לדלג לתוכן

נוסחאות ניוטון-קוטס

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
נוסחת ניוטון-קוטס עבור 

באנליזה נומרית, הנוסחאות של ניוטון-קוטס, הנקראות גם כללי הריבוע של ניוטון-קוטס או פשוט כללי ניוטון-קוטס, הן קבוצה של נוסחאות לאינטגרציה נומרית (נקראת גם ריבוע) המבוססת על הערכת האינטגרנד בנקודות מרווחות באופן שווה. הם נקראים על שם אייזק ניוטון ורוג'ר קוטס.

נוסחאות ניוטון-קוטס יכולות להיות שימושיות אם ניתן הערך של האינטגרנד בנקודות מרווחות באופן שווה. אם אפשר לשנות את הנקודות שבהן מוערך האינטגרנד, אז כנראה ששיטות אחרות כמו תרבוע גאוס ותרבוע קלנשו-קרטיס (אנ') מתאימות יותר.

ההנחה היא שערך הפונקציה f המוגדרת ב ידוע ב נקודות שוות מרחק: . ישנן שתי מחלקות של ריבוע ניוטון-קוטס: הן נקראות "סגורות" כאשר ו , כלומר הן משתמשות בערכי הפונקציה בנקודות הקצה של המרווחים, ו"פתוחות" כאשר ו , כלומר הן לא משתמשות בערכי הפונקציה בנקודות הקצה. שימוש בנוסחאות ניוטון-קוטס באמצעות נקודות ניתן להגדרה (עבור שתי המחלקות) כ- [1]כאשר

  • עבור נוסחה סגורה, , עם ,
  • עבור נוסחה פתוחה, , עם .

המספר h נקרא גודל צעד, נקראות משקולות .

ניתן לחשב את המשקולות כאינטגרל של פולינומי לגרנז' בסיסיים. הם תלויים רק ב ולא על הפונקציה f .

יהי פולינום האינטרפולציה בצורת לגראנז' עבור הנקודות , אזי

חוסר יציבות לדרגה גבוהה

[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניתן לבנות נוסחת ניוטון-קוטס בכל דרגה n . עם זאת, עבור n גדול כלל ניוטון-קוטס יכול לפעמים לסבול מתופעת רונגה (אנ') [2] שבה השגיאה גדלה באופן אקספוננציאלי עבור n גדול. שיטות כמו נצב גאוס וניצב קלנשאו-קרטיס עם נקודות מרווחות באופן לא שווה (מקובצות בנקודות הקצה של מרווח האינטגרציה) הן יציבות ומדויקות הרבה יותר, ובדרך כלל הן מועדפות על ניוטון-קוטס. אם לא ניתן להשתמש בשיטות אלו, מכיוון שהאינטגרנד ניתן רק ברשת הניתנת בחלוקה שווה, אז ניתן להימנע מהתופעה של Runge באמצעות כלל מורכב, כפי שיוסבר להלן.

לחלופין, ניתן לבנות נוסחאות ניוטון-קוטס יציבות באמצעות קירוב ריבועים קטנים במקום אינטרפולציה. כך ניתן לבנות נוסחאות יציבות מבחינה נומרית גם לדרגות גבוהות. [3] [4]

נוסחאות סגורות של ניוטון-קוטס

[עריכת קוד מקור | עריכה]

טבלה זו מפרטת כמה מהנוסחאות של ניוטון-קוטס מהסוג הסגור. עבור , יהי כאשר , ו .

נוסחאות ניוטון-קוטס סגורות
n גודל צעד h שם נפוץ נוּסחָה מונח שגיאה
1 כלל טרפז
2 כלל סימפסון
3 חוק 3/8 של סימפסון
4 הכלל של בולה

הכלל של בולה מכונה לעיתים הכלל של בודה, כתוצאה מהפצת טעות דפוס ב־Abramowitz and Stegun, ספר עיון מוקדם. [5]

המעריך של גודל הצעד h ברכיב השגיאה מגדיר את הקצב שבו יורדת שגיאת הקירוב. סדר הנגזרת של f ברכיב השגיאה מגדיר את הדרגה הנמוכה ביותר של פולינום שלא ניתן עוד לשלב במדויק (כלומר בשגיאה שווה לאפס) עם הכלל הזה. את המספר יש לקחת מהקטע (a, b ), לפיכך תחום השגיאה שווה לרכיב השגיאה כאשר .

נוסחאות ניוטון-קוטס פתוחות

[עריכת קוד מקור | עריכה]

טבלה זו מפרטת כמה מהנוסחאות של ניוטון-קוטס מהסוג הפתוח. עבור , יהי כאשר , ו .

פתח את נוסחאות ניוטון-קוטס
n גודל צעד h שם נפוץ נוּסחָה מונח שגיאה
0 כלל מלבן, או



</br> כלל נקודת האמצע
1
2 כלל מילן
3

כללים מורכבים

[עריכת קוד מקור | עריכה]

כדי שחוקי ניוטון-קוטס יהיו מדויקים, גודל הצעד h צריך להיות קטן, מה שאומר שמרווח האינטגרציה חייב להיות קטן בעצמו, וזה לא נכון רוב הזמן. מסיבה זו, בדרך כלל מבצעים אינטגרציה נומרית על ידי פיצול לתת-מרווחים קטנים יותר, החלת כלל ניוטון-קוטס על כל תת-מרווח, וחיבור התוצאות. זה נקרא כלל מורכב . ראה אינטגרציה נומרית .

הערות שוליים

[עריכת קוד מקור | עריכה]
  1. ^ Quarteroni, Alfio; Sacco, Riccardo; Saleri, Fausto (2006). Numerical Mathematics (Second ed.). Springer. pp. 386–387. ISBN 978-3-540-34658-6.
  2. ^ Quarteroni, Alfio; Sacco, Riccardo; Saleri, Fausto (2006). Numerical Mathematics (Second ed.). Springer. pp. 390–391. ISBN 978-3-540-34658-6.
  3. ^ Pavel Holoborodko (2011-03-24). "Stable Newton-Cotes Formulas". נבדק ב-2015-08-17.
  4. ^ Pavel Holoborodko (2012-05-20). "Stable Newton-Cotes Formulas (Open Type)". נבדק ב-2015-08-18.
  5. ^ Booles Rule at Wolfram Mathworld, with typo in year "1960" (instead of "1860")
  • מ. אברמוביץ ואי.א. סטגון, עורכים. <i id="mwAQM">מדריך לפונקציות מתמטיות עם נוסחאות, גרפים וטבלאות מתמטיות</i> . ניו יורק: דובר, 1972. (ראה סעיף 25.4.)
  • ג'ורג' אי פורסיית', מייקל א' מלקולם וקליב ב' מולר. שיטות מחשב לחישובים מתמטיים . Englewood Cliffs, NJ: Prentice–Hall, 1977. (ראה סעיף 5.1.)
  • יוסף סטואר ורולנד בולירש. מבוא לניתוח נומרי . ניו יורק: ספרינגר-ורלג, 1980. (ראה סעיף 3.1.)

קישורים חיצוניים

[עריכת קוד מקור | עריכה]