מטריצת פיזור

בפיזיקה, ובפרט בתורת השדות הקוונטית, מטריצת פיזור (או מטריצת S) היא קונספט חישובי המקשר בין מצב ראשוני למצב סופי של מערכת בתהליך פיזור.

באופן פורמלי, בתורת השדות הקוונטית, מצב חופשי של מערכת הוא מצב בו ניתן לתאר את החלקים השונים במערכת באופן נפרד, כך שטרנספורמציית לורנץ פועלת על כל אחד מהחלקיקים כשלעצמו ופועלת על המערכת כולה כמכפלה טנזורית של הפעולה על חלקיה השונים של המערכת. מצב אסימפטוטי חופשי הוא מצב חופשי בגבול של העבר הרחוק (זמן $t\to -\infty$) או העתיד הרחוק ($t\to \infty$). מטריצת הפיזור היא מטריצה אוניטרית המקשרת בין מצבים אסימפטוטיים חופשיים בעבר הרחוק (מצבים ראשוניים) למצבים אסימפטוטיים חופשיים בעתיד הרחוק (מצבים סופיים).

היסטוריה והסבר אינטואיטיבי

פיזור פיזיקלי הוא תופעה בה מספר חלקיקים מתחילים במצב בו הם רחוקים אחד מהשני, והאינטראקציה ביניהן חלשה ולא משמעותית, בתהליך הפיזור החלקיקים מתקרבים אחד לשני כך שהאינטראקציה בין החלקיקים משמעותית ומשפיעה על המערכת, ובסוף התהליך החלקיקים מתרחקים שוב אחד מהשני והאינטראקציה ביניהם שוב זניחה. בפרשנות הסטנדרטית של תורת הקוונטים, בהינתן מצב ראשוני מסוים, יכולים להתקבל אינספור מצבים סופיים שונים, ותורת הקוונטים מנבאת את הסיכוי לקבלת מצב סופי מסוים, הסיכוי הזה מבוטא באמצעות מטריצת הפיזור. את הסיכוי הזה שמוגדר בין מצבים קוונטיים ניתן להמיר לסיכוי של שני חלקיקים שנעו אחד לעבר השני לפני הפיזור לנוע בזווית מסוימת ביחס לכיוון תנועתם הראשונית לאחריו. סיכוי זה נקרא חתך הפעולה הדיפרנציאלי והוא התוצאה הבסיסית הנמדדת בניסויי פיזור בפיזיקת חלקיקים. אינטראקציות מסובכות יותר בין החלקיקים יכולות לגרום לכך שהחלקיקים לאחר הפיזור שונים מהחלקיקים לפני הפיזור - לדוגמה אלקטרון ופוזיטרון יכולים להיות המצב הראשוני, וכתוצאה מהאינטראקציה ביניהם המצב הסופי יכול לכלול שני פוטונים.

ניסויים רבים בפיזיקת חלקיקים הם ניסויי פיזור. לדוגמה, ניסוי רתרפורד שבוצע ב-1909 הוא ניסוי היסטרי חשוב שהוביל לגילוי מבנה האטום. בניסוי נורים חלקיקי אלפא לעבר אטומי זהב כאשר חלק מהחלקיקים יוצרים אינטראקציה עם גרעין האטום ומפוזרים כתוצאה מהאינטראקציה הזו. ניתן לחשוב על הניסוי כניסוי פיזור בו החלקיקים המשתתפים הם חלקיק אלפא וגרעין זהב.

