה כוללת $E$, שמקיים אינטראקציה עם הפוטנציאל $V$. נסמן את המצב הזה ב-$|\psi \rangle$, כך שמתקיים $(H_{0}+V)|\psi \rangle =E|\psi \rangle$ או $(E-H_{0})|\psi \rangle =V|\psi \rangle$. הפתרון המבוקש מקיים ש-$|\psi \rangle \to |\varphi \rangle$ כאשר $V\to 0$. לכן היה אפשר לטעון שהפתרון הוא $|\psi \rangle =|\varphi \rangle +{\frac {1}{E-H_{0}}}V|\psi \rangle$ , אבל בביטוי זה יש בעיה, שכן לאופרטור $H_{0}$ יש ספקטרום רציף שכולל את $E$ ולכן לאופרטור ${\frac {1}{E-H_{0}}}$ יש נקודה סינגולרית שדורשת טיפול מיוחד. הטיפול הזה יכול להיעשות באמצעות הזזה