עם פיתוחה של תורת הקוונטים בעשורים השני והשלישי של המאה ה-20, נוצר צורך בכלי חישובי שיאפשר מעבר מהתיאוריה הפיזיקלית הבסיסית לניבוי של תוצאת ניסוי שיאפשר לבחון את התיאוריה. חישובים של ניבויים כאלו בוצעו עבור ניסויי פיזור מסוימים באופן פרטני בהתאם לתיאוריה המוצגת. לדוגמה, משוואת דיראק שמהווה תיאוריה קוונטית לתיאור האלקטרון הוצגה ב-1928 כאשר בעת הצגתה דיראק התמקד בהשפעתה על רמות האנרגיה של אטום המימן. אפקט קומפטון הוא ניסוי בו פוטונים מפוזרים מאלקטרונים הנמצאים במטרה העשויה ממתכת. כבר ב-1922 הסביר קומפטון את הקשר בין זווית הפיזור לאנרגיה של האלקטרון המתפזר. עם זאת, הסיכוי להתפזרות בזווית מסוימת לא ניתן על-ידי קומפטון; כדי לחשב את הסיכוי הזה, יש צורך בשימוש בתיאוריה קוונטית של האלקטרון שהיא משוואת דיראק. את החישוב של הסיכוי הזה ביצעו קליין ונישינה לאחר גילוי משוואת דיראק, והסיכוי הזה נתון על-ידי נוסחת קליין-נישינה. החישוב הזה היה אפשרי בגלל שהפיזור הוא הליך פיזור פשוט יחסית, בו החלקיקים הראשוניים והסופיים הם אותם חלקיקים והם חלקיקים יסודיים. ניסויי פיזור מורכבים יותר, כמו פיזור של חלקיקי אלפא מאטומים קלים יחסית נותרו בעיה קשה מאוד לחישוב.

ב-1937 ג'ון וילר עבד על חישובים של ניסויי פיזור כאלה. במאמר שלו וילר התייחס למטריצת פיזור, שהיא מטריצה אוניטרית שערכיה מייצגים את הקשר בין מצבים ראשוניים למצבים סופיים. וילר גם חישב את הקשר בין איברי המטריצה לחתך הפעולה הדיפרנציאלי. ניסוח זה של מטריצת הפיזור דומה לאופן בו משתמשים במטריצה היום, ווילר נחשב למגלה התחום. בשנות ה-40, עם התחלת פיתוחה של תורת השדות הקוונטיים, ובעיות האינסופיים בתיאוריה ניסה ורנר הייזנברג להרחיב את תורת מטריצות הפיזור ולכתוב את כל תורת הקוונטים כנובעת ממטריצות הפיזור.

היום, מטריצות הפיזור מתוארות כתוצאה של חישובים בתורת השדות הקוונטים, וחישובים רבים נעשים באמצען. ישנו תהליך ברור לחישובם של מטריצות הפיזור מהלגרנז'יאן שמתאר את האינטראקציה בין החלקיקים ובאמצעות דיאגרמות פיינמן ניתן לקבל תוצאות מדויקות יותר ויותר.

פיתוח מתמטי בתורת שדות קוונטים

תמונת האינטראקציה

השלב הראשון בפיתוח מטריצת הפיזור הוא לפרק את ההמילטוניאן של המערכת לשני חלקים. חלק אחד המתאר את החלקיקים החופשיים וחלק אחר המתאר את האינטראקציה ביניהם. מבחינה מתמטית, נוח לבצע את הפירוק הזה באמצעות תמונת האינטראקציה, בתיאור זה מפרקים את ההמילטוניאן לשני החלקים הנפרדים${\hat {H}}={\hat {H}}_{0}+{\hat {V}}$ ומתקיים:

• גם אופרטורים וגם פונקציות הגל תלויות בזמן
• אופרטורים מתפתחים בזמן בהתאם לאיבר החופשי ${\hat {O}}_{I}=e^{i{\hat {H}}_{0}t}{\hat {O}}e^{-i{\hat {H}}_{0}t}$
• פונקציית הגל מתפתחת בזמן בהתאם לאיבר האינטראקציה $i{\frac {d}{dt}}|\psi _{I}(t)\rangle ={\hat {V}}_{I}|\psi (t)\rangle =e^{i{\hat {H}}_{0}t}{\hat {V}}e^{-i{\hat {H}}_{0}t}|\psi _{I}(t)\rangle$

פיזור בתמונת האינטראקציה

במקרה של מטריצת הפיזור החלקיקים הראשוניים הם בזמן מינוס אינסוף, ואילו המצבים הסופיים הם בזמן פלוס אינסוף. אלו ואלו מהווים מצבים עצמאיים של ההמילטוניאן החופשי $H_{0}$ ולכן יכולים להיות מוצגים כאופרטורי שדה המופעלים על הואקום החופשי. כלומר בזמן מינוס אינסוף עבור כל חלקיק בעל תנע מוגדר ניתן לכתוב: $\vert \mathbf {p} ^{\text{in}}\rangle =a_{\mathbf {p} }^{\dagger }\vert 0\rangle$ ו-${\hat {H}}_{0}\vert \mathbf {p} ^{\text{in}}\rangle =E_{0}(\mathbf {p} )\vert \mathbf {p} ^{\text{in}}\rangle$ ובזמן אינסוף אפשר לכתוב בדומה $\langle \mathbf {q} ^{\text{out}}\vert =\langle 0\vert a_{\mathbf {q} }$. כדי לחשב את מטריצת המעבר יש לקדם בזמן את המצבים כלומר מטריצת המעבר היא לא $\langle \phi ^{\text{out}}\vert \psi ^{\text{in}}\rangle$ אלא $\langle \phi ^{\text{out}}\vert {\hat {U}}(\infty ,-\infty )\vert \psi ^{\text{in}}\rangle$ כאשר ${\hat {U}}$ הוא אופרטור הקידום בזמן.

פיתוח דייסון

אופרטור הקידום בזמן בתמונת האינטראקציה מקיים את המשוואה:

$i{\frac {d}{dt_{2}}}{\hat {U}}_{I}(t_{2},t_{1})={\hat {H}}_{I}(t_{2}){\hat {U}}_{I}(t_{2},t_{1})$

עם תנאי השפה ${\hat {U}}(t_{1},t_{1})=I$. מגדירים את הסידור בזמן $T$ המוגדר כך ש- $T[{\hat {A}}(t_{1}){\hat {B}}(t_{2})]={\hat {A}}(t_{1}){\hat {B}}(t_{2})$ אם $t_{1}>t_{2}$ ו-$T[{\hat {A}}(t_{1}){\hat {B}}(t_{2})]={\hat {B}}(t_{2}){\hat {A}}(t_{1})$ אם $t_{2}>t_{1}$. באופן דומה ניתן לסדר בזמן מכפלה של יותר משני אופרטורים כך שהם יהיה מסודרים מהמוקדם ביותר בצד ימין למאוחר ביותר בשמאל. לאחר הגדרה זו ניתן לכתוב ${\hat {U}}_{I}(t_{2},t_{1})=T\left[\exp \left(-i\int _{t_{1}}^{t_{2}}dt'H_{I}(t')\right)\right]$. ביטוי זה ידוע כפיתוח דייסון, על שמו של פרימן דייסון. אופרטור הפיזור הוא קידום בזמן ממינוס אינסוף לאינסוף כלומר:

$${\hat {S}}=T\left[\exp \left(-i\int _{-\infty }^{\infty }dt'H_{I}(t')\right)\right]=T\left[\exp \left(-i\int d^{4}z{\mathcal {H}}_{I}(z)\right)\right]=T\left[1-i\int d^{4}z{\mathcal {H}}_{I}(z)-{\frac {1}{2}}\int d^{4}zd^{4}w{\mathcal {H}}_{I}(z){\mathcal {H}}_{I}(w)+...\right]$$

כאשר ${\mathcal {H}}_{I}$ היא צפיפות ההמילטוניאן. כאשר איבר האינטראקציה קטן ביחס להמילטוניאן החופשי הסדרים הבאים פחות חשובים וניתן לבצע פיתוח של סדר אחרי סדר של הביטוי כדי לקבל את מטריצת הפיזור.

משפט וויק

הביטוי בסדרת דייסון כולל את הסידור לפי הזמן, שהשימוש בו באופן מלא הופך את החישובים ללא נוחים לביצוע. את הפישוט שמאפשר חישוב פשוט יותר של איברי הפיזור ניתן לבצע באמצעות משפט וויק שמקשר בין אופרטורים מסודרים לפי הזמן לאופרטורים מסודרים בסידור נורמלי (בו אופרטורי הריסה נמצאים מימין ואופרטורי יצירה משמאל) ולמספר הנקרא הכיווץ של אופרטורים.

התוצאה החשובה של משפט וויק בהקשר של מטריצות פיזור, היא שמתקיים:

$\langle 0\vert T[{\hat {A}}_{1}{\hat {A}}_{2}...{\hat {A}}_{2n}]\vert 0\rangle =\sum _{\text{all possible pairs j}}\langle 0\vert T[{\hat {A}}_{j(1)}{\hat {A}}_{j(2)}]\vert 0\rangle \langle 0\vert T[{\hat {A}}_{j(3)}{\hat {A}}_{j(4)}]\vert 0\rangle ...\langle 0\vert T[{\hat {A}}_{j(2n-1)}{\hat {A}}_{j(2n)}]\vert 0\rangle$

כאשר הסכימה היא על כל הזוגות האפשריים, לדוגמה:

$\langle 0\vert T[{\hat {A}}_{1}{\hat {A}}_{2}{\hat {A}}_{3}{\hat {A}}_{4}]\vert 0\rangle =\langle 0\vert T[{\hat {A}}_{1}{\hat {A}}_{2}]\vert 0\rangle \langle 0\vert T[{\hat {A}}_{3}{\hat {A}}_{4}]\vert 0\rangle +\langle 0\vert T[{\hat {A}}_{1}{\hat {A}}_{3}]\vert 0\rangle \langle 0\vert T[{\hat {A}}_{2}{\hat {A}}_{4}]\vert 0\rangle +\langle 0\vert T[{\hat {A}}_{1}{\hat {A}}_{4}]\vert 0\rangle \langle 0\vert T[{\hat {A}}_{2}{\hat {A}}_{3}]\vert 0\rangle$.

היתרון הגדול בשימוש בנוסחה זו היא שאם ${\hat {A}},{\hat {B}}$ הם אופרטורים של שדות קוונטים שונים אז לפי ההגדרה $\langle 0\vert T[{\hat {A}}(x){\hat {A}}^{\dagger }(y)]\vert 0\rangle =D_{f}(x-y)$ כאשר $D_{f}$ הוא פרופגטור פיינמן של השדה ו-$\langle 0\vert T[{\hat {A}}(x){\hat {B}}(y)]\vert 0\rangle =0$, ולכן חישוב של כל איבר במכפלה המופיע במשפט וויק הוא פשוט יחסית.

מטריצת המעבר

האיבר הראשון במטריצת הפיזור הוא תמיד איבר הזהות, לכן נוח להגדיר את מטריצת המעבר $T$ על ידי $S=1+iT$. בנוסף המעבר חייב לשמר את ה4-תנע הכולל של החלקיקים, ולכן במטריצת המעבר תמיד תהיה פונקציית דלתא שדואגת לשימור הזה, לכן נוח להגדיר את מטריצת ${\mathcal {M}}$ שמקיימת: $T=(2\pi )^{4}\delta \left(\sum _{i}\mathbf {p} _{i}-\sum _{j}\mathbf {q} _{j}\right){\mathcal {M}}$.

דיאגרמות פיינמן

ערך מורחב – דיאגרמת פיינמן

החלק האחרון של החישוב של מטריצת הפיזור כולל סכימה של כל האפשרויות לסידור האופרטורים לפי משפט וויק, וחישוב של הביטויים בפיתוח. דיאגרמות פיינמן מספקות דרך גרפית נוחה לביצוע החישובים הללו, ולפשט את תהליך הסכימה. בדיאגרמת פיינמן, כל נקודה שמגיעה מהאינטראקציה תסומן על ידי-צומת, כל פרופגטור שמופיע בביטוי וויק יצוין על ידי קו בין שתי צמתים, וכל חלקיק אסימפטוטי יצוין על ידי קו שמגיע ממינוס אינסוף או הולך לאינסוף. לכל אחד מהקווים והצמתים משויך ביטוי אינטגרלי בהתאם לתיאוריה של האינטראקציה, וחוקים גאומטריים קובעים בכמה דרכים זהות ניתן לייצר כל דיאגרמה, כלומר בכמה דרכים שונות הביטוי שהדיאגרמה מחשבת יופיע בפיתוח וויק.

מכל דיאגרמות פיינמן האפשריות, רק דיאגרמות מחוברות (כלומר שכל הקווים שמגיעים מאינסוף והולכים לאינסוף מתחברים אחד לשני) ומקוטעות (כלומר שחיתוך של פרופוגטור יחיד בהם לא יכול לייצר מצב שבו קו שמגיע מהאינסוף מתנתק משאר הקווים בדיאגרמה) משפיעות על מטריצת הפיזור. תנאים אלו מגבילים מאוד את מספר הדיאגרמות שמשפיעות על החישוב. מטריצת המעבר $i{\mathcal {M}}$ היא הסכום של כל הדיאגרמות שמקיימות את התנאים הללו, והמטריצה יכולה להיות מוגדרת באמצעות כללי פיינמן כשהגדרה זו מספקת לה משמעות גם כאשר המצבים שנכללים במעבר אינם מצבים אסימפטוטיים.

גם באינטראקציה פשוטה ביותר, כגון פיזור של שני אלקטרונים במצב האסימפטוטי הראשוני לשני אלקטרונים במצב האסימפטוטי הסופי, הביטוי שנדרש לחשב כדי למצוא את הסדר הנמוך ביותר בתורת ההפרעות יכלול עשרה אופרטורים, שישנן 113,400 דרכים שונות לסדר אותם לפי משפט וויק. רוב מוחלט של הסידורים האלה יתאפס. וחלק אחר מהסידורים לא יתרום למטריצת הפיזור. רק ארבעה סידורים הם מחוברים ומקוטעים ויתרמו להליך הפיזור. במקרה הזה מציאה של מספר הגורמים שתורמים להליך לא קשה, אבל במקרים אחרים, ובייחוד שמספר האינטראקציות והלולאות עולה, השימוש בדיאגרמות פיינמן מפשט מאוד את הליך הספירה.

הקשר לחתך הפעולה הדיפרנציאלי ולדעיכה של חלקיקים לא יציבים

חתך הפעולה הדיפרנציאלי

אחד מתהליכי הפיזור החשובים הוא התהליך בו אלומה של חלקיקים מסוג מסוים $A$ מתפזרת ממטרה העשויה מחלקיקים מסוג אחר $B$. במקרים אלה, נוח להגדיר את חתך הפעולה הדיפרנציאלי, ששואל כמה חלקיקם יפוזרו, מתוך אלומה שבה מספר החלקיקים ליחידת שטח קבוע. לחתך זה יש יחידות של שטח (שכן הוא מוגדר כמספר חלקיקים חלקי מספר חלקיקים ליחידת שטח), וניתן לקשר אותו למטריצת הפיזור של תהליך שמתחיל משני חלקיקים $A$ ו-$B$ בעלי 4-תנע מסוים חישוב של חתך הפעולה כולל אינטגרל על כל ערכי ה-4 תנע האפשריים של התוצרים, וכן אינטגרל על חבילת הגלים שמתארת את האלומה כאלומה בעלת רוחב מסוים שמתקדמת עם תנע מסוים. לאחר שכל האלמנטים הללו נלקחים בחשבון, מתקבל שחתך הפעולה הדיפרנציאלי מקיים:

$d\sigma ={\frac {1}{2E_{A}2E_{B}|v_{A}-v_{B}|}}\left(\prod _{f}{\frac {d^{3}{\vec {q}}_{f}}{(2\pi )^{3}}}{\frac {1}{2E_{f}}}\right)\left|{\mathcal {M}}(\mathbf {p} _{A},\mathbf {p} _{B}\to \{\mathbf {q} _{f}\})\right|^{2}(2\pi )^{4}\delta \left(\mathbf {p} _{A}+\mathbf {p} _{B}-\sum {\mathbf {q} _{f}}\right)$

כאשר $|v_{A}-v_{B}|$ הן המהירויות היחסיות של האלומה הפוגעת ושל המטרה. גודל זה אינו אינווריאנטי לטרנספורמציית לורנץ, והוא משתנה כמו השטח של החתך של האלומה.

מקרה מיוחד הוא המקרה בו ישנם שני חלקיקים גם במצב הסופי, במקרה זה נוח לעבוד במערכת מרכז המסה, בה ${\vec {p}}_{A}=-{\vec {p}}_{B}$ עבור החלקיקים הראשוניים ו-${\vec {q}}_{1}=-{\vec {q}}_{2}$ עבור המצבים האסימפטוטיים הסופיים. במצב זה, האינטגרלים על פני התנע של החלקיקים הסופיים מקבל את הצורה:

$\prod _{f=1}^{2}{\frac {d^{3}{\vec {q}}_{f}}{(2\pi )^{3}}}{\frac {1}{2E_{f}}}(2\pi )^{4}\delta \left(\mathbf {p} _{A}+\mathbf {p} _{B}-\mathbf {q} _{1}-\mathbf {q} _{2}\right)=\int d\Omega {\frac {1}{16\pi ^{2}}}{\frac {|{\vec {q}}_{1}|}{E_{CM}}}$

וחתך הפעולה מקבל את הצורה:

${\frac {d\sigma }{d\Omega }}={\frac {1}{4(E_{a}+E_{b})|{\vec {p}}_{A}|}}\left|{\mathcal {M}}(\mathbf {p} _{A},\mathbf {p} _{B}\to \mathbf {q} _{1},\mathbf {q} _{2})\right|^{2}{\frac {1}{16\pi ^{2}}}{\frac {|{\vec {q}}_{1}|}{E_{CM}}}$

כאשר כל ארבעת החלקיקים בעלי אותה מסת מנוחה (כמו שקורה בפיזור של אלקטרון ופוזיטרון או של שני אלקטרונים) מתקבל:

${\frac {d\sigma }{d\Omega }}={\frac {\left|{\mathcal {M}}(\mathbf {p} _{A},\mathbf {p} _{B}\to \mathbf {q} _{1},\mathbf {q} _{2})\right|^{2}}{64\pi ^{2}E_{CM}^{2}}}$

דעיכה של חלקיקים לא יציבים

על אף שחלקיק לא יציב לא מהווה מצב אסימפטוטי חופשי, עדיין ניתן להשתמש בפורמליזם מטריצת הפיזור כדי לחשב את זמן החיים שלו לדעיכה. במערכת המנוחה של החלקיק, רוחב הקו של חלקיק בעל מסה $m_{A}$ להתפרק לחלקיקים שונים בעלי ערכי תנע $\{\mathbf {q} _{f}\}$ מתקבל לפי הנוסחה:

$d\Gamma ={\frac {1}{2m_{A}}}\left(\prod _{f}{\frac {d^{3}{\vec {q}}_{f}}{(2\pi )^{3}}}{\frac {1}{2E_{f}}}\right)\left|{\mathcal {M}}(m_{A}\to \{\mathbf {q} _{f}\})\right|^{2}(2\pi ^{4})\delta \left(\mathbf {p} _{A}-\sum {\mathbf {q} _{f}}\right)$

וסכימה על כל אפשרויות האנרגיה לתוצרי הדעיכה תביא לרוחב הקו הכולל.

דוגמה - פיזור קומפטון

חישובים של מטריצות המעבר לתהליכים פיזיקליים אמיתיים מתבצעים במהירות באמצעות דיאגרמות פיינמן וכללי פיינמן עבור התיאוריה. בתיאוריה כמו אלקטרודינמיקה קוונטית החישובים דורשים רב של מעברים אלגבריים מסובכים ושימוש בזהויות של מטריצות דיראק. בדוגמה זו נדלג על השלבים האלה ונציג את התוצאות הסופיות. התוצאה הסופית כוללת סכימה על כל אפשרויות הקיטוב של הפוטונים.

דיאגרמות פיינמן של פיזור קומפטון. הדיאגרמה השמאלית מראה את שני החלקיקים כלא מקיימים אינטראקציה, והיא מציינת את איבר היחידה במטריצת הפיזור. הדיאגרמה במרכז מתארת את המצב בו האלקטרון קולט את הפוטון הראשוני ולאחר מכן פולט את הפוטון הסופי (האיבר השמאלי בביטוי למטריצת המעבר). הדיאגרמה מימין מתארת את המצב בו האלקטרון פולט את הפוטון הסופי ולאחר מכן קולט את הפוטון הראשוני (האיבר הימני בביטוי למטריצת המעבר)

בפיזור קומפטון החלקיקים הראשוניים הם פוטון ואלקטרון והחלקיקים הסופיים הם גם פוטון ואלקטרון. בסדר מוביל מטריצת המעבר של פיזור קומפטון מתקבלת מהסכום:

$i{\mathcal {M}}=-ie^{2}\epsilon _{\mu }^{*}(k')\epsilon _{\nu }(k){\bar {u}}(p')\left[{\frac {\gamma ^{\mu }(p\!\!\!/+k\!\!\!/+m)\gamma ^{\nu }}{(p+k)^{2}-m^{2}}}+{\frac {\gamma ^{\nu }(p\!\!\!/-k\!\!\!/'+m)\gamma ^{\mu }}{(p-k')^{2}-m^{2}}}\right]u(p)$

כאשר $u(p)$ הוא ספינור המתאר אלקטרון עם תנע $p$, $m$ מסת האלקטרון, $\gamma$ הם מטריצות דיראק, $k$ התנע של הפוטון ו-$\epsilon$ הם וקטורי הפולריזציה שמאונכים לתנע הסימון ' מסמן את החלקיקים לאחר הפיזור ונעשה שימוש בסימון סלאש של פיינמן. דיאגרמות פיינמן שמסמלות את האינטראקציה מופיעות מימין.

לאחר סכימה על כל אפשרויות הקיטוב האפשרויות מתקבל ש-

${\frac {1}{4}}\sum _{spins}|{\mathcal {M}}|^{2}=2e^{4}\left[{\frac {\mathbf {p} \cdot \mathbf {k} '}{\mathbf {p} \cdot \mathbf {k} }}+{\frac {\mathbf {p} \cdot \mathbf {k} }{\mathbf {p} \cdot \mathbf {k} '}}+2m^{2}\left({\frac {1}{\mathbf {p} \cdot \mathbf {k} }}-{\frac {1}{\mathbf {p} \cdot \mathbf {k} '}}\right)+m^{4}\left({\frac {1}{\mathbf {p} \cdot \mathbf {k} }}-{\frac {1}{\mathbf {p} \cdot \mathbf {k} '}}\right)^{2}\right]$.

בפיזור קומפטון נוח להשתמש במערכת היחוס בה האלקטרון נמצא במנוחה בתחילת הפיזור והפוטון מתקדם לאורך ציר ה-z, כלומר $\mathbf {p} =(m,0,0,0);\mathbf {k} =(\omega ,0,0,\omega )$

לאחר הפיזור הפוטון יתפזר בזווית $\theta$ ויקיים $\mathbf {k} '=(\omega ',\omega '\sin \theta ,0,\omega '\cos \theta )$ הצבה בביטוי לעיל ושימוש בנוסחה לחתך הפעולה הדיפרנציאלי ובנוסחת קומפטון שמקשרת בין אורך הגל לפני הפיזור לאורך הגל לאחריו תוביל ל:${\frac {d\sigma }{d\cos \theta }}={\frac {\pi \alpha ^{2}}{m^{2}}}\left({\frac {\omega '}{\omega }}\right)^{2}\left({\frac {\omega }{\omega '}}+{\frac {\omega '}{\omega }}-\sin ^{2}\theta \right)$

נוסחה זו ידועה כנוסחת קליין-נישינה.

ראו גם

• חתך פעולה
• פיזור
• פיזור קומפטון
• תורת השדות הקוונטית
• דיאגרמות פיינמן